Основные уравнения распространения акустических колебаний в свободном и ограниченном пространствах.

Основные уравнения
распространения акустических
колебаний в свободном и
ограниченном пространствах.
Звукоизоляция помещений
Рассматриваемые вопросы:
• Основные характеристики акустического поля.
• Уравнения распространения акустических
колебаний в свободном пространстве.
• Затухание акустических волн.
• Распространение акустических колебаний в
ограниченном пространстве.
• Взаимодействие смежных ограниченных
пространств и ограниченного пространства со
свободным.
• Распространение волн в трубах.
• Акустические характеристики помещений.
• Звукоизоляция помещений.
Звуковые колебания и волны
• Акустические колебания – механические колебания
частиц упругой среды, распространяющиеся от источника
колебаний в окружающее пространство в виде волн
различной длины.
• Первичным источником акустических колебаний
являются механические колебательные системы,
вторичные – преобразователи различного типа.
• В самом общем смысле, акустические колебания –
упругие волны в различных средах от самых низких
частот (инфразвук, от 0 до 16 Гц) до высоких частот
(гиперзвук в кристаллических твёрдых телах при
низкой температуре, 1013 Гц). В этом частотном
диапазоне выделяют звуковые волны (16 Гц – 20 кГц),
ультразвуковые (20 кГц – 109 Гц) и гиперзвуковые (109 Гц
– 1013 Гц).
• Пространство, в котором происходит
распространение акустических колебаний, называют
акустическим или звуковым полем, а сам источник
акустических колебаний - источником этого поля
(механического воздействия на среду или
колебательная сила).
• Жидкости и газы не имеют своей формы. В них
акустические колебания вызывают продольные
волны с чередующимися областями сжатия и
разрежения среды в направлении
распространения возмущения. В твёрдых телах
кроме продольных (сжатие – разрежение) имеют
место и поперечные (сдвиговые) волны.
• Акустическая волна в твёрдых телах представляет
независимую комбинацию продольной и
поперечной волн.
Продольные акустические волны
в жидких и газообразных средах.
Основные характеристики
акустического поля
1. Линейные характеристики
звукового поля.
Линейные характеристики звукового поля.
К ним относят:
• звуковое давление,
• смещение частиц среды,
• скорость колебаний
• акустическое сопротивление среды.
 Акустическое давление – величина колебательной силы, действующей
на единичную площадь фронта волны и вызывающая периодическое
F
Н


P

,

П
сжатие и разрежение упругой среды (газы, жидкости):
,
2


S
м


где:
F - величина колебательной силы, [Н];
S - площадь фронта волны, [м2].
 Смещение – отклонение частиц среды от их статического положения
под воздействием проходящей волны.
Смещение   , [ м] : “+” в направлении волны, “-” против волны.
 Колебательная скорость – скорость движения частиц среды под
воздействием проходящей звуковой волны.
dм
V
,
[] – знакопеременная величина. Колебательная скорость
dt
с
значительно меньше скорости распространения волны.
 Удельное акустическое сопротивление среды (волновое сопротивление) –
это отношение звукового давления P к скорости колебаний V

P
Н

с Па

с
Z

,
[
]

[
]
B
.
3
V
м
м
Это справедливо для линейных условий.
определяется свойством среды (вязкость и т.п.):
Волновое
сопротивление
кг
ZB c, где  – плотность среды [ 3 ] , c – скорость распространения волн в
м
м
[
данной среде с ] .

P
j

Z
Z

Z

jZ


Z

e
В общем случае B – комплексная величина: B
.
A
P
B
V
ZP
tg


V
Сдвиг фаз между P и
ZA .
2.Энергетические характеристики
звукового поля.
 Интенсивность (сила звука) I – количество энергии, проходящей в секунду через единицу
площади, перпендикулярной направлению распространения волны.
T
Для периодических процессов:
1
I

P

Vdt
,

T
0
P и V – мгновенные значения давления и колебательной скорости, T – период колебания.
T
1
I

lim
P

Vdt
Для непериодических процессов:

T


T
0
Для синусоидальных колебаний:
2

cos
2 P
Э
I

P

V

cos

P

V

cos

V

Z

, где PЭ и VЭ – эффективные значения.
M
M Э
Э
Э
A
Z
B

При   0 , то есть ZB=ZA
 Плотность энергии
возбуждаемой среды.
–

2
P
В
2
I

P

V


V

Z
,
[
]
.
B
2
Z
м
B
количество звуковой энергии, находящейся в единице объёма
2
I P
2Э,[Дж
]
3,
c c м
3.Акустические уровни
характеристик звукового поля.
За значение нулевого уровня интенсивности звука принята
Вт
12

10

I
.
величина интенсивности звука 0м
2
Так как, в соответствии закону Вебера–Фехнера, степень
физического воздействия звуковых колебаний на органы слуха человека
пропорциональна десятичному логарифму от интенсивности излучения
этих колебаний, то абсолютный уровень интенсивности (громкость
звука) находится в соответствии с выражениями:
V
I P
lg

