круги эйлера - Кормиловский лицей

Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике,
доказанные Эйлером, в том числе и задачи, решаемые с
помощью кругов Эйлера, часто предлагаются в
математических олимпиадах , но в школьной программе не
отводятся часы на изучение данной темы.
Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют
практический характер. Задачи развивают логическое
мышление, заставляют задумываться, подходить к решению
какой либо проблемы с разных сторон, выбирать из
множества способов решения наиболее простой, легкий
путь.
Знакомство с новым методом
решения задач и изучение
материала, применяемого на
уроках
математики
и
внеурочных занятиях, где
можно использовать круги
Эйлера как один из приемов
решения задач.
- Изучить биографию одного из величайших
ученых-математиков Леонарда Эйлера;
- Изучить теоретические основы понятия
«Круги Эйлера»;
- Решить задачи вышеназванным методом;
- Составить подборку материала для
использования учениками и учителями на
уроках математики и внеурочных занятиях.
Применение кругов
Эйлера повышает
наглядность при
решении задач.
понятие «Круги
Эйлера»,
задачи школьного курса
математики и задачи
математических
олимпиад.
Изучение литературы по теме;
Анализ данных;
Моделирование;
Графические способы решения
задач.
Леонард Эйлер
Почти полжизни провёл в России,
где внёс существенный вклад в
становление российской науки .
Автор множества работ по
математическому анализу,
дифференциальной геометрии,
теории чисел, приближенным
вычислениям, небесной механике,
математической физике,
баллистике, кораблестроению,
теории музыки и других работ,
оказавших значительное влияние
на развитие всемирной науки.
Биография
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года
в семье пастора, жившей в швейцарском
городке Базеле.
Начальное обучение Эйлер получил под
руководством отца, котоорый готовил его к
духовной карьере. С детства увлекался
математикой.
В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом
факультета искусств Базельского
университета.
В 17 лет был удостоен учёной степени
магистра.
В 19-лет Эйлер был включен в число
кандидатов на должность профессора физики.
В 1726 был приглашён в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию.
В 20 лет стал членом Петербургской академии наук. В 23 года профессор физики, в 26 - Леонард Эйлер получает кафедру высшей
математики в должности академика. За этот период написал более 90
крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре,
навигации, картографии, механике. Он делал доклады на научных
семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении
различных технических заказов правительственных ведомств.
В 26 лет Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катерине.
В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили только 3 сына и 2
дочери.
Здесь с 1766г. жил Эйлер.
Ллетом 1741 Леонард Эйлер переехал в Берлин, где вскоре
возглавил математический класс в Берлинской Академии наук
и словесности в должности директора Математического
департамента, где проработал около 25 лет, оставаясь
одновременно почётным членом Петербургской АН.
В 1766 г. Леонард Эйлер по приглашению Екатерины II снова
возвращается в Россию, в Петербург. Вскоре после возвращения
Эйлер перестал видеть. Но это не могло ослабить его огромную
продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной
памятью, продолжал диктовать свои открытия.
Эйлер активно трудился до последних дней. 7 сентября
после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с
астрономом А. И. Лекселем о недавно открытой планете
Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо
и потерял сознание. Через несколько часов, так и не
приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в
мозг.
Похоронен на Смоленском лютеранском
кладбище в Петербурге.
Умирая, он оставил много рукописей,
которые Петербургская академия
публиковала в течение последующих 47
лет.
Великий ученый Леонард Эйлер занимает
одно из первых мест в истории мировой
науки. Полное собрание его трудов
составляет 72 тома, более 850 научных
работ. Этот тихий и скромный человек,
полностью ослепший, много работал,
совершив великое множество научных
открытий. С точки зрения математики, XVIII
век — это век Эйлера.
Эйлер впервые увязал анализ, алгебру,
тригонометрию, теорию чисел и др.
дисциплины в единую систему, и добавил
немало собственных открытий.
Значительная часть математики
преподаётся с тех пор «по Эйлеру».
– геометрическая схема, с помощью которой
можно изобразить отношения между
множествами.
Впервые он использовал их в письмах к
немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что
круги очень подходят для того, чтобы
«облегчить наши размышления.»
Наряду с кругами в подобных задачах
применяют прямоугольники и другие фигуры.
В математике множеством называют совокупность, набор
каких-либо предметов (объектов).
Предметы, составляющие множество, называются его
элементами.
Множества обычно обозначаются большими буквами
латинского алфавита: А, В, С,… .
