Высокоточные разложения важнейших функций небесной

Высокоточные Разложения Важнейших Функций
Небесной Механики в Аналитические Ряды
и их Приложения
С. М. Кудрявцев
Государственный Астрономический Институт
им. П. К. Штернберга
ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АСТРОМЕТРИИ
Всероссийская конференция-школа для молодых ученых
22-26 октября 2007 г.
Актуальность темы
Компактные аналитические ряды, представляющие координаты
небесных тел и другие функции небесной механики, используются в
1. Теориях прецессии и нутации Земли, теориях земных приливов;
2. Точных аналитических теориях движения спутников планет;
3. Современной практике космических полетов. Например:
• в 2003г. аналитические разложения координат Луны и планет
заменили численные эфемериды этих тел в наземном
матобеспечении Космического телескопа им. Хаббла;
• координаты спутников GPS представляются аналитическими
полиномами как на борту КА, так и в наземных приемниках.
! Весьма актуально повышение точности имеющихся
аналитических разложений и теорий движения до уровня
точности современных численных эфемерид Луны и планет.
Этапы работы
1. Разработка универсального метода разложения произвольной
функции от координат Луны, Солнца и планет (вычисленной
на основе современных численных эфемерид этих тел) в
высокоточные аналитические ряды;
2. Получение с помощью данного метода новых разложений
ряда важнейших функций небесной механики, например:
• приливообразующего потенциала на поверхности Земли
(является основой теорий нутации и земных приливов),
а также соответствующих приливных вариаций геопотенциала;
• разложение современной численной эфемериды Луны на
длительном интервале времени (до нескольких тысяч лет);
• разложения главных пертурбационных функций движения ИСЗ.
I. Метод разложения функции в ряд Пуассона
Пусть f (t ) табулирована с малым шагом на интервале [-T, T].
Ищется представление f (t ) в виде

 A

sin  (t)
f (t )  A00  A01t  ...  A0pt    Ak0c  Ak1c t  ...  Akpc t p cos k (t ) 
N
p
k 1
s
k0
 Ak1s t  ...  Akps t p
k
где  k (t ) есть набор заранее определенных аргументов вида
k (t )   k t   k2t 2  ...   kqt q
0 (t )  0.
1) Вычисляются численные проекции функции f (t ) на базис:
1
Alkc 
2T
T

f (t )t l cos k (t )  (t )dt ,
T
 (t )  1  cos

T
1
Alks 
2T
T

T
f (t )t l sin k (t )  (t )dt ,
Базисные функции
t
0k  N, 0l p
есть весовая функция (фильтр Ханнинга).
2) Выполняется процедура ортогонализации базиса
( ! N ~ 103-104; аргументы – нелинейные функции времени)
Тестирование метода
Таблица: геоцентрическое расстояние до Луны, вычисленное
с шагом 1 сутки на интервале 6000 лет: 1000 до н.э - 5000 н.э.
Источник данных: аналитическая теория движения Луны
ELP2000-85, где функция расстояния представлена рядом
Пуассона (320 членов) в котором:
• p=2 (амплитуды – полиномы 2-го порядка от времени)
• q=4 (аргументы – полиномы 4-го порядка от времени)
Результаты использования нового метода:
• найдены все коэффициенты всех 320 членов оригинального
разложения;
• максимальное отклонение между значениями дальности,
вычисляемое в ELP2000-85 и в ‘восстановленном’ разложении,
не превышает 1,5 сантиметра на интервале времени 6000 лет.
II. Новое аналитическое разложение
приливообразующего потенциала Земли
Аналитические разложения приливообразующего потенциала
Земли служат основой для построения:
1. Теорий морских приливов и приливных деформаций
упругой Земли;
2. Теорий нутации Земли.
ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
• Doodson (1921);
• Cartwright & Tayler (1971), Cartwright & Edden (1973);
• Büllesfeld (1985); Xi (1987, 1989); Tamura (1987, 1995);
• Hartmann & Wenzel (1994, 1995): HW95;
• Roosbeek (1996): RATGP95
• Kudryavtsev (2004): KSM03
Приливообразующий потенциал Земли
Классическое представление приливообразующего потенциала,
порождаемого Луной, Солнцем и планетами в точке P на
поверхности Земли в момент времени t

