Системы счисления МОУ «Павловская средняя общеобразовательная школа» Автор работы учитель математики:
реклама
МОУ «Павловская средняя общеобразовательная школа» Системы счисления Автор работы учитель математики: Беляева Наталия Адольфовна С. Павловка 2010 г. Системы счисления Позиционная система счисления Непозиционная система счисления Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций. Непозиционная система счисления Рассматривая археологические находки эпохи палеолита (камни, кости животных), можно заметить, что люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3, 4, 5 или 7. Такая группировка облегчала счёт. В древности чаще всего считали на пальцах, о поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10. В дальнейшем десяток десятков получил особое название (в русском языке – сотня), десяток сотен – своё название и т.д. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчёте оказывалось 2 сотни 7 десятков и ещё 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз – знак для десятка и четыре раза – знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, и значение записанного числа при этом не менялось. Непозиционная система счисления Поскольку в такой записи положение знака не играет роли, подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. Чтобы облегчить работу, применялись счётные доски – абаки. Современные счёты являются видоизменённым абаком. Русский абак – счёты появились в XVI – XVII вв., ими пользуются в наши дни. Русские счёты стоят на особом месте среди разновидностей абака, так как они используют десятичную, а не пятеричную систему счисления, как все остальные абаки. Позиционная система счисления У древних вавилонян система счисления вначале была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключённую в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему счисления называют шестидесятеричной). Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счёта единиц времени: 1ч = 60 мин, 1 мин = 60с. В VI в. индейцы создали запись чисел, использующих лишь 9 цифр. За основание системы счисления можно принять не только числа 10 и 60, но и любое натуральное число р, большее 1. Для записи чисел в р – ичной системе счисления нужно р цифр. Число, записанное цифрами a, a , …, a в р-ичной системе, равно a p + a p + … + a . Например: 326 =3 7 2 7 6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). k k k 1 k k 1 k 1 0 2 0 7 Позиционная система счисления Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в р-ичную систему, то делят это число на р с остатком. Потом делят на р с остатком неполное частное и т.д. до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую р-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29 = 4·6 + 5, а 4=0·6 + 4, вытекает, что 29= . Операции над натуральными числами в р-ичной системе 45 счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Ещё в XVII в. немецкий математик Г.В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 1101010 . Однако для выполнения арифметических операций на ЭВМ самой удобной является двоичная система счисления. 6 2 Особый интерес представляет двоичная система счисления. В ней используются только два знака для записи чисел, а именно: цифры 0 и 1. Таблица чисел натурального ряда в двоичной системе счисления. Числа, записанные в десятерично й системе 1 2 3 4 5 6 Числа, записанные в двоичной системе 1 10 11 100 101 110 Числа, записанные в десятерично й системе 7 8 9 10 11 12 Числа, записанные в двоичной системе 111 1000 1001 1010 1011 1100 В двоичной системе счисления совсем просто выполняются действия. Рассмотрим, например, сложение следующих чисел: 100101 10011 + 11101 101001 110011 10110001 При выполнении сложения следует учесть, что две единицы любого разряда составляют одну единицу следующего разряда. Таблица умножения Таблица сложения 0+0=0 0*0=0 0+1=1 0*1=0 1+0=1 1*0=0 1 + 1 = 10 1*1=1 примеры Сложение Умножение 1011101 1011 + 110111 10010100 * 101 1011 + 1011 110111 Деление 101111001 11101 11101 1101 - - 100100 11101 - 11101 11101 0
