ПРИЕМЫ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА «Счет и вычисления – основа порядка в голове» И. Песталоцци Расчеты на калькуляторе, действия «в столбик» и устные расчеты Несколько примеров 1. Цена товара была сначала повышена на 20%, затем на распродаже понижена на 25% и потом вновь повышена на 5%. Изменилась ли при этом цена товара по сравнению с первоначальной? Если изменилась, то укажите, как и на сколько процентов. Если осталась прежней, то объясните, почему. Увеличение на 20% - коэффициент 1,2; уменьшение на 25% - коэффициент 0,75; увеличение на 5% - коэффициент 1,05. Расчеты: х 1,2 0,75 1,05 = 0,945 х 3 1,2 0,75 1,05 = 1,2 1,05 = 0,9 1,05 4 0,945 х – это 94,5%, т.е. цена уменьшилась на 5,5% 2. Разделить 4212 на 13. 4212 = 3900 + 312 = = 3900 + 260 + 52 4212 : 13 = 300 + 20 + 4 = 324 Какой совет можно дать школьникам, чтобы они могли легко выполнять деление двух чисел? Умножение (деление) на степени двойки Примеры: 108 : 4 1) 108 : 2 = 54, 54 : 2 = 27; 2) (100 + 8) : 4 = 25 + 2 = 27 34 8 34 2 = 68 68 2 = 136 136 2 = 272; 2) (30+4) 8 = 240 + 32 = 272. 1) Умножение на 9 (99, 999 и т.д.) а 9 = а (10 – 1) = 10а – а а 99 = а (100 – 1) = 100а – а и т.д. Примеры: 1) 56 9 = 560 – 56 = 504; 2) 73 9 = 730 – 73 = 700 – 43 = 657. Умножение на 9 в пределах первого десятка с помощью пальцев рук Умножение (деление) на 5 а 5 = 10а : 2 = (а : 2) 10 а : 5 = 2а : 10 = (а : 10) 2 ПРИМЕРЫ. 1) 73 5 = (73 10) : 2 = 730 : 2 = 350 + 15 = 365; 2) 54 : 5 = (54 : 10) 2 = 5,4 2 = 10,8 или 54 : 5 = (50 + 4) : 5 = 10 + 0,8 = 10,8 Умножение на 15 а 15 = а (10 + 5) = 10а = 10а + 5а = 10а 2 Пример: 1) 12 15 = 120 + 60 = 180 Умножение (деление) на 25 а 25 = 100а : 4 = (а : 4) 100 а : 25 = 4а : 100 = (а : 100) 4 ПРИМЕРЫ. 1) 32 25 = (32 : 4) 100 = 800 или 32 25 = 8 4 25 = 8 100 = 800; 2) 54 25 = (54 100) : 4 = 5400 : 4 = (5400 : 2) : 2 = 2700 : 2 = 1350. Счет и деньги Как называлась в народе купюра в 25 рублей в далекие советские времена? Примечание. Самая крупная денежная купюра была номиналом в 100 рублей, далее 50 рублей, 25, 10, 5, 3 и 1 рубль. Еще один прием при делении на 25 875 : 25 = 8 4 + 3 = 35 Умножение двузначного числа на 11 При умножении двузначного числа на 11 в результате получается число, у которого: • число единиц равно числу единиц умножаемого числа; • число десятков равно сумме цифр умножаемого числа; • число сотен равно числу десятков умножаемого числа. Примечание. Если число десятков получается больше 9, то писать надо последнюю цифру, а число сотен увеличить на 1. Примеры 1) 35 11 = 385 (8=3+5); 2) 24 11 = 264 (6=2+4); 3) 76 11 = 836 (7+6=13, 7+1=8). Умножение произвольного числа на 11 Чтобы умножить число на 11, надо: • записать последнюю цифру множимого, • затем последовательно, справа налево записывать суммы соседних двух цифр множимого • и, наконец, первую цифру множимого. Если одна из сумм будет больше 9, то надо записать ее последнюю цифру, а следующую увеличить на 1. Примеры ; 124 11 1(1 2)( 2 4)4 1364 1765 11 1(1 7)( 7 6) ( 6 5)5 19415. Умножение двузначных чисел методом Ферроля • для получения единиц произведения перемножают единицы множителей; • для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, затем результаты складывают; • для получения сотен перемножают десятки. Пример: 46 73 1) Разряд единиц результата: 46 73 6 3=18, пишем 8, помним 1; 2) Разряд десятков результата: 46 73 4 3 + 6 7 + 1 = 54 + 1 = 55, пишем 5, помним 5; 3) Количество полных сотен результата: 46 73 4 7 + 5 = 28 + 5 = 33, пишем 33. Ответ. 46 73 = 3358 Доказательство метода Ферроля ab cd (10a b)(10c d ) 100ac 10(bc ad ) bd Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5 15 225 2 25 625 2 35 1225 2 Порядок действий 1) Взять число десятков исходного числа и умножить на следующее за ним в натуральном ряду число. Примечание. “Число десятков” означает не цифру в разряде десятков, а их полное число. Например, в числе 145 содержится 14 десятков. 2) к результату приписать 25. Доказательство 2 A5 (10 A 5) 2 100 A2 100 A 25 100 A( A 1) 25 где А – произвольное число. Примеры: 652=4225 (6 7 = 42) 2052=42025 (20 21 = 420) 1452=21025 (14 15 = 140 + 70 = 210) 7 56 14 5 30 14 1 2 2 1 2 2 Возведение в квадрат с использованием формул сокращенного умножения 21 20 1 400 40 1 441 2 2 31 30 1 900 60 1 961 2 2 29 30 1 900 60 1 841 2 2