V (t )    j 
j
j
V
j
P
r
n 2
rn
Pn (cos j (t ))
n 1
r j (t )
где V - значение потенциала в P в момент t;
r - геоцентрическое расстояние P;
 j - гравитационный параметр j-го тела;
rj - геоцентрическое расстояние j-го тела;
 j - угол между P и j-м телом;
Pn - полином Лежандра степени n.
Плюс ряд добавочных членов, отражающих эффект сжатия Земли.
Форма представления потенциала в KSM03
V (t ) 
где
n
 r 
   R  Pnm (sin  ) 
n  2 m 0
n 2 m 0 E 
[Cnm (t ) cos m ( A) (t )  S nm (t ) sin m ( A) (t )]
Коэффициенты разложения потенциала

n
 Vnm (t ) 

n
μ j  Rs 
1


Cnm(t) 


2n  1 j Rs  rj(t) 
Snm (t ) 
1
2n  1
n 1
 j  Rs 
  
j
Rs  rj (t ) 
n 1
Pnm sin δ j(t)cos mα j(t),
Pnm sin  j (t ) sin m j (t ),
- средний экваториальный радиус Земли;
 ( A) (t ) - местное среднее звездное время в P(r ,  ,  ) :
RE
 ( A) (t )    GMST ( UT1)
- прямое восхождение и склонение j-го тела;
- нормализованные присоединенные функции Лежандра.
 (j A) (t ),  j (t )
Pnm
Характеристики решения KSM03
Источник эфемерид: DE/LE-406; интервал времени 1000-3000 гг.
Учитывается действие: Луна, Солнце,
Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн
Форма рядов Пуассона для коэффициентов Cnm(t), Snm(t):
• p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка от времени)
• q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка от времени)
Минимальная амплитуда членов ряда
: 10-8 м2/с2 (макс. = 1,2 м2/с2 )
Количество членов разложения потенциала
• в оригинальном формате разложения KSM03: 26753
• представленном в стандартном формате HW95:28806
(12935 – в HW95; 6499 – в RATGP95)
Вычисление гравитационных приливов
(на примере среднеширотной станции BFO)
Lg (отклонение от опорных значений, nGal)
6
5
4
среднеквадратическая ошибка
максимальная ошибка
3
2
RATGP95 (5 nGal в 1987-1993гг.)
1
HW95 (1.23 nGal в 1850-2150гг.)
0
(5 nGal over 1987-1993)
0
5000
10000
20000
(1.23 nGal over 1850-2150)
25000
30000
KSM03
(0.39 nGal в 1600-2200гг.)
-1
-2
15000
Количество членов разложения
III. Разложение главных пертурбационных
функций спутниковой задачи для
аналитических теорий движения ИСЗ
Перспективное применение аналитических теорий ИСЗ
СПУТНИКОВАЯ НАВИГАЦИЯ
(системы типа GPS, ГЛОНАСС, Galileo)
в GPS: для представления координат ИСЗ
на борту КА и на Земле уже используются
краткосрочные аналитические полиномы;
в ГЛОНАСС: используется упрощенный
метод численного прогнозирования орбиты
(действителен только на протяжении
± 15 минут от времени начальных условий).
Использовать аналитические теории для
представления координат КА ГЛОНАСС.
Необходимо повышение точности имеющихся аналитических теорий.
Дифференциальные уравнения Лагранжа
движения спутника
da 2 R

,
dt na 
de
  1 R
R 
 2

,
dt
na  e 
 
i  R R 
 1 R
 sin i   tan 2     ,



d
2
R
 2
,
dt na  sin i i
di
1
 2
dt
na 
d
1 1
i R  R 
 2  tan

,
dt na  
2 i e e 
d
1 1
i R
R
R 
 n  2  tan
 
 2a 
dt
na  
2 i
e
a 
где:
R - возмущающая
функция,
a, e, i, Ω, π, λ –
Кеплеровы элементы
орбиты ИСЗ,
n – среднее
движение,
  1  e2 ,
e

1 
Аналитическое интегрирование уравнений
Лагранжа методом малого параметра
Уравнения Лагранжа в схематическом виде
 dq j  Q ( q ,t )
j
 dt


 j  1,2,..,6

где q  a, e, i, ,  , ,
t – произвольная эпоха
Решение ищется в виде рядов по степеням малого параметра
q j (t )  q0   (1) q j (t )   ( 2 ) q j (t )   ( 3) q j (t ) ...

