ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ
1. Даны матрица А и вектор в . Считая вектор
 х1 
 
х   х2  вектором
х 
 3
неизвестных решить систему уравнений Ах  в матричным способом и
используя формулы Крамера:
Вариант 1
 1
 2 1  1


 
А   1  1 0  , в   1
 1
 1 1 1 
 


Вариант 2
1 1 1 
 1


 
А  1 3 1  , в  1
 1
1 1 3 
 


Вариант 3
Вариант 4
 2 1 1
 1


 
А   0 3 1  , в   1
 1
 1 1 0
 


 2 1 2 
 1


 
А   5  3 3  , в   1
 1
 1 0  2
 


Вариант 5
Вариант 6
 2 1 1
 1


 
А   0 3 1  , в   1
 1
 1 1 0
 


 1 0 0
 1


 
А   3  1 1  , в   1
 1
 4 2 1
 


Вариант 7
Вариант 8
1 1 2
 1


 
А    1 0 1  , в   1
 1
 1 1  1
 


 1
1 1 1


 
А   2  1 1 , в  1
 1
 1 1 2
 


Вариант 9
Вариант 10
 2 1  1
 1


 
А   0  2 3 , в  1
 1
6 1
2 
 

 1 1  1
 1


 
А   1  3 1 , в  1
 1
2 1
0 
 

2. Даны векторы а , в , с . Найти площадь треугольника, построенного на
векторах а и в . Найти объем пирамиды, построенной на векторах а, в и с .
Вариант 1. а =(-3, 6, -1), в =(-2, 5, 9), с =(3, -1, 4).
Вариант 2. а =(5, -4, -2), в =(3, 4, -1), с =(0, -2, 5).
Вариант 3. а =(-3, -1, 3), в =(4, 0, 2), с =(1, -4, 3).
Вариант 4. а =(0, -4, 3), в =(-2, 4, -1), с =(-3, 2, -2).
Вариант 5. а =(2, -2, 4), в =(5, -4, -5), с =(0, -2, -1).
Вариант 6. а =(-3, -4, 3), в =(1, -1, 8), с =(3, 0, 6).
Вариант 7. а =(6, 0, -2), в =(3, 1, -4), с =(-5, 3, 0).
Вариант 8. а =(3, 1, -3), в =(5, -5, 1), с =(3, 1, -2).
Вариант 9. а =(4, -4, 2), в =(0, -3, -1), с =(-2, -4, 2).
Вариант 10. а =(-4, 3, -3), в =(4, -4, -1), с =(7, 1, 0).
3. В треугольнике АВС. Найти:
1). уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А.
2). уравнение средней линии, параллельной основанию ВС.
3). длину стороны АВ.
4). Уравнение прямой L, проходящей через вершину В параллельно
стороне АС.
5). cos  АВС.
№ варианта
А
В
С
1
(3, 2)
(-2, 5)
(6, -2)
2
(-2, 6)
(3, -1)
(1, 4)
3
(2, 5)
(3, 3)
(-1, 4)
4
(2, -3)
(1, 0)
(-2, -4)
5
(5, 3)
1, 4)
-2, -3)
6
(-1, -2)
(0, -3)
(2, 1)
7
(1, 5)
(-3, 0)
(-6, 1)
8
(-3, -5)
(2, -2)
(1, 0)
9
(1, 1)
(4, 6)
(-5, -1)
10
(3, 2)
(4, -1)
(6, 0)
4. Уравнение плоскости в пространстве.
Вариант 1. Составить уравнение плоскости, содержащей ось Ох и
проходящей через точку А(2, -1, 3).
Вариант 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 







3, -1) и параллельной векторам а  3i  j  2k и b  i  j  3k
Вариант 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х 1 у  2 z 1
и


2
1
1
перпендикулярной плоскости 2 х  4 у  5 z  1  0 .
Вариант 4. Составить уравнение плоскости, содержащей ось Ох
перпендикулярно плоскости 3х  у  2 z  4  0 .
Вариант 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 1, 2), В(3, 0, -2), С(1, -4, 0).
Вариант 6. Составить уравнение плоскости, содержащей ось Оу и
проходящей через точку А(3, 1, 2).
Вариант 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2,








