Алгебраическая динамика и фазовое расширение геометрии Минковского Владимир В. Кассандров (лаборатория алгебраической динамики, полей и частиц) Пифагорейская первооснова Мира • А.Эйнштейн: «Природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов» • П.Дирак: «Вся история Вселенной есть история простых чисел» • Е.Вигнер: «Не приведет ли нас использование гиперкомплексных волновых функций к существенно новым результатам?» Кватернионы Гамильтона – алгебра, исключительная по своим внутренним свойствам. Кватернионы предопределяют структуру 3-мерного пространства как физического пространства! • Бикватернионы B – комплексные кватернионы): алгебра, объединяющая две исключительные алгебры – комплексных чисел и кватернионов. Алгебра хорошо известна, так как изоморфна обычной полной матричной 2x2 алгебре с элементами – комплексными числами. • В «алгебродинамической программе» структура алгебры бикватернионов полностью определяет как геометрию, так и физику нашего Мира. Ничего лишнего! Содержание • (Би)кватернионный анализ. B-функции как первичные физические сущности – физические поля. • Алгебродинамика на пространстве - времени Минковского M («старая» алгебродинамика). Альтернативный взгляд на электродинамику, квантование электрического заряда, магнитный монополь. Струны как частицы-сингулярности общего типа на M. Примеры решений. • Поток «Предсвета» как главный элемент физической картины Мира в алгебродинамике. Твисторная («лучевая») структура и частицы как фокальные точки (каустики) Предсветового потока. Поток Предсвета как поток Времени и «определение» физического времени в алгебродинамике. • Новая (индуцированная алгеброй B) геометрия физического пространства-времени (фазовое расширение геометрии Минковского) и «новая» алгебродинамика. • Ансамбль «дубликонов» и два типа сингулярных образований – частиц. Концепция «комплексного времени» и квантовая неопределенность эволюции. Геометрическая фаза и объяснение волновых свойств материи в алгебродинамике. (Би)кватернионный анализ как обобщение комплексного анализа • Основное соотношение дифференцируемости, расписанное в координатах, приводит к уравнениям Коши-Римана и уравнению Лапласа: dF F dZ Z x iy , F F ( Z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) du idy ( f ig ) (dx idy ) du fdx gdy, dv gdx fdy u v f ( x, y ), x y v u g ( x, y ) x y 2u 2u 2v 2v 2 0, 2 0. 2 2 x y x y Обобщение анализа на некоммутативную алгебру кватернионов (Кассандров,1980) • НЕКОММУТАТИВНОСТЬ алгебры учитывается в самом определении «аналитической» функции кватернионного переменного. Приводит к НЕЛИНЕЙНОСТИ кватернионного обобщения уравнений Коши-Римана и уравнения Лапласа. • На основе единственно этого соотношения строится теория ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ физических полей – функций кватернионного переменного dF dZ , {F F ( Z )} Основные принципы алгебродинамики • Физическое пространство-время –это векторное пространство алгебры кватернионов (или его инвариантное подпространство) • Физические поля – это аналитические функции бикватернионной переменной. Все уравнения поля есть следствия кватернионных уравнений Коши-Римана • Частицы – это особые точки (полюса, точки ветвления) первичных кватернионных полейфункций. Все их свойства полностью определяются B-уравнениями Коши-Римана. Уравнение комплексного эйконала как Qаналог уравнения Лапласа • Каждая компонента фундаментального Q- поля удовлетворяет уравнению «светового фронта» -- эйконала, однако здесь эйконал может сам уже быть комплексной функцией. Это лоренцинвариантное уравнение естественно нелинейно, может описывать взаимодействующие образования и представляет альтернативу полям Дирака и Клейна-Гордона в физике элементарных частиц. 2 1 f f f f 2 c t x y z 2 2 2 Уравнения Максвелла и Янга-Миллса как следствия условий B-аналитичности • Основная спинорная система переопределенная (реализация программы «сверхпричинности» Эйнштейна!!) и должна удовлетворять условиям совместности (=0 коммутатора производных), отсюда имеем условия самодуальности – уравнения Максвелла i 0, i 0 ct Новый взгляд на электродинамику • • • Обычно: следим за движениОем зарядов (точечных или распределенной плотности в плазме и т.п.), задаем их (через δ-функции и т.п.), затем вычисляем поля и смотрим их взаимодействие – эволюцию. Практически удобно, но ничего не говорит о СТРУКТУРЕ источников, ДВЕ независимые сущности – поле и заряды. У нас: первично только поле, оно «почти всюду» аналитично и удовлетворяет ВАКУУМНЫМ уравнениям Максвелла, «без источников»! Однако в некоторых точках оно сингулярно (обращается в бесконечность), определяя тем самым как ФОРМУ источников, так и их относительное расположение и ДИНАМИКУ. Если допустить, что ЭМ-поле, как и другие физические поля, КОМПЛЕКСНО («волновая функция фотона» -- Фейнман), то источники общего вида – СТРУНЫ (примеры будут приведены дальше): A( x, y, z , t ) E ( x, y , z , t ) D ( x, y , z , t ) 0 D ( x, y , z , t ) 2 ур ния для 4 неизвестных {x, y, z} зависят от {t , s} Переопределенность уравнений АД и квантование электрического заряда • А.