(1)

(2)
q j (t)   Q j (q0 , )d,  q j (t ) 
...
t
t0

q0  a0 , e0 , i0 , 0 ,  0 , 0 
t
6

t0
k 1

Q j ( q0 , )
qk
 (1) qk ( )d, 
где
есть вектор средних элементов
орбиты спутника в начальную эпоху t0
Возмущения 5-го порядка

 Q j ( q0 , ) ( 4 )

 q j (t )   
 qk ( ) 
qk
t0  k 1
t
6
6
 
6

 Q j ( q0 , )
2
(1) qk ( )( 3) ql ( ) 
qk ql

2
6
6
 Q j ( q0 , ) ( 2 )
1
( 2)
 
 qk ( ) ql ( ) 
2 k 1 l 1 qk ql
k 1 l 1
6
6
6

 Q j ( q0 , )
3
1
 
(1) qk ( )(1) ql ( )( 2 ) qm ( ) 
2 k 1 l 1 m 1 qk ql qm

4
6
6
6
6

 Q j ( q0 , ) (1)
1
(1)
(1)
(1)

 qk ( ) ql ( ) qm ( ) qn ( )d

24 k 1 l 1 m 1 n 1 qk ql qm qn

Получение аналитического решения
5-го порядка на компьютере
Пертурбационные функции и правые части уравнений
Лагранжа представляются тригонометрическими рядами
sin j
Q j (t )   Ai
( Bi t  Cij ) , где Aij , Bij , Cij есть численные
cos
i
коэффициенты
j
 Возмущения первого порядка:
cos j
 q j (t )   Di
( Bi t  Cij ), где Di   Ai
Bi
sin
i
(1)
j
j
j
j
Возмущения 2-го и более высоких порядков получаются путем
перемножения двух и более тригонометрических рядов (один из
которых есть ряд частных производных, а остальные – ряды
полученных ранее возмущений низших порядков) и, как следствие,
есть также тригонометрические ряды.
Разложения пертурбационных функций в
тригонометрические ряды
1. Пертурбационная функция, обусловленная притяжением
Луны, Солнца и планет
38858 членов, использовался новый метод спектрального анализа
2. Пертурбационная функция, обусловленная приливными
деформациями упругой Земли
Использовалось разложение приливообразующего потенциала KSM03
3. Пертурбационные функции, обусловленные вращением Земли
• прецессия и нутация геоэкватора;
• движение полюсов;
• нерегулярное вращение Земли вокруг оси (UT1-UTC);
Были получены формулы трансформации всех коэффициентов
разложения геопотенциала при вращении из Земной системы
координат в Небесную систему координат фиксированной эпохи.
Аналитическое вычисление геодинамических
эффектов в движении ИСЗ
ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a =25500 км)
Модель движения: геопотенциал (36*36); эффекты прецессии
и нутации, движение полюсов, нерегулярное вращение Земли
вокруг оси, эффекты морских и других приливов - вычисляемые
в соответствии с рекомендациями МСВЗ (IERS Conventions).
Сравнение аналитического и численного(*) методов
___________________________________________________
ИСЗ
Интервал сравнения
С.К.Отклонение
/ кол-во витков
в координатах.
STARLETTE
1 месяц / 415 витков
65 см
ЭТАЛОН-1
1 год / 775 витков
1,6 см
___________________________________________________
(*) использовался метод Эверхарта 15-го порядка
IV. Высокоточное аналитическое разложение
эфемериды Луны
Теория движения Луны – классическая задача небесной
механики.
Современные аналитические теории движения Луны
• Hill (1905); Brown (1897, 1899, 1905, 1908, 1919);
• Eckert, Jones & Clark (1954); Фурсенко (1965);
• Schmidt (1980); Gutzwiller & Schmidt (1986);
• Deprit, Henrard & Rom (1971); Henrard (1978, 1980);
• Chapront-Touzé & Chapront (1983, 1988, 1997): серия ELP;
• Bidart (2001): ELP/MPP01;
• Chapront & Francou (2003): ELP/MPP02
Современные долгосрочные численные теории движения Луны
• LE-200, LE-403/404, LE-405/406 (Standish et al. 1981, 1995, 1998)
• серия EPM (Krasinsky 2002; Pitjeva 2001, 2003)
Форма аналитического разложения эфемериды
Луны
Геоцентрическая дальность
N(r)