0, -3) и параллельной векторам а  2i  3 j  k и b  i  j  2k .
Вариант 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х  2 у 1 z  3
и


3
4
1
перпендикулярной плоскости х  2 у  3z  7  0 .
Вариант 9. Составить уравнение плоскости, содержащей ось Оz и
проходящей через точку А(-4, 2, -1).
Вариант 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 0, 1), В(0, -1, 4), С(3, -4, -1).
5. Простейшие задачи геометрии.
Вариант 1. Найти центр тяжести однородной пластины в форме
треугольника, вершины которого А(2, 4), В(0, 1), С(4, 2).
Вариант 2. Показать, что треугольник с вершинами А(2, -1), В(4, 2), С(5, 1)
равнобедренный.
Вариант 3. Даны концы отрезка АВ: А(-3, 7) и В(5, 11). Этот отрезок тремя
точками разделен на четыре равные части. Определить координаты точек
деления.
Вариант 4. Даны вершины треугольника А(7, 2), В(1, 9) и С(-8, -11). Найти
координаты точки пересечения медиан.
Вариант 5. Точка С(2, 3) служит серединой отрезка АВ. Определить
координаты точки А, если В(7, 5).
Вариант 6. Показать что треугольник с вершинами А(-3, -3), В(-1, 3), С(11,
-1) – прямоугольный.
Вариант 7. Прямая проходит через точки А(7, -3) и В(23, -6). Найти точку
пересечения этой прямой с осью Ох.
Вариант 8. Даны две вершины треугольника А(3, 8) и В(10, 2) и точка
пересечения медиан М(1, 1). Найти координаты третьей вершины.
Вариант 9. Прямая проходит через точки А(5, 2) и В(-2, -8). Найти на этой
прямой точку, абсцисса которой равна 3.
Вариант 10. Точки А(-2, 5) и В(4, 17) – концы отрезка АВ. На этом отрезке
находится точка С, расстояние от которой до А в 2 раза больше расстояния
чем до В. Определить координаты точки С.
6. Вычислить пределы функций:
Вариант 1
Вариант 2
1. lim 2 х2  13 х  7 , 2.
х  9 х  14
х 7
х2
2
3. lim
х 
х 3  4х 2  5
, 4.
3х 3  2 х 2  х
sin 7 х
5. lim
, 6.
5х
х0
lim
4х  1  3
х 2
3х  4 х 2  8
lim
9х  2х  1
4
х 

1 
lim
х  
2
lim
х 0
9х 5  4х 4  2
, 4.
lim
5
х  3 х  2 х  1
sin 3 х
5. lim
, 6.
х0 tg 2 х
3.
2.
lim
tg5 х
, 6.
3х
х5
lim
2х  1  3
х 5
х 4  3х 2  2
, 4.
lim
4
х  5 х  3 х  2
х0
lim
х 
lim 1  2 х
5
х
.
х 0
lim
х 
1. lim
х 6
2 х 2  9 х  18
, 2.
х2  7х  6
3х  10  4
х 2
3. lim 3х3  4 х2  1 , 4. lim
х  х  2 х  1
х 
х
6х
5. lim
, 6.
х0 tg 4 х
 х 3

 .
lim
х   х  2 
х2
lim
7  18 х
3
4х 2  9х
 х 


lim
х   х  1 
,
4 х 1
.
Вариант 6
х 2  5х  6
, 2.
3х  9
lim
х 6
х6
х3 3
,
4х 2  9
1. lim
, 2.
3 2х  3
х 
lim
х 0
1 х 1
,
х
2
3. lim
8х 4  7 х 2  5
,
3х  7 х 4  18
4. lim
3х  4 х  9
,
7  х 2  3х
х 
2
4
5.
lim
х0
sin 3х
,
6х
4.
lim
х 
6.

