Вариант 1 1. Двумерная случайная величина ,

Вариант 1
1. Двумерная случайная величина { ,}
распределена равномерно в области
D,
ограниченной снизу осью OX , а сверху кривой y  Exp( x 2 ) . Найти совместную
плотность распределения f ξ ,η ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные
плотности распределения
величин 
и ,
f  ( x / y) и
f ( y / x) , основные числовые характеристики
коэффициент корреляции между 
и 
(при условии, что
соответствующие характеристики существуют).
2. Пусть X и Y – независимые случайные величины, имеющие показательные распределения
с параметрами
λ1 и λ2 соответственно. Найти коэффициент корреляции между
случайными величинами X  Y и 2 X  Y .
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное на
отрезке [–1, 1] распределение, а  имеет показательное распределение с параметром.
Найти функцию и плотность распределения случайной величины    .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины. При любом k  1 величина ξ 2 k 1
имеет распределение Пуассона с параметром λ  3 , а величина ξ 2 k  N 0,1 . Найти предел по
вероятности последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) / n .
5. Складывается 10 4
чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10  m .
Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в
интервале (  0.5 10  m , 0.5 10  m ). Используя центральную предельную теорему найти
пределы, в которых с вероятностью 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
6. Случайная величина  является средней арифметической независимых и одинаково
распределенных случайных величин, среднеквадратическое отклонение каждой из
которых равно 2. Сколько нужно взять таких величин, чтобы случайная величина  с
вероятностью, не меньшей 0,92, имела отклонение от своего математического ожидания,
не превосходящее 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б)
центральную предельную теорему.
Вариант 2
1. Двумерная случайная величина { ,}
распределена равномерно в области
D,
ограниченной окружностью радиуса R с центром в начале координат. Найти совместную
плотность распределения f  , ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные
плотности распределения
f  ( x / y) и
f ( y / x) , основные числовые характеристики
величин  и  , коэффициент корреляции между  и  .
2. Пусть X и Y – независимые, распределенные по закону N(0, σ 2 ) случайные величины.
Найти коэффициент корреляции между случайными величинами 2 X  Y и X  3Y .
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное
распределение на отрезке [-2, 2], а  — показательное распределение с параметром 3.
Найти функцию и плотность распределения случайной величины    .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  2  2 x ,
x  [0, 1] .
Доказать,
что
p
max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
1.
5. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5; в девятку – 0,3;
в восьмёрку – 0,1; в семерку – 0,05; в шестёрку – 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов.
Какова вероятность того, что он набрал более 950 очков.
6. Сколько (минимум) необходимо взять случайных величин, распределенных по закону
Пуассона с параметром   2 , чтобы с вероятностью не меньшей 0,8 ожидать, что
среднее арифметическое этих величин будет лежать в интервале [1;95; 2,05]. Решить
задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
Вариант 3
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 AxExp( x  xy2 ), x  (0,  ), y  (0,  )
. Требуется: определить величину А;
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
найти условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) ,
D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что соответствующие характеристики существуют).
2. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет нормальное
распределение с параметрами a  1 и  2  9 , а  — имеет распределение Пуассона с
параметром 5. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами  и
  3 .
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное
распределение на отрезке [-2, 2], а  имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Найти функцию и плотность распределения случайной величины    .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  2 x ,
x  [0, 1] .
Доказать,
что
p
min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
0.
5. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота выпадения орла
при 500 подбрасываниях монеты отклонится от вероятности выпадения орла более, чем на
0,1. Сравнить эту вероятность с вероятностью, полученной с помощью применения
интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6. Урожай пшеницы (в центнерах) на каждом из 3600 Га – случайная величина,
распределенная равномерно на отрезке [18, 22]. Используя ЦПТ, найти симметричный
относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,95 лежит общий
урожай пшеницы.
Вариант 4
1. Дана плотность распределения случайного вектора (X,Y):
f X ,Y ( x, y ) 
A
,
(16  x )( 25  y 2 )
2
( x, y)  R 2 . Требуется: определить величину А, найти условные плотности распределения
величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что
соответствующие характеристики существуют).
2. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,2 независимо от
результатов других выстрелов. Случайная величина  равна количеству попаданий в
мишень при трех выстрелов, а случайная величина  равна числу попаданий при первом
выстреле. Найти коэффициент корреляции величин  и .