Эйнштейн (концепция «сверхпричинности): фундаментальные уравнения должны быть настолько жестки, чтобы определять не только эволюцию поля во времени, но и накладывать сильные ограничения на возможные распределения поля (материи) в пространстве, тем самым фиксируя, в частности, и характеристики элементарных частиц. • У нас: Уравнения Максвелла – вторичны, первичная «мастер-система» - нелинейна и переопределена. • Следовательно, не всякое решение УМ допустимо (у нас): кулоновское решение НЕ с любым зарядом, а только с q=±1 – ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЗАРЯД возникает сам собой!! Отсутствие магнитных монополей • Если Q-электродинамика «вакуумная», то она «дуально инвариантна», например относительно замены (E,H) (H,-E) или более общего непрерывного вращения в плоскости (E,H). Поэтому всегда можно «кулоновскую» сингулярность считать отвечающем либо электрическому, либо магнитному (либо смешанному) полю. Имеет смысл только инвариантный заряд – исторически считаем его электрическим – магнитных монополей не существует в силу самой структуры ВАКУУМНЫХ, СИММЕТРИЧНЫХ уравнений Максвелла!! E 0, H 0, E t H , H t E q qCos mSin , m mCos qSin e q m e invaiant 2 2 Фундаментальное решение с кольцевой сингулярностью Пример решения (сингулярного множества) «вакуумных» уравнений Максвелла Решение УМ, описывающее процесс аннигиляции: Пример (сингулярного множества) решения УМ «фотоноподобного» типа Пара «скрещенных» колец, равномерно перемещающаяся со скоростью света υ=c «Предсветовая» структура Мира • Структура основного уравнения алгебродинамики тесно связана со структурой конгруенций (пучков) светоподобных лучей и фронтов (уравнение эйконала). Каждое кватернионное поле соответствует некоторому спинорному полю. Отношение двух компонент основного спинора G(x,y,z,t) определяет поле направлений n(x,y,z), n2=1, которое распространяется вдоль собственных направлений (лучей) с постоянной скоростью c . • Таким образом, основной элемент картины Мира, возникающей в алгебродинамике – это поток первичного (невидимого?) света – ПРЕДСВЕТ. Своего рода 3-мерная «световая река», или иначе – релятивистский инвариантный и нестатичный ЭФИР (+ многозначность поля – суперпозиция «подпотоков» -- стохастическое изменение, «мигание» поля в каждой точке!) Мир из Света Поле направлений – световых лучей. Первичное спинорное поле g(x,y,z) распространяется («воспроизводится») вдоль этих направлений с фундаментальной скоростью 1 ( X ) , g n 2 n 1 1 * * * g g , i ( g g ), 1 gg * (1 gg ) X X 0 n ct Частицы как фокальные точки (каустики) предсветового потока. Смысл и определение физического Времени • • • Поток Предсвет определяет не только основные физические поля – электроматнитное, спинорное (= твисторное = бикватернионное) и др. Этот поток порождает также все материальные образования которые представляют собой здесь каустики -- «сгущения» пучков предсветовых лучей. Т.о., в возникающей картине Мира Вся материя порождается Предсветом! Частицы-каустики – это «вихри» или источники-стоки 3-мерной (пред)световой реки! Поток Предсвета может, с другой стороны, рассматриваться и как поток Времени. Физическое время имеет смысл параметра вдоль направлений (лучей), сохраняющих значение первичного спинорного (= лучевого= твисторного= би- кватернионного) поля, смысл автоморфизма первичного поля («движения» в смысле евклидовой геометрии). Однако каустики-частицы при этом НЕ сохраняются (функция изменчивости). Это определение универсального и равномерного физического Времени может быть естественно комплексифицировано (см. ниже). Почему не чувствуем НАПРАВЛЕНИЯ Времени? Это связано с многозначностью направления лучей Времени – Предсвета в каждой точке и с их стохастическим изменением во Времени. В отличие от этого, СКОРОСТЬ ХОДА Времени универсальна и не зависит от системы отсчета. Новая геометрия: фазовое расширение пространства Минковского • • • • Рассмотрим преобразования симметрии (автоморфизмы) алгебры B – «школьной» алгебры 2X2 матриц с элементами -комплексными числами. Эти преобразования – известные «преобразования» подобия, сохраняющие основные инварианты матрицы – след и детерминант (при этом первый вообще не преобразуется!) Т.