1
lim 1  х 
х 
 7 х 3  13
,
5  х 5  3х 2
3. lim 2 х
х 
х 
,
2х  х3  3
,
4  7х
3
3х 4  5 х
,
х  5х 2
Вариант 5
х 3
,
5.
9 х 3
,
х2  х
2
lim
х 3
2 х 2  5х  3
,
х 2  5х  6
Вариант 4
1. lim 2 х2  11х  5 , 2.
х  7 х  7 х  10
1.
1. lim
х
3
 .
х
Вариант 3
3.
,
5
12 х  3
3
8х 3  4 х 2  7
х
.
х
х 
6. lim 
 .
х   х  1 
, 5.
lim
х0
sin х
,
tgх
,
Вариант 7
1.
lim
х 1
х3 1
, 2.
х 1
lim
х 0
4х 5  2х 3  8
, 4.
7 х  5х 5  1
3. lim
х 
5.
Вариант 8
х
х 3  3 х
lim
х 
,
7  81х 2
,
3х  11
х
 3
1   .
lim
х
х  
3х
, 6.
lim
х0 sin 4 х
Вариант 9
1. lim
х2
z 0
4.
х 
, 3. lim
х 
12 х 3  4 х  6
, 5.
9  4х
6. lim 1 
х  
2
 5 х 3  12
,
4  2х 3
sin 2 х
5. lim
, 6.
х0 sin 3 х
lim х
х 5
4 z  4z
lim
3. lim 7 х
х 
1.
z
3
х2
3х 2  8 х  4
, 2.
5 х 2  20
х
lim
5 х  5 х
х 0
4. lim 3х
х 
2
 5  7х
9 х 4  8х
х
 k
1   .
lim
х
х  
Вариант 10
9 х 2  36
,
5 х 2  14 х  8
2. lim
1. lim
13  х 6  3 х 4
,
5 х 2  3х 6
5х
,
lim
х0 tg10 х
3.
2
3х  15
, 2.
 9 х  20
9 х  12 х 3  9
,
lim
3х 3  7  х
х 
3х
5. lim
, 6.
х0 sin 8 х
4.
lim
4 х 2
,
5х
lim
8 х 4  12 х
,
17  3х 2
х 0
х 

1 
lim
х  
х
3
 .
х
х
2
 .
х
7. Вычислить производные функций.
Вариант 1
1. у  х 
Вариант 2
1
1
 5,
2
х
5х

2. у 
1  sin 2 x
,
1  sin 2 x

.
2 
1

x


x
3. y  ln 
8
2. s 
t
t
 sin ,
2
2
1 x
.
1 x
Вариант 4
3
6
3. y  arccos
1
x
x
,
1  4x
3. y  arcctg
Вариант 3
1. y  4
1. y 
x
,
x
.
2. y 
1  ln x
,
x
1. y 
cos x
,
1  sin x
x
a
2. y  ln( x 2  2 x),
a
2
3. y  xarctg  ln( x 2  a 2 ).
,
,
Вариант 5
x
1. y 
x 1
Вариант 6
2. y  ln
,
x2
,
1 x2
1. y  3
3
x
2

x
, 2. y  ln( x  a 2  x 2 ),
3. y  arccos x  1.
3. y  e x arctge x  ln 1  e 2 x .
Вариант 7
Вариант 8
1
2
1. y  x 2 tgx,
2. y  x 2 e 2 x ,
1. y 
x2 1
,
x2 1
3. y  arccos 1  2 x .
3. y  arctg
Вариант 9
2. y 
cos x
x
 ln tg ,
2
2
sin x
ln x
.
3
Вариант 10
3

1 
1 ex
1. y  1  3  , 2. y 
,
1 ex
x

3. y  arcsin e x  arcsin 1  e 2 x .
1. y  3 (4  3x) 2 , 2. y  e  x (sin x  cos x),
x
2
3. y  x arccos  4  x 2 .
8. Исследовать функцию с помощью производных и построить ее график.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
у
х
,
х 1
у
х2 1
,
х 1
у
х2
,
1 х
у
х
 х,
2х  1
у
8
,
4  х2
2
у  х
у
4
,
х2
х5
 х4  х3 ,
5
Вариант 8.
Вариант 9.
у
2 2