20

lg

20

lg

10

L
[дБ], где
V
P
I
0
0
0
м
Вт
Н
8

12

5

10

5

V
)
(
Па
10

2

P
10

I
0пороговые уровни
, 0
0 2
2,
с
м м
(порог слышимости) интенсивности звука, акустического давления и
колебательной скорости соответственно.
Основные уравнения
распространения
акустических колебаний в
свободном пространстве

Будем
рассматривать
идеальную
безграничную
среду
распространения акустических колебаний (не учитывая потери на
вязкость и теплопроводность). Для такой среды уравнения движения её
частиц (уравнение Эйлера) имеет вид:





U
1

(
U


)

U



g
p
, где U – вектор колебательной

t
скорости, p – акустическое давление,  – плотность среды,  – оператор
Гамильтона





x

y

z
0
0
0

x

y

z
Второе уравнение, уравнение непрерывности, вытекает из закона
сохранения массы вещества и имеет вид:




div
(

U
)

0

t
p

p

p
0
A и
Для звуковых волн изменения давления




0
A
плотности 
малы в сравнении со стационарными значениями
pA p0, A 
0. Тогда, пренебрегая величинами второго порядка

малости относительно значений pA,A,U, получим линеаризованное
уравнение гидродинамики для акустических волн:


U1
 grad
p

0– уравнение движения сплошной среды и
A

t 
0


A


div
(
U
)

0
0
уравнение непрерывности 
.
t

Малые возмущения давления и плотности в акустической волне
p

связаны соотношением:  .
A
pA
В линейной форме (для малых деформаций) это уравнение является
уравнением упругости Гука при всестороннем сжатии:



p

A
A
, где  [
0
Н
] – модуль объёмной упругости
2
м

U можно
В связи с малой величиной колебательной скорости

U0. Отсюда
считать, что вихревое движение среды отсутствует и rot
U может быть записан в виде градиента скалярного потенциала
вектор

: U


grad
, а акустическое давление будет связано со скалярным
потенциалом выражением:




p

.
A
0

t
Анализируя предыдущие выражения, получим волновое уравнение
движения среды для скалярного потенциала:
 
2
1



2

0
, где c – фазовая скорость акустической волны,
2
c
t
равная:
2


p

p
A
c


. С учётом уравнения упругости Гука выражение для

A

расчёта фазовой скорости продольной волны имеет вид: c   .
0




Сравнение
фазовых
скоростей
продольных
акустических
колебаний, волн в различных средах даёт следующие результаты:
 
0
5
3
t

0
C
:

1,4

10
Па
,

1
,
3
кг/
,
c

33
м
 Среда – воздух при
0
9
3
2
,

1
П
,

1
к
,
c

1
м
 Среда – вода: 
0
11
3
4
,9

1
П
,

3
к
,
c

1
к
 Твёрдая среда – сапфир: 
0
В газообразных средах скорость продольной акустической волны



R

T
может быть определена в соответствии с выражением c
, где
c
  P – отношение теплоёмкостей среды при постоянном давлении и
cV

c

c
постоянном объёме, R
P
V– газовая постоянная, T – абсолютная
температура в К0.
Для воздуха

Дж 0

1
,
4
,
R

287
,
T

273
К,
c

331
м/с
(t

0
C
кг

К
Волновое уравнение среды
для гармонических
акустических колебаний
Для гармонического поля, при комплексном
представлении характеризующих его величин,
волновое уравнение имеет вид:



2





k


0
, k –
2
c
волновое число.
Это уравнение Гельмгольца. Любое его
решение
представляет
собой
распространяющуюся гармоническую волну.
По форме фронта волны различают плоские,
сферические и цилиндрические волны.





Для плоской волны, распространяющейся
вдоль оси Х, волновое уравнение принимает
вид:
2

d
2


k


0
2
dx
Решение этого уравнения с учётом
j t
временного
множителя
e (оператор
вращения) имеет вид:
j
(

t

k

x
)



e
;
0
или для реальной частоты:


cos(

t
k
x
)
.
0




Колебательная скорость:





x
U


grad


x


x

k


sin(

t

k

x
)
, где 0 – орт оси Х.
0 0
0

x





Акустическое давление:

p





sin(

t

k

x
)
A
0 
0
0

t

То есть U и p A находятся в прямой пропорциональности с  и для
бегущей продольной плоской волны
синфазны.

