XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ФРАГМЕНТА ССПС С ПЕРЕКРЫТИЯМИ СОТ Коннон Митон Абель Кафедра систем телекоммуникаций Москва РУДН 23-27 апреля 2007 года Основные обозначения C количество общедоступных каналов в одной соте ( n ) интенсивность потока новых вызовов в зоне ( n ) ( n ,n ) интенсивность потока новых вызовов в зоне (n1 , n2) 1 2 2 n1 ,n2 интенсивность освобождения канала за счет завершения разговора интенсивность передачи обслуживания вызова из соты n1 в соту n2 pn (C ) верхняя оценка вероятности занятия всех каналов в соте n pn (C ) нижняя оценка вероятности занятия всех каналов в соте n 1. Математическая модель (1) 3 1.1 Зоны перекрытия Для линейного фрагмента в сетях GSM, CDMA максимальная кратность перекрытия K=2, N =5 - количество сот (БС) в кластере 2 1 4 3 5 k -множество областей k-кратного A перекрытия, k 1,2 Рис.1. Линейный кластер из 5 сот A nk -множество областей k-кратного перекрытия, в которых участвует сота n, n 1, N B n -множество номеров, смежных с сотой n, 1 A {(1), (2), (3), (4), (5)} Для рассматриваемого фрагмента: A 2 {(1,2), (1,3), (2,4), (3,5)} B1 {2,3} B2 {1,4} B3 {1,4} B4 {2} B5 {3} A11 {(1)} A12 {(1,2), (1,3)} A1 2 {( 2)} A22 {(1,2), (2,4)} 1 A3 {( 3)} A32 {(1,3), (3,5)} A1 4 {( 4)} A42 {( 2,4)} 1 A5 {( 5)} A52 {( 3,5)} 1. Математическая модель (2) 4 1.2 Процессы поступления и обслуживания вызовов Поступление вызовов: Новые вызовы в зоне (n1,..., nk ) A k - Poiss( (n ,, n 1 k ) ) Занятие канала: В областях перекрытия новые вызовы с равной вероятностью направляются на любую из доступных БС для обслуживания. Если на ней все каналы заняты, для обслуживания выбирается оставшаяся БС. В случае отсутствия свободного канала на обеих БС вызов теряется. Параметры обслуживания: • интенсивность освобождения канала за счет завершения разговора : • Интенсивность передачи обслуживания вызова из соты n1 в соту n2 : n1 ,n2 Время разговора и время пребывания абонента в соте распределены экспоненциально. C - Число каналов в каждой соте: 1. Математическая модель (3) 5 1.3 Марковский процесс, описывающий функционирование системы X n t – количество занятых каналов в момент времени t , (t 0) в соте n 1, N X t X 1 t , X 2 t , , X 5 t - МП, описывающий функционирование системы в целом J {( i1 , i2 , , i5 ) : 0 in C , 1 n 5} J (C 1)5 - Пространство состояний - Общее число состояний в системе P{X1 i1, , X 5 i5} : p(i1, , i5 ), 0 in C , 1 n 5 - равновесная вероятность того, что система находится в состоянии (i1 , , i5 ) - вектор, описывающий равновесное распределение вероятностей T T pT ( p(0, ,0), , p(c, ,c)) p A0 , где А матрица интенсивностей переходов для процесса X t , t 0 (1) 2. Оценка параметров производительности (1) 2.1 Построение агрегированного процесса Для упрощения расчетов рассмотрим N o ( N ) первых сот и обозначим J 0 {( i1 , , iN ) : 0 in C } - пространство состояний для выделенных сот J i ,,i , N N0 {( i1 ,..., iN ) | 0 in C; N 0 n N }, (i1,...,iN0 ) J 0 0 1 N0 - разбиение исходного пространства Определение: X 0 (t ) - агрегированный процесс на J 0 : X (t ) J i ,,i , X 0 (t ) (i1 , , iN ) если A0 - матрица интенсивностей переходов для X 0 (t ) p - вектор столбец равновесного распределения вероятностей N N0 0 1 N0 0 p0T A0 0T pn (i | i1 , , iN 0 ) P{ X n (t ) i | X 1 (t ) i1 , , X N 0 (t ) iN 0 } ; i 0, C, N 0 1 n N (2) - условные вероятности невыделенных сот Замечание: матрица интенсивностей переходов A0 выражается через неизвестные условные вероятности, поэтому нахождение стационарного распределения путем решения уравнения (2) невозможно 6 2. Оценка параметров производительности (2) 7 2.2 Верхняя и нижняя оценки вероятности занятия всех каналов Проведем оценку вероятности занятия всех каналов в выделенных сотах (1) 2 Заметим, что (1, 2) 1, 2 1,3 1 (1,3) pn (i | i1, , iN 0 ) [0,1]; Рис.2 Математическая модель для центральной соты 3 C pn (i | i1, , iN 0 ) 1 i 0 Шаг1: (нахождение верхней границы) Верхняя граница достигается, когда в каждой соте n, n N0 1, N все каналы заняты и вся нагрузка из областей 2-кратного перекрытия поступает на выделенные соты, что соответствует подстановке 1,i C Pn (i | i1 , , iN 0 ) , n N 0 1, N 0 , 1 i C (3) 2. Оценка параметров производительности (3) 8 Шаг2: (нахождение нижней границы) Нижняя граница достигается, когда в каждой соте n, n N0 1, N все каналы свободны и происходит разделение нагрузки из областей 2-кратного перекрытия , что соответствует подстановке 0,1 i C Pn (i | i1 , , iN 0 ) , n N 0 1, N 1 , i 0 (4) Для нахождения верхней и нижней оценок для p(C) затем необходимо решить СУР (2), последовательно подставив в матрицу A0 значения условных вероятностей (3) и (4). 3. Численные расчеты 9 Полученные оценки Значения параметров С 3 (1) 3 Число выделенных сот ( N0 ) 5 p1 (C ) (1,l ) , l 2,3 0.5 1 1,l , l 2,3 0.5 3 12/5 p1 (C ) p1 (C ) p1 (C ) 0,110 2 0,4 102 0,65 102 1,9 10 2 1,48 10 2 1,5 102 8,62 102 9 10 2 Анализ результатов: Численные расчеты показывают что, по мере увеличения числа выделенных сот оценки p1 (C ) сходятся. Таким образом, при большом N 0 можно найти предельное значение. Выводы • В работе построена математическая модель линейного кластера в виде СМО, функционирование которой описывается многомерным МП. • В условиях равномерного распределения плотности возникновения вызовов на всей территории покрытия можно получить оценку вероятности занятия всех каналов в каждой соте. Задача для дальнейших исследования Рассмотрение СМО с резервными каналами для хэндовервызовов. 10 Литература [1] Серебренникова Н.В. Метод оценки параметров производительности ССПС с учетом перекрытия зон радиосвязи // В настоящем сборнике [2] Takahashi T., Ozawa T, Takahashi Y. Bounds of performance measures in large-scale mobile communication networks // Wirless Personal Communications. -2004. –Vol.31. –Pp.221-234. 11 Спасибо за внимание