о., основной комплексный инвариант алгебры B определяет комплексное 3-мерное пространство с «метрикой» типа Евклидовой: Группа симметрий SO(3,C) – 6параметрическая группа комплексных 3-вращений – изоморфна группе Лоренца!!! u w z0 z3 z1 iz 2 Z p v z1 iz 2 z0 z3 1 Z M ZM Sp Z z 0 Det Z z z z z 2 0 2 1 2 2 z z z 2 1 2 2 2 3 2 3 Модульная часть комплексного инварианта σ индуцирует вещественную геометрию Минковского! • • • Будучи всегда неотрицательным, он тождественно представим в виде интервала Минковского c индуцированными и квадратичными временной и пространственной координатами При преобразованиях симметрии SO(3,C) координаты T и {X} ведут себя как временная и пространственные физические координаты при преобразованиях Лоренца!!! Имеет смысл лишь внутренность светового конуса! Т.е. автоматически получаем ПРИЧИННУЮ СТРУКТУРУ (в ОТО постулируется!) 2 2 * 2 S z ( z z ) i z z , 2 2 2 S T X 0 !!! * T : ( z z ), X i z z 2 Основные свойства новой геометрии пространства-времени • Имеет в своем основании первичную числовую структуру – алгебру комплексных кватернионов B • Автоматически обосновывает причинную структуру физического пространства-времени • Приводит к НЕОБРАТИМОСТИ «кинематического» времени, так что каждое перемещение в С3 приводит к положительному приращению временной координаты T z z 0 • Определяет существование второго ФАЗОВОГО инварианта преобразований Лоренца отвечающего, м.б., за объяснение волновых свойств материи «Новая» алгебродинамика в первичном комплексном пространстве • Комплексное расширение пространстваМинковского СМ (Ньюмен, Керр, Буринский и др.). «Лучи», испускаемые «виртуальным» зарядом, движущимся в СМ, на вещественном «срезе» порождают структуру решений уравнений Максвелла-Эйнштейна (кольцо Керра – модель электрона в ОТО.) • Проблема: как интерпретировать 3 «дополнительные» («мнимые») координаты «Зазеркалья»? А.П.Ефремов -- концепция «3мерного времени». Однако в этом случае временные координаты ничем не отличаются от пространственных??? И не раскрыт смысл 2-х редукции 3-мерного времени к физическому одномерному, как и в концепции 4-мерного времени .Г.Павлова. • В нашем подходе вся ПЕРВИЧНАЯ динамика имеет место в комплексном пространстве С3, а пространство Минковского – эффективное пространство МАКРОНАБЛЮДАТЕЛЯ, отвечающее МОДУЛЬНОЙ, НЕКОМПАКТНОЙ части комплексного «квазиметрического» инварианта σ Комплексный «световой конус» и концепция «дубликонов» • Введение комплексного пространства позволяет реализовать известную идею Уилера-Фейнмана: «Почему все электроны одинаковы? Потому что это один и тот же электрон! • Действительно, вся информация о Мире приходит со световыми сигналами, из всего M наблюдается только ГРАНИЦА СВЕТОВОГО КОНУСА. Процедура Лиенара-Вихерта – ОДИН электрон в прошлом создает поле в данной точке ( x x( s)) ( y y( s)) ( z z ( s)) c (t s) 2 2 2 2 2 Комплексный «световой конус» и концепция «дубликонов» 2 • В комплексном пространстве уравнение «комплексного» светового конуса имеет сколь угодно больщое число корней – наблюдатель видит много копий одной и той же частицы – ансамбль «тождественных дубликонов» (В.К., 2005) • Сама точка наблюдения может лежать на Мировой линии генерирующей частицы – «электрон наблюдает сам себя!» ( z1 zˆ1 ( s )) ( z 2 zˆ 2 ( s)) ( z 3 zˆ3 ( s)) ( z 0 s) 2 2 2 2 3: каустикисигналы, и частицы-каспы (cusps) концепция «дубликонов» • Конкретный сигнал представляет собой каустику, распространяющуюся от (к) наблюдателя к одному из дубликонов. Она отвечает моменту усиления поля луча при слиянии двух дубликонов (кратные корни уравнения конуса)! Сигнал всегда распространяется по комплексной – вещественной прямой! • Второй тип частиц отвечает каспам – «остриям каустик». Они движутся НЕ по прямой. Каждый касп связан с соответствующим дубликоном «условием конуса». Концепция «комплексного времени» и неопределенность из детерминизма • Параметр «автоморфизма» первичного поля – физ. Время -становится комплексным и «собственным». Кадрат его модуля – это интервал Минковского. Каждое знач z0 однозначно определяет положение дубликонов и проч. – детермин. – однако порядок следования событий уже не определен. Кривая эволюции ?? Должна быть очень сложной (фрактальной?). Для нас эффективно – случайная кривая. Re z 0 f1 (s), Im z 0 f 2 (s) s z0 2 S Фаза комплексного времени и квантовая интерференция без корпволнового дуализма • Геометрическая фаза позволяет естественно объяснить явление квантовой интерференции. А именно, частица наблюдается только в моменты слияния двух дубликонов (“In” и “Out”), между ними траектории случайны. «Набег» фазы по каждой траектории пропорционален интервалу собственного времени – классическая интерференция! Mc d dS d 2N Ссылки • Статьи на английском языке: на сайте www.arXiv.org/find по фамилии Kassandrov в разделах (All), скачивается в разных редакторах (кроме Word) • Статьи на русском – на сайте Института Времени www.chronos.msu.ru (в ближ. время обновятся). Спасибо!