Для синфазных величин p A , U акустическое сопротивление – чисто
вещественная величина и имеет вид:




p
A 0
Z




c
.
A
0
Uk
Для воздуха при нормальном атмосферном давлении и t = 200C
кг
Z

420
A
.
2
м

с


В случае сферической волны, излучаемой точечным источником
(размер a   ), колебания в однородной среде распространяются
равномерно по всем направлениям. Скалярный потенциал  зависит
только от расстояния и не зависит от угловых координат ,  .
Волновое уравнение среды имеет вид:
  
2
2
 2



 
k


0
или, объединив слагаемые, получим:
2
r

r r
 
2

2


(

r
)

k

(

r
)

0
2

r
Уравнение имеет вид, похожий на волновое уравнение для плоской
волны. Решение уравнения представляет собой две сферические волны:
расходящаяся волна (бегущая по радиусу r) и сходящаяся волна
(бегущая против радиуса r). Для расходящейся волны решение имеет
вид:
A
j

(

t

k

x
)



e
, где А – постоянная интегрирования,
r
зависящая от граничных условий задачи.
В отличие от плоской волны амплитуда сферической волны
1

уменьшается с расстоянием по закону r .
Для действительной части колебательной скорости имеем:




A

k
1
U



sin(

t

k

x

)

arc
, где
.
k

r
r

cos
Модуль акустического сопротивления сферической волны имеет


c

cos
A
0
вид: Z
и не превышает сопротивления плоской волны (для
r » λ и α= 0).
 
Для цилиндрической волны акустическое давление определяется
зависимостью:
pA 
p1
r
, где p1 – акустическое давление у излучателя.
1
 
2

k

r
Модуль акустического сопротивления:
Z


c

cos
arctg
A
0
, где 
.
Таким образом, сдвиг фаз (появление реактивной составляющей

параметров акустического поля) между U и p A наблюдается только у
расходящихся (сходящихся) сферических и цилиндрических волн.
Затухание акустических
волн.
В реальных средах акустические волны затухают вследствие
вязкости среды и её теплопроводности. Уравнение движения среды с
учётом этих факторов (уравнение Навье–Стокса) имеет вид:






4|
1
1


U
2
|
2
b




(

)–
c

grad

b



U

0
,
где
0
3
c
c
V
P

t
эффективный коэффициент вязкости,  [Па*с] – коэффициент сдвиговой
(поперечной) вязкости,  [Па*с] – коэффициент объёмной вязкости,  –
коэффициент теплопроводности.
|

Для плоской гармонической волны решение уравнения движения
j
(
t

kx
)

U

e
среды ищут в виде U
(распространение вдоль оси
m
Х).
Подставляя это решение в уравнение движения
среды, имеем:



b
2
2
22


c

k

j


k


0
0

При 
b


1
2

c
0
(соответствует малому затуханию на
расстоянии порядка  ) можем записать:
 




b




k

1

j


k

j


 



b
c

c


.
c

j


2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
k0 

 определяется
При
c коэффициент затухания
выражением:






2 2


b

4
1
1
1


|








(

)
,
3
3




.
3 c
c
м

c

c


V
P


0
0
Основная причина затухания акустических волн – это сила вязкого
сопротивления между соседними частицами среды, обладающими
различными скоростями (первое слагаемое).
Вклад в потери объёмной вязкости  меньше, чем первого
слагаемого. В силу малости коэффициента теплопроводности  в
жидкостях и газах третье слагаемое также оказывает незначительное
влияние на затухание волны.
|
Следует заметить, что коэффициент затухания  пропорционален
 2 , что объясняет малое затухание низких частот при распространении
сигнала на большие расстояния.

В среде с потерями параметры акустической волны ( U ,
интенсивность J и др.)
экспоненциальному закону.
уменьшаются
с
расстоянием
pA ,
по
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х



x
j

(


t

k

x
)

U
U

e

e
m
Её интенсивность также уменьшается, переходя в тепловую
энергию:




2


x
2

2


x
J

J

e

0
,
5

U

e

c
.
0
m 
0
Для сферических и цилиндрических волн кроме затухания  потери
связаны ещё и с их геометрической расходимостью. Для оценки
затухания возьмём отношение акустических давлений на разных
расстояниях r1 и r2 от источника с учётом поглощения:

n


p

n
A
2r
1




e
, где n  0,5 – для цилиндрической волны, n  1 –


p
r
A
1
2


для сферической.

Изменение уровня интенсивности определяется формулой:
p
r
A
2
1
L

20

lg

20

n

lg

20

r

,
дБ
.
p
r
A
1
2
Распространение акустических колебаний в
ограниченном пространстве.
Взаимодействие смежных ограниченных
пространств и ограниченного пространства
со свободным пространством.
1. Отражение и преломление
акустических волн на границе раздела
сред при нормальном падении.
• Если две смежные среды имеют разные
акустические сопротивления ZA, то на границе
раздела падающая волна отражается и
преломляется. Соотношения между
акустическими параметрами падающей,
отражённой и преломлённой волн определяется
граничными условиями – непрерывность
акустического давления и нормальной
компоненты колебательной скорости на границе
раздела. Если бы был скачёк давления, то на
границе был бы источник волн, а если бы был
скачёк скорости, то был бы скачёк смещения
частиц, то есть разрыв целостности среды и
Пусть сопротивления сред – Z1 и Z2, плоскость YZ – граница раздела сред . На
границу раздела падает по нормали плоская волна. Ось Х совпадает с
направлением распространения падающей и преломлённой волн.
На границе раздела (x=0) выполняются граничные условия:
 Непрерывность акустического давления p A :
p

p

p
A
ПАД
A
ОТР
A
ПР
 Непрерывность нормальных компонент колебательной скорости:
U

U

U
ПАД
ОТР
ПР
Акустическое давление и колебательная скорость связаны между собой через
p
 A.
A
акустическое сопротивление: Z
U
“+” – волна падающая и преломлённая (в положительном направлении оси
Х)
“–” – отражённая волна.
C учётом ZA (Z1 и Z2) запишем граничные условия в виде:
Z