N1( r )


N 2( r )
r(t )   Ak( r0) cos k( r0) (t )   k( r0)   Ak(1r ) t cos k(1r ) (t )   k(1r )   Ak( r2) t 2 cos k( r2) (t )   k( r2)
0
k 1
k 1
k 1
Эклиптическая долгота (вдоль подвижной эклиптики от
N (V )




N1(V )
даты)

V (t )  V (t )   Ak(V0 ) sin k(V0 ) (t )   k(V0 )   Ak(V1 ) t sin k(V1 ) (t )   k(V1 ) 
0
k 1
k 1
N 2(V )

  Ak(V2 )t 2 sin k(V2 ) (t )   k(V2 )

k 1
(где V (t ) - средняя долгота Луны)
Эклиптическая широта (от подвижной эклиптики)
N (U )
U (t ) 
A
0
k 1
(U )
k0


N1( U )


N 2( U )

sin k(U0 ) (t )   k(U0 )   Ak(U1 ) t sin k(U1 ) (t )   k(U1 )   Ak(U2 ) t 2 sin k(U2 ) (t )   k(U2 )
k 1
2
3
4
где k (t )   k t   k 2t   k 3t   k 4t .
k 1

Аналитическое разложение эфемериды Луны.
Полное решение LEA-406a [1500-2500гг.]
___________________________________________________________
Координата
r
V
Кол-во Мин.
Максимальная ошибка(1) на интервале
чл.ряда ампл. 1900-2100гг. 1500-2500гг. -3000+3000гг.(2)
10704
1 см
1,7 м
3,2 м
0,20 км
19116 0,″0000055
0,″0038
0,″0056
0,″42
U
12450 0,″0000055 0,″0013
0,″0018
0,″33
___________________________________________________________
(1) Относительно
координат, предоставляемых численной эфемеридой LE-405/406
(2) Использовалось упрощенное решение LEA-406b (минимальная амплитуда: 1 м)
Решение ELP/MPP02 (Chapront & Francou 2003)_______________
Коор- Кол-во Мин.
Максимальная ошибка(1) на интервале
дината чл.ряда ампл.
1950-2060гг. 1500-2500гг. -3000+3000гг.
r
18097
1 см
2,4 м
29 м
1,4 км
V
17178 0,″00001
0,″006
0,″40
2,″4
U
9778
0,″00001
0,″0018
0,″034
0,″5
__________________________________________________________
СПАСИБО ЗА ВАШЕ ВНИМАНИЕ !
Главные вариации геопотенциала, вызванные
приливными деформациями упругой Земли
IERS Conventions (2003):
Cnm  iS nm
ST
где
ST
ST
C nm
, S nm
ST
 j  RE
k nm