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное
распределение на отрезке [0,1], а  — показательное распределение с параметром 4.
Найти функцию и плотность распределения случайной величины   2 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  Exp( x  2) ,
x2.
Доказать,
что
p
max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
2.
5. Случайная величина  является средней арифметической 2000 независимых и одинаково
распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 2, и
дисперсией, равной 1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 
примет значение в промежутке (1,9; 2,05). Сравнить эту вероятность с вероятностью,
полученной с помощью применения интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6. Урожай овса (в центнерах) на каждом из 4900 Га – случайная величина, распределенная
по показательному закону со средним значением равным 20. Используя ЦПТ, найти
симметричный относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,98
лежит общий урожай овса.
Вариант 5
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Asin( x  y ), x  (0,  / 2), y  (0,  / 2)
. Требуется: определить величину А;
f X ,Y ( x, y )  
0, иначе
найти условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) ,
D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) .
2. На отрезок [0, 1] брошены наудачу и независимо друг от друга две точки. Найти
коэффициент корреляции координат левой и правой точек.
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное
распределение на отрезке [0, 2], а  имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]—
показательное распределение с параметром 3. Найти функцию и плотность распределения
случайной величины   2 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  3Exp(3x  3) ,
x  1.
Доказать,
что
p
max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 

1 .
5. Сколько (минимум) необходимо взять случайных величин, равномерно распределенных
на интервале [0; 1], чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 ожидать, что среднее
арифметическое этих величин будет лежать в интервале [0,49; 0,51]. Решить задачу,
используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
6. Какова вероятность, что при 10000 подбрасываниях игральной кости, частота выпадения
шестерки отклонится от вероятности на величину не большую 0,01. Решить задачу,
используя центральную предельную теорему.
Вариант 6
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Ax 2 y(1  x), x  (0, 1), y  (0, 1)
. Требуется: определить величину А; найти
f X ,Y ( x, y)  
0, иначе
условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) ,
D (Y ) ,  ( X , Y ) .
2. Пусть  и  независимые случайные величины,   N (1, 3) ,   N (2, 9) . Найти
коэффициент корреляции между случайными величинами  и    .
3. Пусть случайные величины  и  независимы, причем  имеет равномерное на отрезке
[0, 1] распределение, а  принимает значения 0, 1 и 2 с равными вероятностями. Найти
функцию распределения случайной величины    .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  Cos( x) ,
x  [0, π / 2] .
Доказать,
что
p
max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
π/2.
5. Случайная величина  является средней арифметической независимых и одинаково
распределенных случайных величин, среднеквадратическое отклонение каждой из
которых равно 2. Сколько нужно взять таких величин, чтобы с случайная величина  с
вероятностью, не меньшей 0,92, имела отклонение от своего математического ожидания,
не превосходящее 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б)
центральную предельную теорему.
6. Монета подбрасывается 6400 раз. Какова вероятность, что относительная частота
появления орла отклонится от вероятности появления орла на величину не большую 0,02.
Решить задачу, используя центральную предельную теорему.
Вариант 7
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Axy(1  x 2 ), x  (0, 1), y  (0, 1)
. Требуется: определить величину А; найти
f X ,Y ( x, y)  
0, иначе
условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) ,
D (Y ) ,  ( X , Y ) .
2. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет биномиальное
распределение с параметрами 10 и 0,4, а  — имеет распределение Пуассона с
параметром 2. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами    и
2   .
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное
распределение на отрезке [-1, 1], а  — показательное распределение с параметром 1.
Найти функцию и плотность распределения случайной величины 2   .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины. При любом k  1 величина
ξ 2 k 1  N1, 4 , а величина ξ 2 k имеет распределение Бернулли с параметром p  1 / 3 . Найти
предел по вероятности последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) / n .
5. Сколько (минимум) раз надо подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью не
меньшей 0,9 ожидать, что частота выпадения шестерки будет отличаться от вероятности
появления шестерки на величину не большую 0,1. Решить задачу, используя а)
неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
6. На факультете ФТФ оценка  на экзамене по теории вероятностей имеет следующее
распределение: {( , P)}  {( 2; 0,4), (3; 0,3), (4; 0,2), (5; 0,1)} . Используя ЦПТ определить
вероятность того, что средний бал за экзамен потока из 81 студента ФТФ лежит в
интервале (3,0; 3,3) .