U

Z

U

Z

U

1
ПАД
1
ОТР
2
ПЗ

U

U

U
ПАД
ОТР
ПР

Введём коэффициенты отражения и преломления по колебательной
скорости:
U
ОТРU
ПР
R

,T

U
И
U
U
ПАД
ПАД
Из последней записи граничных условий можно записать:
Z

Z
2

Z
1
2
1
R

,
T

U
И
Z

Z

Z
1
2 Z
1
2
Используя связь U и p A можно записать коэффициенты отражения
и преломления по акустическому давлению:

R


T

PA
PA


Z
Z
2
2
 Z
 Z
2 Z 2
Z 1  Z
1
  R
U
1
 1  R
2
PA

Перед границей раздела в первой среде с Z1 падающая и отражённая
волны образуют интерференционное поле:

j

k

x
j

k

x
1
1

p

p

e

R

p

e
A ПАД
ПАД
ПАД



j

k

x
j

k

x
1
1
U

U

e

R

U

e

 ПАД U ПАД
В предельном случае, когда Z 2   , коэффициенты отражения равны
R

1
,
R


1
PA
U
, то есть фаза давления отражённой волны не меняется и
амплитуда результирующей волны на границе удваивается, а фаза и
меняется на J и на UГР=0. Перед границей возникает интерференционное
поле в виде стоячих волн полей U и p A (рис):
j
t

p

2

p

c
k

x
)

e

A
A
1

j
t

U


j

2

U

s
k

x
)

e
m
1

В
других
случаях
интерференция
поля
коэффициентом отражения, зависящим от Z1 и Z2.
определяется
При отличном от нуля коэффициенте отражения и при
неодинаковых амплитудах падающей и отражённой волн стоячая волна
образуется из отражённой части падающей волны, по амплитуде равной
отражённой. Остальная часть падающей волны образует бегущую волну,

p

p
m
БЕГ
m
ПАД
m
ОТР
амплитуда которой равна p
(рис.). Если известны


значения амплитуд давления в пучности и узле, то:
p
p

p
1
 pmin
ОТР
max
min


,
где
p
p

p
1
 pmax – к.б.в.
ПАД
max
min



В этом случае поток энергии создаётся только бегущей волной, а
плотность энергии состоит из двух составляющих – плотности бегущей

БЕГ
СТ
волны и плотности стоячей волны: 
.
Во многих случаях при анализе акустических волновых процессов
пользуются коэффициентом отражения по интенсивности:
2
Z

Z
2
2
1
2
A


R

R
ОТР
U
pa
Z

Z
1
2
Прохождение волн из среды 1 в среду 2 определяется по
интенсивности падающей и преломлённых волн при нормальном
падении:
2
Z

p

Z

Z
1
m
2Z
12 4
1
T
2


T
 2
I
pa
коэффициент
2–
Z
Z

p


Z

Z
2
m
1 2
12
2
T
волн, где pa – коэффициент преломления.
прохождения
Нулевой коэффициент отражения, обеспечивающий наилучшую
передачу волн из одной среды в другую, можно получить с помощью
согласующего слоя толщиной
l

4

Z

Z
m
1
2
и сопротивлением Z
.
Для этого выделим в первой среде слой толщиной l.
На плоскости x = – l запишем:
j

k

l

j

k

l
1
1

p
(

l
)

p

e

p

e
A
ПАД
ОТР


j

k

l

j

k

l
1
1
U
(

l
)

U

e

U

e

ПАД
ОТР

С учётом коэффициентом отражения по
примут вид:
эти выражения
p
,
R
иZ
A
p
A1
j

k

l

j

k

l
1
1

p
(

l)
p
(
e

R
e
)
A
ПАД
pA

p

ПАД
j

k

l

j

k

l
1
1
U
(

l
)

(
e

R
e
)

pA
Z
1

Для входного сопротивления на расстоянии от границы раздела сред
имеем:
j

k

l

j

k

l
1
1
e

R

e
p
(

l
)
pA
A
Z
(
x


l
)


Z

ВХ
1
j

k

l

j

k

l
1
1
U
(

l
)
e

R

e
pA
Подставляя значения R pA , имеем:
Z

cos(
k

l
)

j

Z

sin(
k

l
)
2
1
1
1
Z
(

l
)

Z

ВХ
1
Z

cos(
k

l
)

j

Z

sin(
k

l
)
1
1
2
1
Для
l

4
имеем
.
2
Z
1
Z
(
)

ВХ
4
Z
2


Пусть согласующий слой имеет сопротивление Z mp , волновое

K
l

число mp , и толщину
.Входное сопротивление этого слоя на
границе
x  lmp
4
2
Z
mp
1
m
Z
(
)

Z
(
)

