слайды(slides1)

Введение в
математическую логику
и теорию алгоритмов
Алексей Львович Семенов
07.05.2016
1
План




Место математической логики и теории алгоритмов в
современном мире
Анализ математической деятельности средствами
математики. Программа Гильберта
Базовый инструмент современной математики –
теория множеств
Примеры аксиом теории множеств
07.05.2016
2
Математическое описание некоторых видов
человеческой коммуникации и деятельности:






Доказательство теорем и определение математических понятий
Описание отношений между математическими объектами
Получение следствий из экспериментально установленных
утверждений, из гипотез и т. п.
Проектирование устройств (механических, электронных и т. д.)
с заданными свойствами и функциями.
Создание и выполнение формальных предписаний (описание и
применение алгоритмов и программ)
Установление соответствия между описанием требуемого
результата и алгоритмом, предназначенным для достижения
этого результата (доказательство правильности)
Математическая логика и теория алгоритмов дают
(математические, точные) критерии правильности
3
МЛиТА: Результаты, относящиеся к:









Множествам и отношениям, которые можно описать на том или
ином языке
Множествам доказуемых формул
Множествам истинных формул (имеется фундаментальная
разница с п.2)
Множествам математических структур, в которых истинны
формулы из заданного множества
Классам функций, которые вычисляются алгоритмами
Существованию алгоритма, выясняющего истинность или
доказуемость формул
Сложности вычислений
Сложности объектов
и т. д.
07.05.2016
4
Развитие цивилизации
Обработка материи
 Получение и использование энергии
 Переработка информации (XX век)

-
Становится основной деятельностью
Результаты, понятия, построения МЛиТА –
фундамент
07.05.2016
5
История
вопросы:
 Что значит, что математическое
утверждение доказано?
 Что значит определить
математическое отношение?
 Что значит, что
математическая функция вычислима?
Давид Гильберт (23.01.1862 — 14.02.1943)
Второй международный математический
конгресс, Париж, 1900
23 Проблемы Гильберта
I, II, X проблемы относятся к математической логике и теории
алгоритмов
Из семи Проблем тысячелетия первая также относится к нашему
предмету (ее не было среди проблем Гильберта)
07.05.2016
6
Первые ответы:
Конец XIX в.:
 Готлоб Фреге (8.11.1848 — 26.07.1925).,
Давид Гильберт и др.:
Математическое доказательство
– текст (цепочка формул), построенный по заданным,
математически определяемым правилам


Георг Кантор (3.03.1845 — 6.01.1918):
Первичная система понятий математики
- теория множеств

Начало XX в.

Эрнст Цермело (27.7.1871 ‒ 21.5.1953)
аксиоматическая теория множеств (1908)
В курсе будет дано определение
математического доказательства
07.05.2016
7
Организационные замечания







http://lpcs.math.msu.su/vml2013/
Н. К. Верещагин, А. Шень, Лекции по
математической логике и теории алгоритмов,
изд. МЦНМО (mccme.ru)
И. А. Лавров, Л. Л. Максимова, Задачи по
теории множеств, математической логике и
теории алгоритмов
Математическая деятельность
Консультации
Экзамен
Просеминар
07.05.2016
8
Построение математики. Неформальная
теория множеств
Задания множеств:
{2, 14, 5.4}
{x| x – действительное число и sin(x)>0}.
 принадлежность элемента множеству ∊, пустое множество Ø,
включение множеств ⊂ (нестрогое, допускающее совпадение) ,
объединение ∪, пересечение ∩, разность \,.
 Упорядоченная пара < x; y > :
< x; y >=< x′; y′> → ( x = x′ и y = y′)
 Произведение X X Y – множество всех упорядоченных пар
< u; v >, где u ∊ X и v ∊ Y
.
 n-ая степень Xn множества X. X1 – это X.
 Отношение между множествами X, Y – любое подмножество их
произведения X X Y.
 n -местное отношение на множестве X– любое подмножество Xn.

07.05.2016
9




Отношение f между X и Y называется функцией из X в Y
если из совпадения первых компонентов f вытекает
совпадение вторых. Обозначения f (x)=y , f: x ├→ y
Областью определения функции называется множество
первых ее компонентов.
Если область определения совпадает с X, то функция
отображает X в Y; f : X → Y.
XY - множество всех функций, отображающих Y в X.
биекция между X и Y (из X в Y), изоморфизм X и Y, если:




f:X→Y
из совпадения вторых компонентов элементов f вытекает
совпадение первых,
вторые элементы f образуют все множество Y .
Изоморфные множества - равномощные.
07.05.2016
10






Множество называется счетным, если оно равномощно
натуральному ряду.
Конечные множества можно сравнивать по величине.
Вложение – изоморфизм подмножеству.
Как быть с бесконечными?
Задача. Доказать, что всякое подмножество натурального
ряда равномощно
или его начальному отрезку,
или всему натуральному ряду.
Часть может быть изоморфна целому, Одно из первых
открытий теории множеств.
Галилео Галилей (15.02. 1564 — 08.01.1642)
07.05.2016
11
Галилей
07.05.2016
Беседы и математические
доказательства, касающиеся
двух новых отраслей науки,
относящихся к механике и
местному движению,
синьора
Галилео Галилея Линчео,
философа и
первого
математика
светлейшего
великого
герцога
тосканского
12