Вариант 8
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Axy2 Exp( x  xy3 ), x  (0,  ), y  (0,  )
. Требуется: определить величину
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
А; найти условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) ,
D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что соответствующие характеристики существуют).
2. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет стандартное
нормальное распределение, а  — имеет нормальное распределение со средним, равным
1 и дисперсией равной 4. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами
   и   .
3. Пусть случайная величина  имеет показательное распределение с параметром   7 ,
случайная величина  имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а  имеет
распределение Бернулли с параметром p  1 / 7 и все три величины независимы. Найти
функцию распределения случайной величины   7  (1   ) .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины. При любом k  1 величина ξ 2 k 1
имеет биномиальное распределение с параметрами 8 и 0,25, а величина ξ 2 k имеет
равномерное
распределение
на
отрезке
[0, 2] .
Найти
предел
по
вероятности
последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) / n .
5. Сколько (минимум) раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95
ожидать, что частота выпадения орла будет отличаться от вероятности появления орла на
величину не большую 0,1. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б)
центральную предельную теорему.
6. Игральная кость бросается 1000 раз. Найти симметричные относительно среднего
пределы, в которых с вероятностью, большей 0,99, будет находиться число выпавших
очков. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную
теорему.
Вариант 9
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 AxExp( x  xy), x  (0,  ), y  (0,  )
. Требуется: определить величину А;
f X ,Y ( x, y )  
0, иначе
найти условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) ,
D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что соответствующие характеристики существуют).
2. Игральная кость подбрасывается 6 раз. Найти ковариацию и коэффициент корреляции
между числом выпавших единиц и шестерок.
3. Независимые,
одинаково
распределенные
случайные
величины
ξ1 , ξ 2 , ξ 3
имеют
равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найти функцию и плотность распределения
случайной величины ξ1  ξ 2  ξ 3 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  1 / x 2 ,
x  [1, ) .
Доказать,
что
p
min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
1.
5. Имеется 100 независимых значений случайной величины, распределенной равномерно на
интервале [0, 1] . Какова вероятность, что среднее арифметическое этих значений
отклонится от математического ожидания случайной величины на величину не большую
0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную
теорему.
6. Монета подброшена 100 раз. Найти симметричные относительно среднего значения
границы, в которых с вероятностью 0,9 лежит число выпавших орлов. Использовать ЗБЧ
и ЦПТ.
Вариант 10
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Axy, 0  x  2, 0  y  x
. Требуется: определить величину А; найти условные
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,
 ( X ,Y ) .
2. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,2 независимо от
результатов других выстрелов. Случайная величина  равна количеству попаданий после
трех выстрелов, а случайная величина  равна числу попаданий при первом выстреле.
Найти коэффициент корреляции между  и  .
3. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром  = 2, случайная
величина  - равномерное распределение на отрезке [0; 2], и случайная величина  распределение Бернулли с параметром 1/3, причем все эти величины независимы. Найти
функцию распределения случайной величины      (1   ) .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины, распределенные по закону
Пуассона с параметром
λ . Найти предел по вероятности последовательности
(ξ12  ξ 22    ξ n2 ) /( ξ1  ξ 2    ξ n ) .
5. Имеется
400
независимых
значений
показательному закону с параметром
случайной
величины,
распределенной
по
  3 . Какова вероятность, что среднее
арифметическое этих значений отклонится от математического ожидания случайной
величины на величину большую 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство
Чебышева; б) центральную предельную теорему.
6. Каждый абонент АТС в любой момент времени может занимать линию с вероятностью
0,05. Каково максимальное число абонентов N (N>12), которое может обслужить АТС,
имеющая 12 линий, если вероятность потери вызова (занятости линии) не должна
превосходить 0,001 (использовать ЦПТ).
Вариант 11
1. Дана плотность распределения случайного вектора (X,Y):
f X ,Y ( x, y ) 
A
,
( x  y 2  1) 3
2
( x, y)  R 2 . Требуется: определить величину А; найти условные плотности распределения
величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что
соответствующие характеристики существуют).
2. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причём ξ имеет распределение
Пуассона с параметром 3, а η имеет биномиальное распределение с параметрами 4 и 1/2.
Найти коэффициент корреляции между случайными величинами ξ - 3η и ξ + 3η.
3. Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет геометрическое
распределение с параметром p  1 / 2 , а  имеет геометрическое распределение с
параметром p  2 / 3 . Найти закон распределения случайной величины min{  ,} .