Z
ВХ
В
1
.
Для
отсутствия
отражения
,
4
Z
4
2
отсюда
получим
сопротивление
четвертьволнового

Z

Z
Т
1
2
Р
трансформатора Z
.
По Z ТР подбирается материал согласующего слоя. Для
расширения полосы рабочих частот используют несколько
четвертьволновых слоёв.
Для предотвращения прохождения случайных колебаний в
смежную среду с Z2 необходимо преломлённую волну поглотить (то есть
обеспечить её затухание). Степень поглощения характеризуется
коэффициентом поглощения:
I

ПОГЛ
ПОГЛ



ПОГЛ
, где I
I

ПАДПАД
ПОГЛ
– интенсивность поглощённой волны,
 ПОГЛ – поглощённая энергия.

Если размеры поглощающей поверхности велики в сравнении с
длиной волны и её толщина практически бесконечна, то коэффициент
поглощения определяется выражением:
2
Z

Z
1
2

1

A

1

, Z2 – акустическое сопротивление
ПОГЛ
OTP
Z

Z
1
2
поглощающей среды.
В общем случае коэффициенты преломления, отражения и
поглощения зависят от угла падения звуковой волны, поэтому
рассмотрим эти явления при наклонном падении волны на границу
раздела двух сред.
2.Отражение и преломление
акустических волн на границе раздела
сред при наклонном падении.
На границу раздела двух сред под углом  падает плоская волна, под
углом  она отражается, под углом  преломляется. Отражение – по
j t
закону оптики. Без учёта оператора вращения e
потенциал поля




 

A

e
 падающей волны:
 

j

k

(
x

cos

Z

sin
)
1
ПАД
 отражённой волны:

j

k

(

x

cos

Z

sin
)
1


A

R

e
ОТР
 преломлённой волны:
j

k

(
x

cos


Z

sin

)
2


A

T

e
ПАД
R и T – коэффициенты отражения и преломления.
Так как акустическое давление определяется через потенциал

p


выражением
, то на границе раздела двух сред имеем
A 0

t

1 2

pA1 pA2 на границе).
(равенство
2 1





 1 и  2 – потенциалы полей в первой и второй средах.


, 
1 ПАД
ОТР
2 ПР
Равенство нормальных скоростей



grad
(U
) даёт:




1 
 2

x 
x
на
границе
раздела
сред



Из условия равенства pA1 pA2 с учётом выражений для полей


,
,
на границе раздела при х=0 получаем:

П
О
П
АД
Т
Р
Р

1

R

j

Z


(
k

cos

k

sin

)
1
2

e
T
2
1
Так как левая часть не зависит от Z, то получаем закон
преломления (закон Снеллиуса) в виде:
k
c
sin
2
1


sin

k
c
1
2
При этом связь между коэффициентами отражения и преломления
запишется в виде:


2
1

R

T

(*)
1

U
Из второго граничного условия ( U
) имеем:
НОРМ
1
НОР
2

(
1

R
)

k

cos

T

k

cos

(**)
1
2






Из системы (*) и (**) получаем коэффициент прохождения:
2


c

cos
1
2
T

(1)
Z

cos


Z

cos
1
2
Коэффициент отражения:
Z

cos

Z

cos

2
1
R

(2)
Z

cos

Z

cos

2
1
Формулы (1) и (2) – акустические формулы Френеля. Мы получили
R и T по потенциалу скорости. Эти же коэффициенты по давлению
равны:
2

Z

c
2
1
R

R
,
T

T


p
p
Z

c


Z

c
1
1
2
Анализ полученных выражений даёт:


cos


Z

cos
коэффициент отражения равен нулю
1
2
 при условии Z
и волна полностью во вторую среду. Угол падения θ при условии
2
полной прозрачности: cos  
 при

c
1

1
,


. Приняв
c
2
 c1 

  1
c
 2 
 

 


2
2
2
1

  1

определим
,
при котором
c
1

a
K
преломлённая волна пойдёт по границе раздела:
.
c
2






KP и
 при
2 коэффициент отражения R=1 и наблюдается




явление полного отражения (вдоль границы раздела).


j

k

Z


sin


j

1






2

A

cos(
k

x

cos
)

e

e
1
ПАД
ОТР
1









a

 , 
tg

k

cos

,a

k

cos
2
1

2 
1



2



Эта волна
направляемой.
распространяется
вдоль
границы
и
называется
Амплитуда волны зависит от координаты Х и изменяется по
гармоническому закону вдоль нормали к границе раздела. Амплитуда




n

x


(
n

1
)поставить
всегда максимальна при
. Если при x
k

cos
k

cos
1
1
аналогичную отражающую границу, то интерференционное поле не
изменится. Получается жёсткий плоский волновод, в котором волны
курсируют между стенками, распространяясь по Z вдоль волновода.
При широкополосном сигнале звуковая волна распространяется
вдоль волновода неодинаково по спектру. Часть спектральных
составляющих распространяется без потерь (полное отражение) и часть –
с потерями (на преломление) и зависит от соотношения  с размером x
волновода.
Распространение волн в
трубах
Для трубы удобнее пользоваться понятиями объёмного смещения и
объёмной скорости.
Объёмное смещение – произведение смещения частиц среды на
поперечное сечение трубы: U  S.
Объёмная скорость – произведение колебательной скорости U на
поперечное сечение трубы S: QU S.
p
Z
A
A
Z