Сальвиати. …количество всех чисел вместе — квадратов и не
квадратов — больше, нежели одних только квадратов; не так ли?
Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.
Сальвиати. квадратов столько же, сколько существует корней,
так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень свой
квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и
ни один корень более одного квадрата…
Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать,
что свойства равенства, а также большей и меньшей величины,
не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и
применимы только к конечным количествам.
Поэтому, когда синьор Симпличио предлагает мне неравные
линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в большей из
них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей,
то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не
одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой.
07.05.2016
13




Теорема Кантора – Бернштейна.
Пусть существует биекция между множеством A и
подмножеством множества B, а также биекция между
множеством B и подмножеством множества A. Тогда
множества A и B – равномощны.
Задача. Доказать Теорему Кантора – Бернштейна.
Задача. Бывают ли разные бесконечности?
(Галилей)
Задача. Можно ли сравнить любые множества по
мощности, то есть верно ли, что для любых A и B,
или A равномощно подмножеству B, или B
равномощно подмножеству A?
07.05.2016
14
Логика.



Логические константы B={0,1}
Свойства – функции, принимающие только
значения 0 и 1. Всякое свойство задает
отношение – множество элементов, на которых
ее значение = 1. Любая функция f : X → B
называется характеристической (на X) B X
Задача. Построить изоморфизм между
множеством характеристических функций на X и
множеством подмножеств множества X .
07.05.2016
15


Задача. Доказать, что множество подмножеств
любого множества ему не изоморфно.
Идея решения [Диагональ Кантора]. Для счетного
случая
07.05.2016
16
Диагональ несчетности
Аргумент
0
1
2
3
4
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
2
1
0
0
1
1
3
0
0
0
1
0
……..
№ функции
4
0
1
0
1
0
……………………………………………………………………………
Функция, которой нет в таблице – это
1- t(i,i), то есть не t(i,i),
нули заменили на единицы, единицы – на нули.
Программа Гильберта построения математики
и математического исследования
математической деятельности

Математика представляется как система




аксиом – утверждений, которые мы принимаем за истинные и
правил доказательства – получения новых утверждений.
Практика математической деятельности должна убеждать
нас в том, что, выбранная система позволяет строить все
нужные доказательства. В идеале всякое математическое
утверждение можно доказать или опровергнуть (полнота).
Некоторые математические доказательства являются
«особенно надежными и убедительными» (например,
арифметические вычисления). Используя только их, можно
убедиться в том, что выбранная система не позволяет
получить противоречий. (непротиворечивость)
07.05.2016
18
Полнота и непротиворечивость





Полнота – желательна
Гильберт: «Это убеждение в разрешимости каждой
математической проблемы является для нас большим
подспорьем в работе; мы слышим внутри себя
постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты
можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в
математике не существует Ignorabimus!»
Непротиворечивость - обязательна
Противоречие – нельзя «локализовать» в обычных
системах рассуждения
Могло бы оказаться, что и полноту математики можно
также доказать с помощью простых, понятных и
убедительных рассуждений.
07.05.2016
19
Программа Гильберта
1.
Успешно реализована
 Аксиоматическая
теория множеств
является основанием
современной математики
 Н. Бурбаки – середина XX в.
(1930-е, в основном 1950 – 60-е гг.)
2.
Провалилась
 Математика
– не полна
 Непротиворечивость
невозможно установить
 Курт Гедель (28.04.1906 – 14.01.1978)
1930-е гг.
07.05.2016
20
Теория множеств. Элементы аксиоматического
построения (неформальное введение)




Логические символы и их смысл (семантика)
Логические константы: символы И (истина), Л (ложь),
или символы 0, 1. Множество из двух символов 0 и 1
будем обозначать B.
Логические операции:
 (не, отрицание),
 (и, конъюнкция),
 (или, дизъюнкция),
→ (следует, импликация),
≡ (эквивалентность),
применяются к константам 0 (Л) и 1 (И)
Кванторы x (существует x ), y (для любого y)
07.05.2016
21
Таблица логических операций
A B

A
AB
AB
A→B
A≡B
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Кванторы: многоместные (в том числе –
«бесконечноместные») конъюнкция и дизъюнкция
07.05.2016
22
07.05.2016
23
Аксиомы теории множеств
Существование множеств
 x y  (y∊x)
[Аксиома пустого множества.]
 uv sw (w ∊ s ≡ (w = u  w = v))
[Аксиома пары]
 Пример: {Ø} – непустое множество
 Существование объединения множества
∪ {{1,2,4},{4,5},{8,7, {9}}} = {1,2,4,5,8,7,{9}}
07.05.2016
24
Построение натуральных чисел
Один из способов
 Построение каждого отдельного числа:
0 – это Ø
1 – это {0}
2 – это {0,1}= {0,{0}}
……Операция S (x) = x ∪ {x}
 Существование множества всех натуральных
чисел – аксиома
 Задача. Написать аксиому существования
натуральных чисел
07.05.2016
25
Какие еще аксиомы нужны?

Существование множества всех
подмножеств данного множества
usv(w(w ∊ v →w ∊ u) ≡ v ∊ s)
[Аксиома степени]
Что нужно для существования множества
действительных чисел?
 Что нужно для доказательства свойств
(«аксиом») действительных чисел?

07.05.2016
26
alsemenov@umail.ru
07.05.2016
27