2n  1 j 2  E  rj
3




n 1
Pnm (sin  j )e
im j
- главные вариации гравитационных коэффициентов,
обусловленные приливными деформациями Земли;
k nm - комплексные значения числа Лява степени n и порядка m;
RE ,  E - экв. радиус и гравитационный параметр Земли;
 j , r j ,  j ,  j - гравитационный параметр, геоцентрическое
расстояние, экв. широта и долгота Луны ( j  2) и Солнца ( j  3);
Pnm - нормализованные присоединенные функции Лежандра.
;
Разложение вариаций в ряды Пуассона
ST
C nm
 C nm cosm  GMST   S nm sin m  GMST  ,
ST
S nm
 S nm cosm  GMST   C nm sin m  GMST  ,
Cnm 
Re k nm
Re knmCnm  Im knm Snm  ,
E
RE
Snm 
RE
E
где
Re knm Snm  Im knmCnm  ,
- действительная часть k nm, Im k nm - мнимая часть k nm ,
/
C nm , S nm - коэффициенты разложения KSM03 прилив. потенциала.
Количество членов в аналитических разложениях Cnm / S nm
n / m:
0
1
2
2
182 / -
164 / 200
192 / 176
3
19 / -
20 / 20
24 / 24
4
13 / -
13 / 16
12 / 10
3
Мин. ампл.: 10-13
20 / 21 Интервал времени:
1000-3000 гг.
Применение решения 5-го порядка к учету
гео(-арео)потенциала в движении спутника
ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a = 25500 км)
Спутник Марса: Фобос (a = 9380 км)
Модель движения: геопотенциал (36*36); ареопотенциал (12*12)
Сравнение аналитического и численного(*) методов
___________________________________________________
ИСЗ
Интервал сравнения
С.К.Отклонение
/ кол-во витков
в координатах.
STARLETTE
1 месяц / 415 витков
26 см
ЭТАЛОН-1
1 год / 775 витков
1,1 см
--------------------------------------------------------------------------Фобос
2 года / 2300 витков
2,5 см
___________________________________________________
(*)
использовался метод Эверхарта 15-го порядка
Различие результатов аналитического и
численного прогноза движения ИСЗ ЭТАЛОН-1
(модель движения: геопотенциал 36*36)
 a (км)
e
 i (рад.)
0,000002
1,5E-09
2E-11
0,0000015
0,000000001
1E-11
0,000001
5E-10
0
0
0,0000005
-5E-10
0
-1E-11
-2E-11
-0,000000001
-3E-11
-0,0000005
-1,5E-09
-0,000001
-0,000000002
  (рад)
  (рад.)
8E-11
0,000006
6E-11
0,000004
4E-11
0,000002
2E-11
0
-4E-11
  (рад)
8E-10
6E-10
4E-10
0
-0,000002
-2E-11
-0,000004
-4E-11
-0,000006
2E-10
0
-2E-10
-4E-10
-6E-10
-8E-10
Ухудшение результатов численного прогноза после 5 лет
Учет всех вращений Земли в движении ИСЗ
• Прецессия и нутация геоэкватора;
• Движение полюсов;
• Нерегулярное вращение Земли
Все эти эффекты описывают изменения величины и направления
вектора мгновенного вращения Земли относительно Небесной
системы отсчета ICRF, а также Земной системы отсчета
(«движение полюсов»), в которой определены коэффициенты
разложения гравитационного потенциала Земли.
Интегрирование уравнений движения спутника ведется в
Небесной системе отсчета (подобно численным методам.)
Для этого все коэффициенты разложения геопотенциала
(постоянные в Земной системе отсчета) представляются в
Небесной системе отсчета в виде фунrций времени и
всех углов вращения.
Трансформации коэффициентов разложения
геопотенциала при вращениях (пример)
Ось вращения Угол вращения
1
3
3
x
C20  ( 3 cos( 2v )  1)C20  sin(2v )S 21  (cos( 2v )  1)C22
4
2
2
Sx20  0
Cx21  cos(v )C21  2 sin(v )S 22
1
 sin(2v )C20  cos( 2v )S 21  sin(2v )C22
2
1
1
1
x
C22  (cos( 2v )  1)C20  sin(2v )S 21  (cos( 2v )  3)C22
8
4
4
1
x
S 22  sin(v )C21  cos(v )S 22
2
S x21
z
Cnm
 cos(mv )Cnm  sin(mv )Snm
z
Snm
 cos(mv )Snm  sin(mv )Cnm
Трансформации коэффициентов разложения
геопотенциала при вращениях на малые углы
Cxn,m
S xn,m
v2
v
 m1n( n  1)  2m2 2

Cn,m 2  S n,m1  [1 
v ]Cn,m 
4  m 2
2
8
v
 ( n  m  1)( n  m)Sn,m1 
2
v2
 ( n  m  1)( n  m)( n  m  1)( n  m  2)Cn,m 2
8
v2
v
(4   m1 )n( n  1)  2m2 2
  S n , m 2 
Cn,m1  [1 
v ]S n,m 
8
 m1
8
v
 ( n  m  1)( n  m)Cn,m1 
2
v2
 ( n  m  1)( n  m)( n  m  1)( n  m  2)S n,m 2
8
где
1, если m  0
m  
2, если m  0
Представление коэффициентов разложения
геопотенциала в ICRF (пример)
Постоянные значения коэффициентов
(в Земной системе отсчета)
S21  cosW S21  sinW C21 
ICRF
TRF
TRF
Регулярная часть вращения Земли
 3 ( y p cos W  x p sin W    A A )CTRF
20 
Координаты
полюса
Нутация
в долготе
Прецессионные
величины
TRF
 (  cos(2W)  A sin(2W))CTRF