B
Волновое сопротивление:
– отношение акустического
Q
S
давления к объёмной скорости в данном сечении трубы.
Полное
сопротивление:
колебательная сила.
F
2
Z

Z

S

Z

S
M 
A
B
,
где
U
F
–


Для трубы конечных размеров происходит отражение звуковых
волн от её концов и в ней образуются две бегущие волны с встречным
направлением.







x
x




p

p

ex
j


t


p

e
j


t






A

ПА

О




t
t










x

x







p

p

exp
j


t


2

p

co

ex
j


t






ПАД

ОТР

ОТР
t




c
p – прямая волна (от источника в трубу)
p  – обратная волна (из трубы к источнику)
( p  p ) – амплитуда давления в бегущей волне в том же
положительном направлении, что и прямая волна.

x
2

p

cos

– амплитуда давления стоячей волны.
c
Входная удельная акустическая проводимость конечной трубы,
закрытой с обоих концов:




2






1
1
1

l1

c

l




Y




cos

j


1


sin
BX




Z
Z
Z
c

c
Z

Z
c
A
BX
A
1
A
2
A
1
A
2




Z A 1 и Z A 2 – удельные акустические сопротивления отражающих
поверхностей на концах трубы, l – длина трубы,
акустическое сопротивление среды в трубе.
  c – удельное
Для частот
n

c


, для
соотношением l 
l
которых длина волны связана с l
n 
, где n1,2,... – целое число, входное удельное
2
сопротивление чисто активно и минимально:
Z

Z


Z


1

Z

Z
n
A
1
A
2
A
BX
min
A
1
A
2
Эти частоты называются резонансными частотами трубы. Так для
трубы с l = 1м резонансные частоты будут:


c
3
n

1
f



1
Г
1
2

l
2
n

2
f

343
Гц
2p

3
f

515
Гц
3p
 n
и т.д.
Для
частот

(
2

n

1
)



c


, для
2

l
которых

связана
с
l

(
2

n

1
)

соотношением l
удельное акустическое сопротивление носит
4
чисто реактивный характер и по величине достигает максимального.



c
Z


j

A
BX
max
2
(
c
)
1

Z

Z
A
1
A
2
Соответствующие частоты называют антирезонансными.
Для трубы с l = 1м резонансные частоты будут:



n

1
f

85
,
7
Гц
1ap
n

2
f

257
Гц
2ap
n

3
f

429
Гц
3ap
и т.д.
Для воздуха обычно входное удельное акустическое сопротивление трубы
численно равно акустическому сопротивлению воздуха для плоской волны, но с
множителем “-j”, то есть носит реактивный характер.
Акустические характеристики
помещений.
• Помещение относится к категории ограниченного
пространства. Распространение волн в таком
пространстве может претерпевать множественные
переотражения от ограждающих конструкций.
• Для таких пространств простой формы (например,
прямоугольно) применяется волновая теория анализа
акустических характеристик. Однако в инженерной
практике пользуются более простыми, хотя и менее
строгими, методами анализа, основанными на
статической теории процессов отражения звука.
• Согласно волновой теории собственные частоты fr
помещения длиной l, шириной b, высотой h определяется
из выражения:
2
2
2
c
k
m
n






f










r
, где k, m, n – целые числа от нуля до бесконечности.
2
l
b
h






• При выключении источника звука
происходит процесс затухания колебаний
на всех собственных частотах помещения.
• Процесс затухания колебаний в
помещении носит название реверберации.
• Кривая затухания звука не носит
монотонный характер из-за биений между
собственными частотами:
В случае применения статистической
теории реверберации пользуются
следующими понятиями и величинами:
• Диффузное поле – поле, в котором энергия
отражённых акустических колебаний
преобладает над энергией прямых
акустических колебаний.
• Средняя длина свободного пробега – это
среднеарифметическое значение длин
отрезков между отражающими
поверхностями, которое проходит звуковые
волны:
K
1
L

l

CP
i
K
i

1

• Среднее время свободного пробега
определяется как отношение к скорости
L
звука:
CP
tCP
c
• Средний коэффициент поглощения. При
каждом отражении часть энергии сигнала
поглощается отражающей поверхностью.
K
1

E


C
P
K
E
i

1
Если помещение состоит из K участков площадью Si, i  j, k с
различными коэффициентами поглощения  i , то средний коэффициент
поглощения определяется выражением:
SA



, где

SS
K
i
CP i
i

1

S
–
общая
площадь
отражающих
K
поверхностей,
A


S

i
i–
общее
i

1
поглощение помещения (имеет
размерность площади)
Остальные
акустические
характеристики
помещений:
реверберация, время реверберации, акустическое отношение и др.
применяют при расчётах помещений с заданными свойствами (студий,
радио- и телецентров, дикторских центров и т.п.).