4. Пусть
ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ,
показательному
закону
независимые
с
случайные
параметром
α.
величины,
Найти
распределенные
предел
по
по
вероятности
последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) /( ξ12  ξ 22    ξ n2 ) .
5. Имеется 200 независимых значений случайной величины, распределенной по закону
Пуассона с параметром   5 . Какова вероятность, что среднее арифметическое этих
значений отклонится от математического ожидания случайной величины на величину не
большую 0,1. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную
предельную теорему.
6. В данном хозяйстве урожайность X куста картофеля, выраженная в килограммах, имеет
следующее
распределение:
{( X , P)}  {( 0; 0,1), (1; 0,2), (1,5; 0,2), (2; 0,3), (2,5; 0,2)}
Определить, какое наименьшее количество кустов картофеля надо посадить, чтобы с
вероятностью 0,975 снять урожай не менее 1000 кг (использовать ЦПТ).
Вариант 12
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 AxyExp( x  xy2 ), x  (0,  ), y  (0,  )
. Требуется: определить величину А;
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
найти условные плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) ,
D ( X ) , D (Y ) ,  ( X , Y ) (при условии, что соответствующие характеристики существуют).
2. Правильная монета подбрасывается трижды. Найти ковариацию числа орлов, выпавших
при первых двух подбрасываниях монеты, и числа орлов, выпавших при всех трех
подбрасываниях монеты.
3. Независимые,
одинаково
распределенные
случайные
величины
ξ1 , ξ 2 , ξ 3
имеют
равномерное распределение на отрезке [-1, 1]. Найти функцию и плотность распределения
случайной величины ξ1  ξ 2  ξ 3 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие
плотность
распределения
f ( x)  3 x 2 ,
x  [0, 1] .
Доказать,
что
p
max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
1.
5. Производится n независимых измерений некоторой физической величины. Считая, что
результат измерения есть случайная величина, математическое ожидание которой
характеризует физическую величину, определить вероятностью того, что абсолютная
погрешность среднего арифметического 100 измерений не превысит 0,2, если дисперсия
результатов равна 0,5. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б)
центральную предельную теорему.
6. Каждый из 240 абонентов АТС в любой момент времени может занимать линию с
вероятностью 1/40. Каково минимальное число линий должна содержать АТС, чтобы
вероятность потери вызова (занятости линии) не превосходила 0,005 (Использовать ЦПТ).
Вариант 13
1. Двумерная случайная величина { ,} распределена равномерно внутри треугольника с
вершинами в точках A(-2;0), B(0;4), C(4;0). Найти совместную плотность распределения
f  , ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные плотности распределения
f  ( x / y ) и f ( y / x) , основные числовые характеристики величин  и  , коэффициент
корреляции между  и  .
2. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причём ξ имеет биномиальное
распределение с параметрами 3 и 1/3, а η имеет распределение Пуассона с параметром 2.
Найти коэффициент корреляции случайных величин ξ - 2η и ξ + 2η.
3. Независимые, одинаково распределенные случайные величины 1 и 2 имеют
показательное распределение с параметром   1 . Найти функцию распределения
случайной величины 1  2 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины, распределенные по нормальному
закону с параметрами a и σ 2 . Найти предел по вероятности последовательности
(ξ1  ξ 2    ξ n ) /( ξ12  ξ 22    ξ n2 ) .
5. Производится n независимых измерений некоторой физической величины. Считая, что
результат измерения есть случайная величина, математическое ожидание которой
характеризует физическую величину, определить с вероятностью не меньшей 0,9 сколько
(минимум) надо произвести измерений, чтобы абсолютная погрешность среднего
арифметического этих измерений не превышала 0,1, если дисперсия одного измерения
равна 0,4. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную
предельную теорему.
6. На факультете ЕНМФ оценка  на экзамене по теории вероятностей имеет следующее
распределение: {( , P)}  {( 2; 0,2), (3; 0,4), (4; 0,25), (5; 0,15)} . Используя ЦПТ определить
вероятность того, что средний бал за экзамен потока из 81 студента ЕНМФ лежит в
интервале (3,8; 4,2) .
Вариант 14
1. Двумерная случайная величина { ,} распределена равномерно внутри квадрата с
диагоналями, совпадающими с осями координат и равными двум. Найти совместную
плотность распределения f  , ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные
плотности распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) ,
основные числовые характеристики
величин  и  , коэффициент корреляции между  и  .
2. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром   1 . Найти
коэффициент корреляции между  и 2 .
3. Пусть  и  — независимые, одинаково распределенные случайные величины с
плотностью f ( x)  1 /(1  x 4 ) , x  R . Найти плотность распределения величины ξ / η .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины. При любом k  1 величина ξ 2 k 1
имеет распределение Пуассона с параметром λ  2 , а величина ξ 2 k  N 1,1 . Найти предел по
вероятности последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) / n .
5. Вероятность появления некоторого события в каждом испытании в серии независимых
испытаний равна ¼. Сколько (минимум) надо произвести испытаний, чтобы с
вероятностью не меньшей 0,95 ожидать, что частота появления события в этой серии
испытаний будет отличаться от вероятности события на величину не большую 0,01.
Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
6. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока сумма очков не превысит 700. Оценить
вероятность того, что для этого потребуется более 210 бросаний. (Использовать ЗБЧ и
ЦПТ).
Вариант 15
1. Пусть { ,} – случайный вектор, у которого координата 
распределена по
показательному закону с параметром λ , а координата  при заданном значении   x  0
распределена по показательному закону с параметром x . Найти совместную плотность
распределения
f  , ( x, y ) , условные плотности распределения
f  ( x / y) и
f ( y / x) ,
основные числовые характеристики величин  и  , коэффициент корреляции между  и
.
2. Правильная кость подбрасывается дважды. Найти ковариацию суммы числа очков,
выпавших при двух подбрасываниях, и числа очков, выпавших при втором
подбрасывании кости.
3. Пусть  и  — независимые случайные величины с плотностями распределения
f ξ ( x)  1/( π 1  x 2 ) , | x | 1 , f η ( x)  x Exp( x 2 / 2) , x  0 . Найти плотность распределения
величины    .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие плотность распределения
f ( x)  2 Exp(2 x) ,
x  0 . Найти предел по
вероятности при n   min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } .
5. Сколько (минимум) раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9
ожидать, что частота выпадения орла будет отличаться от вероятности появления орла на
величину не большую 0,02. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б)
центральную предельную теорему.
6. Урожай пшеницы (в центнерах) на каждом из 2500 Га – случайная величина,
распределенная равномерно на отрезке [13, 22]. Используя неравенство Чебышева и ЦПТ,
найти в каких пределах, симметричных относительно среднего значения, с вероятностью
0,95 лежит средний урожай пшеницы с одного Га.
Вариант16
1. Двумерная случайная величина { ,} распределена равномерно внутри треугольника с
вершинами
в
точках
A(1, 0),
B(1, 0), C (0, 1) .
Найти
совместную
плотность
распределения f  , ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные плотности
распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) , основные числовые характеристики величин  и  ,
коэффициент корреляции между  и  .
2. Стрелок, попадающий по мишени с вероятностью 1/3, делает два выстрела. Найти
коэффициент корреляции между общим числом попаданий и числом попаданий при
первом выстреле.
3. Пусть X и Y – независимые случайные величины, которые имеют показательное
распределение с параметром λ . Найти функцию распределения случайной величины
Z  X /( X  Y ) .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие плотность распределения
f ( x)  1 / x 2 ,
x  ( ,  1] . Найти предел по
вероятности при n   max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } .
5. Вероятность появления некоторого события в каждом испытании в серии независимых
испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
частота появления этого события в серии из 9000 испытаний отклонится от вероятности
события не более, чем на 0,01. Сравнить эту вероятность с вероятностью, полученной с
помощью применения ЦПТ.
6. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,3; в девятку – 0,4;
в восьмёрку – 0,2; в семерку – 0,05; в шестёрку – 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов.
Используя ЦПТ, найти
в каких пределах, симметричных относительно среднего
значения, с вероятностью 0,9 лежит количество набранных стрелком очков.
Вариант 17
1. Двумерная случайная величина { ,}
распределена равномерно в области
D,
ограниченной снизу осью OX , а сверху кривой y  1 /(1  x 2 ) . Найти совместную
плотность распределения f  , ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные
плотности распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) ,
величин
основные числовые характеристики
 и  , и коэффициент корреляции между  и  (при условии, что
соответствующие характеристики существуют).
2. Найти коэффициент корреляции между ξ и η  e  ξ , если случайная величина ξ имеет
стандартное нормальное распределение.
