Тригонометрические функции

Математика
10 класс
Баженова Татьяна Васильевна
Гимназия №12
Тема Урока:
«Тригонометрические
уравнения»
Повторение темы :
«Тригонометрические уравнения»
рассчитано на 3 урока
«Уравнение есть равенство, которое еще
не является истинным, но которое
стремятся сделать истинным ,не будучи
уверенным, что этого можно достичь»
А. Фуше
Тема Урока:
«Тригонометрические уравнения»
Цель урока:
• Обобщение, систематизация, углубление
знаний, умений и навыков учащихся;
• Формирование культуры
математической речи:
• Развитие творческих способностей
учащихся
План урока
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Актуализация опорных знаний
Устная работа
Решение уравнений
Подведение итогов урока
Задание на дом
Завершение урока
Памятка ученику
Актуализация опорных знаний
a)
b)
c)
d)
Определение уравнения; тригонометр. уравнение
Что значит решить уравнение
Что называют корнем уравнения
Формулы решения простейших
тригонометрических уравнений
e) Определения arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
f) Методы решения тригонометрических
уравнений
к плану урока
Устная работа
Имеет ли смысл выражение?
arccos( 5  3)
arccos(

3
Ответ:
 4)
arcsin( 3  17 )
Ответ:
arcsin( 5  2)
Ответ:

arctg (cos )
2
Ответ:
следующий
Ответ:
13
arctg
2
Ответ:
к плану урока
Устная работа
Решите уравнение:
Ответы:
a.
3 sin x =
10
Корней нет
b.
sin’ x =
( 3 )
0,5π+πk; k Є Z
c.
cos x =
 1
 
 7
2πk; k Є Z
d.
cos’x =
1
-π/2 + 2πk; k Є Z
e.
x
sin x =
0
πn; n Є Z_;0
Алгоритм решения проговаривайте вслух!
к плану урока
Решение уравнений
Пример 1
sinsin2x2x++ 33 cos
cos xx==00
2 sin x cosx + 3 cos x = 0
Разложим левую часть уравнения на
cos x (2 sin + 3) = 0
множители, предварительно
cos x = 0
применив формулу двойного
sin x = 1,5
аргумента
1. cos x = 0
π/2 + 2πk; k Є Z
2. sin x = -1,5 корней нет
Ответ: π/2 + 2πk; k Є Z
следующий
к плану урока
Решение уравнений
Найти корни уравнения на интервале (-π/2;0)
Решение:
Sin2x
Пример 3
+ 5 sin x cos x + 2cos2x = -1
2x + 1 = 0
-1x cos x +t22cos
= -1,5
sin2x +t51=sin
2x + 5 sin x cos x +3cos2x=0 | : cos2x
Вернемся к2sin
замене:
Получили однородноеπтригонометрическое уравнение второй степени.
tg xРешим
= -1его поделив
x = -обе4части
+ πkуравнения на cos2kx Є(т.Z к. cos x и sin x не
могут быть одновременно равны нулю).
/
tg x = - 1,5 x = - arctg 1,5 + πk
kЄZ
Получим: 2 tg2x + 5tgx + 3 = 0
Проведем отбор корней:
Пусть tg x = t, тогда 2t2+5t+3=0;
При n = 0, x = - π/4 ; x = - arctg 1,5
Решим уравнение по свойству коэффициентов квадратного уравнения
t1Ответ:
= -1 t2= -1,5x
= - π/4 ; x = - arctg 1,5
Решаем
следующий
уравнение у доски с объяснениями!
к плану урока
Решение: 2 cos2x – 5sinx + 1=0
1.
2.
Решение
уравнений
Область Допустимых Значений: х (-∞;∞)
Є
Пример
2
Выразим из основного
тригонометрического
тождества
2x;2получим:
cos2x через 2sincos
x – 5sinx + 1=0
2sin2x + 5sinx – 3=0
3.
Решим полученное уравнение введением новой переменной:
Пусть sin x = a, |a| ≤ 1; тогда уравнение принимает вид
2а2 + 5а – 3=0;
4.
а1 = -3 (не удовлетворяет условию),а2 = ½.
Вернемся к замене:
sin x = ½
x = (-1)к * π/6 + πk
Ответ: x = (-1)к * π/6 + πk
kЄZ
kЄZ
Решаем уравнение у доски с объяснениями
следующий
к плану урока
Решение комбинированных уравнений
а)
б)
16  x sin x  0
Ответ:
сверить решение
-4; -π; 0; π; 4.
2
7 x  x (2 cos x  1)  0
2
сверить решение
Ответ:
0;
 5
;
3 3
Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно
;7
к плану урока
Решение комбинированных уравнений
Решение примера а.
1) ОДЗ x Є [-4; 4]
x=4
2)
16  x 2  0
sin x  0
<=>
3) Отбор корней с учетом ОДЗ
- 4 ≤ πn ≤ 4
-4/π ≤ n ≤ 4/π
x=-4
x = π n; n Є Z
n = -1; 0; 1
n = - 1,
x = -π
n = 0,
x=0
n =1,
x =π
Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно
к плану урока
Решение комбинированных уравнений
Решение примера б.
1) ОДЗ x Є [ 0; 7]
x=0
2)
7x  x2  0
1
cos x 
2
<=>
x=7

x    2k ; k
3
3) Отбор корней с учетом ОДЗ
- π/3
7π/
3
Є
Є
k = 0; 1
[0;7]
[0;7]
k = 0,
x = π /3
k =1,
x =5π/3
Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно
к плану урока
Подведение итогов урока
Проведен первый урок
Повторение темы:
Тригонометрические уравнения.
На следующем уроке мы рассмотрим
решение тригонометрического уравнения
вида: A sin x + B cos x = a.
к плану урока
Задание на дом
Решить уравнения:

cos 3x  0
2
| sin x  2 cos x | sin x
к плану урока
Позвольте закончить урок словами
Ноберта Винера:
«Высшее назначение
математики состоит в
том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе,
который нас окружает».
Подробнее о Ноберте Винере
к плану урока