cos(
2
W
)
S
22
A
22
Подобные формулы были получены для всех гармоник разложения
геопотенциала (36*36) в инерциальной Небесной системе отсчета и
использованы в аналитическом прогнозе движения спутника Земли.
Аналитическое вычисление эффектов вращения
Земной системы координат в движении ИСЗ
ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a = 25500 км)
Модель движения: геопотенциал (36*36); полные эффекты
прецессии и нутации; движение полюсов и значения UT1-UTC
(нерегулярности вращения Земли), определяемые ежедневными
публикацими IERS.
Сравнение аналитического и численного(*) методов
___________________________________________________
ИСЗ
Интервал сравнения
С.К.Отклонение
/ кол-во витков
в координатах.
STARLETTE
1 месяц / 415 витков
43 см
ЭТАЛОН-1
1 год / 775 витков
1,4 см
___________________________________________________
(*) использовался метод Эверхарта 15-го порядка
Приливные эффекты
Все приливные эффекты (а именно, морские приливы,
приливные деформации упругой Земли, «полюсной» прилив)
могут быть представлены периодическими вариациями
коэффициентов разложения геопотенциала (достигающими
10% от значений самих коэффициентов)
Главные вариации геопотенциала, вызванные приливными
деформациями упругой Земли, рассчитывались на основе
разложения приливообразующего потенциала KSM03.
Эффект приливных вариаций коэффициентов разложения
геопотенциала учитывается по аналитическому алгоритму,
подобному тому, что использовался для вычисления возмущений,
обусловленных вращениями Земной системы координат
(в обоих случаях коэффициенты разложения геопотенциала есть
переменные функции времени).
Разложение возмущающей функции от
притяжения Луны, Солнца и планет
l
 a 
R      Flmp (i ) X ll, l2p2pq ( e)Alm cos lmpq  Blm sin  lmpq 
l  2 m 0 p 0 q    Rs 

l
l

где
a, e, i, ,  ,  - оскулирующие Кеплеровы элементы орбиты ИСЗ,
Flmp - функция наклона; X ll,l2p2pq - коэффициенты Ганзена ,
 lmpq  (l  2 p  q)  q  (m  2 p  l ),
Rs - масштабный множитель (здесь принят равным 43 000 км
с тем чтобы
a
 1 для всех ИСЗ вплоть до геостационарных);
Rs
Clm , если l-m четн.
Slm , если l-m четн.
Alm  
, Blm  
,
 Slm , если l-m нечетн.
Clm , если l-m нечетн.
Разложение возмущающей функции от
притяжения Луны, Солнца и планет (окон.)
l 1
 j  Rs 
1

 Plm sin  j (t ) cos m j (t ),
Clm (t ) 

2l  1 j Rs  rj (t ) 
l 1
 j  Rs 
1

 Plm sin  j (t ) sin m j (t ),
Slm (t ) 

2l  1 j Rs  rj (t ) 
и  j , rj ,  j ,  j есть, соответственно, гравитационный параметр,
геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение
тела j (Луны, Солнца или планеты) в эпоху t;
Plm - присоединенные функции Лежандра.
Коэффициенты Clm (t), S lm (t) содержат в себе всю информацию
о мгновенных положениях возмущающих тел.
Разложение возмущающей функции от
притяжения Луны, Солнца и планет
Значения Clm (t ), Slm (t ) табулируются с шагом 1 сутки на
интервале 1000 – 3000 гг. и разлагаются в ряды Пуассона
Источник координат: численные эфемериды DE/LE-406
Притягивающие тела: Луна, Солнце,
Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн
Форма рядов Пуассона:
• p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка)
• q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка)
Минимальная амплитуда для Clm (t ), Slm (t ) : 10-6 м2/с2
(соответствующее относительное значение: 10-8 ); max l = 8
Общее число членов разложения: 38585