Термин «множество» употребляется независимо от того,
много или мало в этом множестве элементов, Множество,
не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается символом Ø
Пересечением двух множеств А и В называют
множество, состоящее из всех общих элементов
множеств А и В, т. е. Из всех элементов, которые
принадлежат и множеству А, и множеству В.
А∩В
А
В
Объединением С двух множеств А и В называется
множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих множеству А или множеству В.
Обозначают это так: С = А U В.
Иными словами, в объединение входят все элементы,
принадлежащие хотя бы одному из множеств.
АUВ
Все мои подруги выращивают в своих
квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из
них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И
только у двоих есть и кактусы и фиалки.
Угадайте, сколько у меня подруг?
Кактусы
Фиалки
6
5
Фиалки
Кактусы
5
6
4
2
3
Фиалки
Кактусы
5
6
4
2
3
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским – 28, французским - 42.
Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и
французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
13
13
Я живу в девятиэтажном доме, где на первом этаже нет квартир, а на
всех остальных – по 4 квартиры. И в каждой квартире, кроме моей, есть
какая-нибудь «живность». В 15 квартирах живут кошки, в 13 - собаки и в
13 - попугайчики. В одной квартире обитают и кошки, и собаки, в четырех
— кошки и попугаи, в одной - и кошки, и попугаи, и собаки. Сколько семей
держат и собак, и попугаев?
Кошки
Собаки
15
13
Попугайчики
13
Собаки
Кошки
13
10
0
1
3
Попугайчики
13
х
Собаки
Кошки
13
15
0
11
13-1-х=12-х
1
3
Попугайчики
13
13-4-х= 9-х
х
В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из
них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых.
Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6
девушек были умными и одновременно добрыми.
Определите, сколько было красивых и в то же
время добрых девушек, если я скажу вам, что
среди участниц не оказалось ни одной умной,
доброй и вместе с тем
красивой девушки?
Красивые
Умные
10
12
Добрые
9
Красивые
Умные
10
12
2
0
х
6
6
Добрые
9
Красивые
Умные
10
12
2
4
8-х
0
6
6
х
3-х
Добрые
9
Красивые
Умные
10
12
2
4
8-х
0
6
6
х
3-х
2 + 0 + 6 +х + 8 – х + 4 + 3 – х = 22
Добрые
9
В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15
- джаза и 14 - народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6
студентов, народную музыку и джаз - 7, классику и народную - 9. Пятеро
студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой
музыки. Сколько их?
По плану застройки участок площадью 1500 м2 состоит из двух
пересекающихся прямоугольников, их пересечение отведено под гараж.
Площадь первого прямоугольника равна 900 м2, площадь второго — 700
м2. Найдите площадь:
а) участка, отведенного под гараж;
б) части второго прямоугольника, не отведенного под гараж;
в) части второго прямоугольника, не отведенного под гараж;
г) части застройки без учета гаража.
Всего- 38 чел
Баскетбол - 16 чел
Хоккей
- 17 чел
Волейбол - 18 чел
Б.Х - 4 чел
Б.В - 3 чел
В.Х - 5 чел
Ни чем– 3 чел
Сколько человек занимаются всеми
видами спорта? В одной спортивной
секции?
Решение
Х 17
Б 16
4
9-z
8-z
z
3
10 - z
В 18
5
16 – (4 + z + 3) = 9 - z
8-z
10 - z
38 = 3 + (9 – z) + (8 – z ) +
+ (10 – z) + 4 + 3 + 5 + z, откуда
z=2
2-ое ребят занимаются 3-мя
видами спорта
9 – 2=7 (чел) - баскетбол
8 – 2=6 (чел) - хоккей
10 –2=8 (чел) - волейбол
7 + 6 + 8 = 21 (чел) - одним
видом спорта
Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно
воспользоваться алгоритмом, состоящим из
следующих этапов:
Записать краткое условие задачи.
Выполнить рисунок.
Записать данные в круги (или в диаграмму Эйлера).
Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать
результаты в части круга (диаграммы).
Записываем ответ.
Выводы:
Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит
в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими
данными просты и не требуют особых умозаключений.
Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как
правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема,
безусловно расширяет математический кругозор учащихся,
обогащает арсенал средств, используемых в решении
разнообразных задач. Материал, используемый в работе,
пригодится для решения задач занимательного характера,
позволит применять методы и правила для решения
нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания
способствуют повышению интеллектуального развития, помогают
развить умение наблюдать и анализировать.