,
х х2
у
х
,
( х  1) 2
Вариант 10.
у
х
.
4  х2
Решение типовых задач к зачету
1.
Даны матрица С и вектор d . Считая вектор
 х1 
 
х   х2 
х 
 3
вектором
неизвестных решить систему уравнений Cх  d используя формулы Крамера
и матричным способом:
 5  1  1
0

   
С   1 2 3 ; d  14 .
4 3 2 
16 


 
Решение
5 х1  х 2  х3  0

 х1  2 х 2  3х3  14

1). 4 х1  3х2  2 х3  16 .
2). Вычислим определитель системы ∆, разложив его по первой строке:
5 1 1
 1
4
2
3
2 3 1 3 1 2
3 5


 5(4  9)  (2  12)  (3  8)  25  10  5  30
3 2 4 2 4 3
2
.
Так как ∆≠0, то единственное решение системы находим по формулам:
хi 
i
 , где ∆i (i=1, 2, 3) получим, заменив в ∆ i-ый столбец на столбец
свободных членов:
0 1 1
0 1 1
 1  14 2 3  2 7 2 3  2(14  24)  (21  16)  2(10  5)  30,
16 3 2
8 3 2
5 0 1
 2  2 1 7 3  2(14  24)  (8  28)  2(50  20)  60,
4 8 2
5 1 0
 3  2 1 2 7  25(16  21)  (8  28)  2(25  20)  90.
4 3 8
Подставив полученные значения в формулу, получим:
х1 
 30
 60
 90
 1; х 2 
 2; х3 
 3.
 30
 30
 30
3). Найдем матрицу С-1, обратную С:
~
а). составим матрицу С из алгебраических дополнений матрицы С:
С11  (1)11
2 3
1 1
 5 С 21  (1) 21
 1
3 2
3
2
,
С31  (1) 31
С12  (1)1 2
1 3
5 1
 10 С 22  (1) 2 2
 14
4 2
4
2
,
,
С32  (1) 3 2
С13  (1)13
1 2
5 1
5 1
 5 С 23  (1) 23
 19 С33  (1) 33
 11
4 3
4
3
1
2
,
,
.
5 
  5 10

~ 
С    1 14  19 
  1  16 11 

.
~
~
Т
б). Транспонируя матрицу С , получим матрицу С :
  5 1 1 

~Т 
С   10 14  16 
  5  19 11 

.
в). С-1 вычислим по формуле
С 1 
1 ~Т
С

, получим
1 1
 1
2 3
,
5 1
 16
1 3
,
С
1
  5 1 1 

1 
   10 14  16 
30 

  5  19 11  .
г). Вектор-решение системы найдем по формуле
х 

  1
Х   х2   С 1  d
х 
 3
.
  5 1 1   0 
  5  0  1  14  1  16 
  30   1 

  

  
1 
1 
1 
Х    10 14  16   14     10  0  14  14  16  16      60    2 ,
30 
30 
30 
  

  
  5  19 11  16 
  5  0  19  14  11  16 
  90   3 
итак
 х  1
  1  
Х   х 2    2 .
 х   3
 3  
2. Даны векторы а , в , с . Найти площадь треугольника, построенного на
векторах а и в . Найти объем пирамиды, построенной на векторах а, в и с .



а =(3, 6, 3), b =(1, 3, -2), с =(2, 2, 2).
Решение


1). Площадь треугольника, построенного на векторах а и b , вычислим по
формуле
S
1  
аb
2
, где

i
 
a  b  аx
bx

j
ay
by

k
az
bz
.
  
i j k
3 6

6 3
3 3


 
a  b  3 6 3  i
j
k
 21i  9 j  3k ,
3 2
1 2
1 3
1 3 2
S
тогда
1   1
1
1
3 59
а b 
212  9 2  3 2 
441  81  9 
531 
(ед 2 )
2
2
2
2
2
.
2). Объем пирамиды построенной на векторах
формуле
V 
1  
ab с
6
, где
ах
 
ab с  bх
cx
ау
by
cy
аz
bz
cz
 

а, b и с ,
вычислим по
.
3 6 3
1 2 1
 
ab с  1 3  2  3  2 1 3  2  6(5  6  2)  6  (3)  18.
2 2 2
1 1 1
V 
1
 18  3(ед 3 ).
6
3. Даны вершины треугольника АВС : А(1, -3), В(4, 0), С(6, 8).
Найти:
1). уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А.
2). уравнение средней линии, параллельной основанию ВС.
3). длину стороны АВ.
4). Уравнение прямой L, проходящей через вершину В параллельно
стороне АС.
5). cos  АВС.
Решение
1). Для нахождения уравнения медианы АМ
используем уравнение прямой, проходящей
через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2,
у  у1
х  х1