Звукопоглощающие материалы и
конструкции
2
Z

Z
1
2

1

A

1

- коэффициент поглощения
ПОГЛ
OTP
Z

Z
1
2
– идеальное акустическое
П

с
Z

4
Для воздуха 1
сопротивление.
м
Z
c2 – акустическое сопротивление поглощающего материала.
2
Зависимость от частоты приводит к тому, что одни
материалы имеют большое поглощение на низких
частотах, другие – на высоких, третьи – на средних.
Зависимость коэффициентов поглощения от частоты для
разных материалов не является монотонной, что
позволяет подбирать общее поглощение в помещение
требуемой величины в заданном диапазоне частот.
• По принципу звукопоглощения всё
материалы делят на пористые,
резонирующие и перфорированные.
Другая классификация материалов –
пористые и сплошные.
Z AK больше, чем
Все сплошные материалы имеют
воздуха,
а
пористые,
в
большинстве
Z AK
случаев,
– меньше, чем у воздуха.
Пористые материалы
• Пористые материалы всегда комбинируются
со сплошными, располагая сплошные позади
пористых. При этом наименьшее поглощение
получается при расположении пористого
материала вплотную к стене из хорошо
отражающего сплошного материала (l = 0).

• Наибольшее поглощение достигается при l  4
• При этом с увеличением l больше указанных
величин поглощение остаётся постоянным
• Одна из распространённых конструкций пористых
поглощающих материалов – облицовочная. Такие
материалы изготавливает в виде плоских плит или
рельефных (объёмных пирамид, клиньев и т.п.),
располагающихся или вплотную (расстояние l
обеспечивается конструкцией), или на небольшом
расстоянии от сплошной толстой стены.
• Пирамиды или клинья устанавливают на небольшом
расстоянии от стены основаниями вплотную друг другу. В
помещение они обращены вершинами.
Такие конструкции создают большее поглощение, чем плоские плиты
(многократные перекрытия). Величина коэффициента поглощения зависит и
от толщины материала  . Приведём пример частотной зависимости  ПОГЛ
для пористых материалов.
Резонансные поглотители
• Они делятся на мембранные и резонаторные.
• Мембранные поглотители представляют собой
натянутый холст или тонкий фанерный щит, под которым
располагают хорошо демпфирующий материал
(материал с большой вязкостью, например, губчатая
резина, поролоновые коврики, строительный войлок и
т.п.). Щиты с натянутым холстом называют щитами
Бекеши.
Максимум поглощения получается на резонансных
частотах. Так, для натянутого холста с силой натяжения F
резонансные частоты
k F
f

k
,
2

l 
t

b

где

– плотность
материала хоста, l , b, t – длина, ширина и толщина полотна,
– порядок резонансной частоты.
k
l
2,
b
Для фанерного листа с соотношением
закрепленного
по краям , резонансные частоты по длине листа определяются
выражением:
3 t
f
3
,
45

10
2k
k
l , где
l , t – длина и толщина листа в метрах.
Если фанерный лист расположен близко от твёрдой стены,
то его упругость будет повышена и собственная частота выше.
Упругость может быть повышена и размещением под местом
демпфирующего слоя
Перфорированные резонаторные
поглотители
Такие поглотители представляют собой систему воздушных резонаторов, в
устье которых расположен демпфирующий материал. Резонансная частота
резонатора равна:
c
S
f


0
, где S – поперечное сечение резонатора, l – длина горла, V –
2
 l

V
объём полости резонатора.
Наиболее распространённая конструкция резонаторных поглотителей перфорированный лист, расположенный на некотором расстоянии h от твёрдой
стены. Такая конструкция может рассматриваться как ряд резонаторов.

Если перфорация распределена по поверхности листа равномерно, то
такой поглотитель имеет типичную резонансную кривую поглощения типа:
Для кривой 1:


3
мм,
D

7
мм


d

3
см,
h

5
см

Для кривой 2: с заполнителем воздушного зазора матами из асбестовой
ваты.
Для равномерного распределения отверстий резонансная частота равна:
 
c
S
f




0
,
5
 
S
0
Э
, где S – сечение отверстия, l
–
2
2
 l

d

h
Э
эффективная толщина листа,  – толщина листа, h – расстояние от стены
(потолка), d – расстояние между отверстиями.
Если располагать отверстия неравномерно, то можно получить
равномерную зависимость поглощения от частоты.
Вместо ряда отверстий применяют и щели. В этом случае
резонансная частота равна:
c
b
f


0
2
 l

d

h

Хорошее поглощение обеспечивают акустические плиты АГШ
(
500
Гц)