3. Пусть X и Y – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке
[-1, 1]. Найти функцию и плотность распределения случайной величины Z  X  Y .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие плотность распределения f ( x)  2  2 x , x  [0, 1] . Найти предел по вероятности
при n   min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } .
5. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота выпадения орла
при 1000 подбрасываниях монеты отклонится от вероятности выпадения орла более, чем
на 0,05. Сравнить эту вероятность с вероятностью, полученной с помощью применения
интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6. Имеется 1600 прямоугольников, у каждого из которых длина и ширина – независимые
случайные величины, распределенные равномерно на отрезке [0, 1] . Используя ЦПТ
указать симметричные относительно среднего границы, в которых с вероятностью 0,9
лежит сумма площадей всех прямоугольников.
Вариант 18
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Axy, 0  y  1, y  x  1
. Требуется: определить величину А; найти условные
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,
 ( X ,Y ) .
2. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение N 1,1 . Найти коэффициент
корреляции между  и 2 .
3. Независимые, одинаково распределенные случайные величины 1 и 2 имеют
показательное распределение с параметром
  1 . Найти плотность и функцию
распределения случайной величины 1 / 2 .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие плотность распределения
f ( x)  Cos( x) ,
x  [0, π / 2] . Найти предел по
вероятности при n   min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } .
5. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота выпадения орла
при 100 подбрасываниях монеты отклонится от вероятности выпадения орла не более, чем
на 0,1. Сравнить эту вероятность с вероятностью, полученной с помощью применения
интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6. Урожай картофеля (в мешках) с одной сотки – случайная величина, имеющая
распределение Пуассона с параметром 5. Используя ЦПТ, найти симметричные
относительно среднего границы, в которых с вероятностью 0,92 будет лежать суммарный
урожай картофеля с 625 соток.
Вариант 19
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Ax 2 y, 0  y  1, y  x  1
. Требуется: определить величину А; найти условные
f X ,Y ( x, y )  
0
,
èíà÷å

плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,
 ( X ,Y ) .
2. Бросаются три правильные монеты. Найти ковариацию числа решек, выпавших на всех
монетах с числом решек, выпавших на первой монете.
3. Пусть X и Y – независимые случайные величины, которые имеют показательное
распределение с параметром λ . Найти плотность и функцию распределения случайной
величины X  Y .
4. Пусть
ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, равномерно распределенные на отрезке [1, 4]
p
4.
случайные величины. Доказать, что max{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
5. Случайная величина  является средней арифметической независимых и одинаково
распределенных случайных величин, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько
нужно взять таких величин, чтобы с случайная величина  с вероятностью, не меньшей
0,9973, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,1.
Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
6. На факультете ФТФ оценка  на экзамене по теории вероятностей имеет следующее
распределение: {( , P)}  {( 2; 0,4), (3; 0,3), (4; 0,2), (5; 0,1)} . Используя ЦПТ определить
вероятность того, что средний бал за экзамен потока из 100 студентов ФТФ лежит в
интервале ( 2,8; 3,2) .
Вариант 20
1. Дана
плотность
распределения
случайного
вектора
(X,Y):
 Ay, 0  y  1, y  x  1
. Требуется: определить величину А; найти условные
f X ,Y ( x, y )  
0, èíà÷å
плотности распределения величин X и Y , вычислить M ( X ) , M (Y ) , D ( X ) , D (Y ) ,
 ( X ,Y ) .
2. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти ковариацию и коэффициент корреляции
между числом выпавших единиц и шестерок.
3. Случайные величины X и Y нормально распределены и независимы. Найти функцию и
плотность распределения величины Z  X / Y .
4. Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые, равномерно распределенные на отрезке [1, 1]
p
1 .
случайные величины. Доказать, что min{ ξ1 , ξ 2 ,, ξ n } 
5. Случайная величина  является средней арифметической 3200 независимых и одинаково
распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и
дисперсией, равной 2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 
примет значение в промежутке (2,95; 3,075). Сравнить эту вероятность с вероятностью,
полученной с помощью применения ЦПТ.
6. Каждый абонент АТС в любой момент времени может занимать линию с вероятностью
0.075. Каково максимальное число абонентов N (N>10), которое может обслужить АТС,
имеющая 10 линий, если вероятность потери вызова (занятости линии) не должна
превосходить 0,001 (использовать ЦПТ).