у2): у 2  у1 х2  х1
(1)
Найдем координаты точки М (середины
отрезка ВС):
М:
х
46
08
 5; у 
 4.
2
2
Итак М(5, 4).
Подставив координаты точек А и М в уравнение (1), получим
у  3 х 1

7
4
или 7 х  7  4 у  12 .
Итак АМ : 7 х  4 у  19  0.
Для
нахождения
уравнения
высоты
АН
можно
воспользоваться
уравнением прямой, проходящей через данную точку М(х1, у1) с заданным
нормальным вектором

N  ( А, В)
:
А( х  х1 )  В( у  у1 )  0. (2)
Вектор ВС имеет координаты: (2, 8), т.к. АН  ВС , то за нормальный
вектор можно принять вектор

N  (1, 4)
, т.к. (
N ВС
).
Итак АН : 1( х  1)  4( у  3)  0, или х  4 у  11  0.
2). Средняя линия ЕF ВС , находим координаты точек Е и F:
Е: х 
Итак
5
3
7
5
, у ; F: х , у .
4
2
2
2
3
5
7 5
Е  ,  , F  , .
2
4
2 2
3
5
х
2 
4,
5 3 7 5


2 2 2 4
у
Используя уравнение (1) получим
или
2 у  3 4х  5

,
8
9
проводя преобразования окончательно имеем: 32 х  18 у  67  0.
3). Длину стороны АВ находим, используя формулу расстояния между
2
2
двумя точками А(х1, у1) и В(х2, у2): АВ  ( х2  х1 )  ( у2  у1 ) ,
АВ  (4  1) 2  (0  3) 2  18  3 2.
4). Уравнение прямой L находим с помощью уравнения прямой проходящей

через данную точку М(х1, у1) с заданным направляющим вектором s  (l , m) :
у  у1 х  х1

т
l
(3)
АС  (5, 11)
В качестве направляющего вектора возьмем вектор
получим
у х4

11
5
. Тогда
или 11х  5 у  44  0 .
5). cos  АВС найдем как cos ( ВА, ВС ) . В свою очередь формула косинуса
угла между векторами вытекает из определения скалярного произведения
векторов

a  (a x , a y )
и

b  (bx , b y )
:
 
   
 
 
a b
а  b  a  b  cos (a , b )  cos (a , b )    
ab
ВС  (2, 8) ВА  (3, 3)
,
, тогда cos  АВС
a x  bx  a y  b y
a x2  a y2  bx2  b y2

 6  18
4  64  9  9
.

24
6 34

4
34
.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(0, 2, 1) и
параллельной векторам
   
а i  j k
и
   
b i  j k.
Решение
Так как нормальный вектор искомой плоскости ортогонален векторам
а и b , то вычислим векторное произведение этих векторов:
  
i j k


  
с  a  b  1 1 1  2i  2 j
1 1 1
возьмем
  

N  i  j , т.к. N
. Тогда в качестве нормального вектора

| |c .
Используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку с
заданным нормальным вектором, получим: х  ( у  2)  0 или х  у  2  0.
5. Вычислить пределы функций:
1.
lim
х 3
х 2  5х  6
х2  9 .
Решение.
При подстановке предельного значения становится, очевидно, что имеет
место неопределенность
0
 
0.
Разлагая числитель и знаменатель на
множители, имеем:
x  3x  2 
х 2  5х  6
x2 1
 lim
 .
lim
lim
2
6
х 9
х 3
х 3  x  3 x  3
x 3 x  3
2.
lim
х 0
х
х4 2.
Для раскрытия неопределенности
0
 