0,98
max
(гипсовые штампованные): 
Перфорированная поглощающая конструкция с прямоугольными отверстиями
Звукоизоляция помещений
• Основные пути прохождения звука через
перегородки: через щели и т.п. (воздушный
перенос), через материал стены или по трубам
коммуникаций (отопление, газ, водопровод) в виде
продольных колебаний его частиц (материальный
перенос) и передача колебаний посредством
поперечных колебаний конструкций (мембранный
перенос).
• Для уменьшения переноса звука через
перегородки необходимо сделать их слоистыми,
подбирая материал слоёв с резко отличающимися
акустическими сопротивлениями (бетон –
поролон). Стены делают двойными с поглощением
между ними. Для уменьшения мембранного
переноса стены делают массивными, чтобы их
резонанс был на очень низких частотах.
Звукопроводность
При падении звуковой волны с интенсивностью I ПАД на какуюлибо перегородку больших размеров в сравнении с длиной волны
интенсивность звука с другой стороны перегородки I ПР в условиях
отсутствия отражения звука в пространстве за перегородкой будет
определяться только звукопроводностью перегородки.


Коэффициент звукопроводности:

2
2
I
p
ПР
ПР
ПР



,ПАД– поверхностная плотность
ПР
2
2
, где ПР
I
p
ПАД
ПАД
ПАД
материала перегородки с внутренней и внешней сторон.
Или в логарифмических единицах (звукоизоляция перегородки):
p


ПАД


LПАД
,LПР –
Q

L

L

20

lg
, где
ПЕР
ПАД
ПР


p
ПР


уровни
звукового давления с внутренней и внешней сторон перегородки.
Для стен с различной поверхностной плотностью коэффициент
звукоизоляции определён по формулам (учитывается только
мембранный перенос):


кг
Q

12
,
5

lg

14
,

200
ПЕР
2
м
кг
Q

14
,
5

lg

15
,

200
ПЕР
2
м

 

Q

14
,
3

lg
(
2
)

20

lg

13
ПЕР
1
–
для
перегородок воздушной прослойкой между ними
плотностью перегородок
двойных

жёстких
и поверхностной
кг

30

1
00
.
2
м
Определение уровня акустического
сигнала за ограждающей конструкцией
При прохождении через различные строительные конструкции и
материалы сигналы ослабевают в зависимости от толщины и
поверхностной плотности материала. Уровень акустического сигнала
за конструкцией равен:
S


ПР
L

L

10

lg

Q


2
1
ПЕР
, где S ПР – площадь
A


перегородки, A – общее
поглощение в помещении (эквивалентная площадь поглощения), L1 –
уровень акустического сигнала в помещении, L2 – уровень
акустического сигнала за звукоизолирующей перегородкой, QПЕР –
коэффициент звукоизоляции перегородки.
Если перегородка состоит из нескольких смежных участков, то
общая звукопроводность равна сумме звукопроводностей смежных
участков:

n
A


S
, где  ПРi

ПР
ПРi
ПРi
– коэффициент звукопроводности i-го участка
i
перегородки, S ПРi – его площадь.

Для сложной перегородки звукоизоляция помещения определяется
формулой:

S

Q
10
lg
 S

n
n
A

10
lg , A
A
ПР
ПРk
ПРk
n
ПОМ
k
–
общее
поглощение
в
помещении, AПР – общая звукопроводность перегородок.
Рассматривают средний коэффициент звукопроводности:
A
S

S
– общая площадь перегородки.
S , где 
ПР

ПР
.
СР
k
ПЕР
.
kПЕР
.

ПЕР
.
k
k
Звукоизоляция перегородки с дверью или окном можно рассчитать
по формуле:


0
,
1


Q

Q

0
1
0
Q

Q

1

l
1


1

1
Q1 –
П
1


,
где
S

S
1
0




коэффициент звукоизоляции глухой части перегородки (без учёта окна
или перегородки), Q 0 – коэффициент звукоизоляции окна или двери,
S1 , S 2 – площадь глухой части стены и окна (двери) соответственно.
• Для повышения применяют двойные двери с
тамбуром, обивкой пористым материалом, а
окна – с двойным либо с тройным
остеклением с эластичными прокладками.
• Вентиляционные
отверстия
во
время
проведения закрытых переговоров либо
перекрывают
звукоизолирующими
заслонками из материалов с различными
акустическими сопротивлениями ZA, стремясь
достичь коэффициента звукоизоляции глухой
стены,
либо
применяют
акустические
фильтры.
• Простейший акустический фильтр
представляет собой трубу, облицованную
звукопоглощающим материалом.
Более высокую эффективность по
затуханию акустического сигнала
получают при использовании сложных
акустических фильтров, которые состоят
из отрезков труб разного диаметра.
Курс лекций является частью учебно-методического комплекса
«Техническая защита информации», авторский коллектив:
Мальцев Ардалион Павлович, профессор каф. ТОР, канд. техн.
наук, доцент
Лучинин Александр Сергеевич, доцент каф. ТОР, канд. техн. наук,
доцент,
Гуляев Владимир Павлович, доцент каф. ТОР, канд. техн. наук,
доцент,
Вострецова Елена Владимировна, доцент каф. ТОР,
канд.техн.наук., доцент
Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре
Теоретических основ радиотехники
Никакая часть данной презентации не может быть воспроизведена в
какой бы то ни было форме без письменного разрешения
авторов