0
в этом случае умножим числитель
и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, т. е. на
х  4  2:
lim
х 0
х
х4 2
 lim
х 0


x x42
x4 2


x42

 lim
x 0


x x42
 lim
x44
x 0


x  4  2  4.
3.
6 х 3  2 х 2  50
2 х 3  12 х 2  3 х
lim
х 
.
Решение.
При указанном стремлении переменной имеет место неопределенность

 
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на
х3:
6 х 3  2 х 2  50
 lim
lim
3
2
х  2 х  12 х  3 х
x 
4.
2 50

x x 3  6  3.
12 3
2
2
 2
x x
6
3х 4  2
lim
9 х 8  2 х  11 .
х 
Решение.
Для
раскрытия
неопределенности

 

разделим
числитель
и
знаменатель дроби на х4:
lim
х 
lim
5.
х 0
3х 4  2
9 х 8  2 х  11
2
3
x4

 1.
2 11
9
9 7  8
x
x
.
3
 lim
ч 
1  cos 5 х
х2
.
Решение.
Преобразуем выражение для того, чтобы воспользоваться первым
замечательным пределом:
2
  5x  
 5x 
2 sin  
 sin   
1  cos 5 х
2  25

  2    25  12  25 .
 lim

lim
lim
2
2
2 x 0  5 x 
2
2
х
x
х 0
x 0


2


2
2х
 6
1  
lim
6. х   х  .
Решение.
Решение примера сводится к использованию второго замечательного
предела:

6
2х
lim 1  х 
х 
x
 

6
6


 lim 1   
x 
x  


12
 e12 .
6. Вычислить производные функций:
у  2х 
1.
1
х

1
2х х
.
Решение.
Перепишем функцию в виде
у  2х  x

1
2
3
1 
 x 2.
2
Используя таблицу
производных, находим:
1 
1  3 
1
3
у  2  x 2     x 2  2 
 2
.
2
2  2
2x x 4x x
3
5
2. у  x arcsin x .
Решение.
Используя правило нахождения производной произведения, получим:
у   arcsin
xx
1

1
1 x 2 x
 arcsin
x
x
2 1 x
.


2
3. y  ln x  x  1 .
Решение.
у 

2 x 
1
x2 1  x
1 





x  x2 1  2 x2 1  x  x2 1
x2 1
1
1
x 1
2
.
7. Исследовать функцию с помощью производных и построить ее график.
y
2x 3
.
x2  4
Решение.
1. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек x  2.
2. Функция нечетная, поэтому достаточно исследовать ее в промежутке
0;
 
.
3. График функции проходит через начало координат. Других точек
пересечения с осями нет.
4. Прямая x  2 является вертикальной асимптотой, т.к.
lim
x2 0
lim
x20
2x3
 ,
x2  4
2x 3
 .
x2  4
Ищем наклонную асимптоту:
k  lim
x 
 2x 3

8x
y
2x 2
 2


b

y

kx

 2 x   lim 2
 0.
 lim 2
 2,
lim
lim
x

4
x

4
x


x


x


x


x

4
x 
Кривая имеет наклонную асимптоту у=2х.
5. Ищем экстремумы функции.
у 


6х х 2  4  4х 4
х
2
4


2

2 х 2 х 2  12
x
2
4


2
.
x  0,

На промежутке 0;  у  обращается в ноль в точках:
x  2 3  3,46
,и
не существует в точке x  2 .
Исследуем знак производной на промежутках: 0; 2, 2; 2 3 , 2 3; 
у 1  0;
у 3  0;
y 4   0
. Следовательно, в точке x  2 3 - минимум, а в
точке x  2 3 - максимум.
6. Ищем точки перегиба:
у  

16 x x 2  12
x
2
4


3
.
у  обращается в ноль при x  0 , и не существует в точке x  2 . Исследуем
  

знак второй производной на промежутках: 0; 2 , 2;  .
у 1  0;
у 3  0
. Следовательно, точки x  2 - точки перегиба.
Используя результаты исследования, строим график функции: