Документ 4792387
реклама
Требование времени – широкий профиль и мобильность специалистов, ибо: 1)наиболее значимы открытия на стыках наук; 2)переквалификация при смене профессии обесценивает большую часть прежних знаний и умений. Одно из средств решения проблемы – фундаментализация. Но на языке бюрократии это – лишь перераспределение часов в пользу математики, физики, химии… И возникают проблемы с прикладными знаниями. Отсюда – маятник: курс на фундаментализацию сменился "усилением профессиональной подготовки" с урезанием часов математики, и т.п. Но то и другое – "тришкин кафтан". Подлинные фундаментализация и профессионализация не конфликтуют, а одна другую обогащают. Нужны их взаимопроникновение и взаимодействие. Не борьба за часы, а встречное движение. Искать в профессиональных знаниях и умениях – универсальные и долговечные элементы, в фундаментальных – прямые выходы в практику без принижения до примитива. То же в науке: углубление противоречия между ростом объема информации и возможностями ее использования. Пути преодоления – уплотнение, сжатие информации; унификация; систематизация и структуризация; математизация. Есть возможности, диктуемые природой вещей – отличием прикладных наук от фундаментальных. Фундаментальная наука изучает явления порознь. Прикладная берет их в совокупности, включая побочные и сопутствующие. Иначе – как в песне: "Гладко было на бумаге, да забыли про овраги, а по ним ходить...". Поэтому объекты прикладных наук – сложные системы. При исследовании систему подвергают декомпозиции – разбивают на элементы, и знания о ней распадаются на две категории: (1) свойства элементов – в них заключена вся профессиональная специфика; (2) связи между ними – универсальный компонент прикладного знания, описываемый совершенно одинаково в разных областях – металлургии, медицине или экономике. При этом роль (2) растет с углублением в суть вещей: по мере дробления системы элементы становятся проще, а связи между ними – многочисленнее. Структурные свойства системы оказываются в числе важнейших. И здесь – ответ на вопрос: как, изучая конкретную узкую профессию, сохранить доступ к остальным. Сокращения для последующего: МСС – метод структурных схем ИТ – информационные технологии ТАУ – теория автоматического управления ДСНФ – дифференцирование сложных и неявно заданных функций КПЧС – коэффициенты передачи частных связей (частные производные) РКП – результирующий коэффициент передачи (полная производная) НОТ – научная организация труда МСС – безмашинная информационная технология. Возникла задолго до появления термина ИТ и современной техники. Средство расчета систем управления в ТАУ . Общие с ИТ атрибуты – структуризация, визуализация и унификация. Его восприятие, как исключительной принадлежности ТАУ – анахронизм. Это – универсальный аппарат для решения математических, инженерных и педагогических задач. Это показано на примере теории доменного процесса, но не меньшие возможности имеются, например, в экономике. Структуризация знаний и унификация подходов в прикладных науках: фрагменты структурных схем из разных областей знания. (отрицательные обратные связи) + Tд – – K rd – U + + N + R + V + T + + P m Движение лодки по воде F V – уровень зарплаты P – цена товара Q – объем производства Рыночное пространство Q – – + + nтр Режим работы электронагревателя N – число оборотов винта V – скорость движения F – сила сопротивления – V Доменная плавка U – напряжение сети N – развиваемая мощность R – сопротивление – N Tд – температура дутья К – удельный расход кокса rd – степень прямого восстановления nхр T – температура воды m – масса водорослей nтр – число травоядных рыб nхр – Число хищных рыб Экологическая система озера (положительные обратные связи). – + G – h K + G + Q + G – груз Q – равнодействующая сил h – глубина погружения h t – температура воздуха T – температура кусков топлива v – скорость тепловыделения + t + T + – N + H – Pф + Pнабл Продольное сжатие упругого стержня Равновесие сжимаемого поплавка Воспламенение топлива v + w G – нагрузка h – боковой прогиб K – коэффициент сопротивления – г w – влажность топлива N – тепловая мощность H – тяга Создание тяги в дымовой трубе Pф – фактический уровень производства Pнабл – наблюдаемая обеспеченность товаром г - коэффициент запаса при покупках Вспышка дефицита Пример: нужно описать зависимости силы тока и мощности от напряжения для лампы накаливания. 1 Одна прикладная задача – четыре фундаментальных закона: (1) Закон Ома U I R (2) Закон электрической мощности N U I (3) Закон теплового излучения N b T (4) Температурная зависимость сопротивления 4 R R0 a T В большинстве случаев с этой задачей неправомерно связывают только закон Ома, и тогда она кажется совсем простой. На самом деле она достаточно трудно разрешима элементарными средствами. Обычный способ решения. 2 Сократив подстановками число неизвестных до одного, получаем уравнение пятой степени: 2 U T 4 b R0 a T Температуру из него можно определить лишь численно, например, итерациями. Подставив ее значение в формулу для сопротивления, можно вычислить остальные неизвестные. Исследование с помощью МСС 1) Составим структурную схему: U 1 2 N 3 I 4 6 R0 7 R 5 Это − функциональная структурная схема. T 3 Видим, что формула (3) не соответствует направлению стрелки 4, поэтому перепишем ее с учетом характера причинноследственных связей (ПСС) : 1 . 4 N T b (Остальные формулы соответствуют направлениям стрелок на схеме). U 4 1 2 N 3 I 4 6 R0 7 R 5 T k1 I T k4 4 N k5 a 2) Определим коэффициенты передачи частных связей (КПЧС), дифференцируя исходные формулы (индексы – номера стрелок): 1 k2 R I k6 R k3 U k7 1 Замечание: при отсутствии теоретических формул можно принимать эмпирические или предполагаемые значения КПЧС. 5 3) Свернем схему, определив при этом полные производные, они же − результирующие коэффициенты передачи (РКП), через КПЧС: Вид свернутой схемы: KN N k1 k2 k3 dN KN dU 1 k3 k4 k5 k6 I dI k 2 k1 k 4 k5 k6 KI dU 1 k3 k 4 k5 k6 U KI РКП − полные производные выходов по входам схемы. Правила свертывания: в числителе − сумма КП прямых путей, в знаменателе − единица минус КП обратной связи. Коэффициент передачи каждого пути − произведение КП всех его последовательных стрелок. Расчет числовых значений Справочные данные: a 0.0039 t 2700C Номинальный режим: I N 200 0.909 U 220 R N 200 6 U 220 242 I 0.909 1 1 k2 0.00413 k1 I 0.909 КПЧС: R 242 T 2973 k 3.716 T 2700 273 2973 k3 U 220 4 4 N 4 200 I 0.909 k7 1 k 0.00376 k5 a 0.0039 6 R 242 РКП: k1 k2 k3 dN 0.909 0.00413 220 KN 1.796 dU 1 k3 k4 k5 k6 1.012 dI k2 k1 k4 k5 k6 0.00413 0.909 220 0.0039 0.00376 KI 0.001183 dU 1 k3 k4 k5 k6 1 220 3.716 0.0039 0.00376 Линеаризованная модель: N 200 1.796 U 220 I 0.909 0.001183 U 220 Вольтамперные характеристики (ВАХ) лампы накаливания 1 - реальная 2 - номинал (242 ом) 3 - холодная (17 ом) 4 – линеаризованная 7 I K I U Сравнение ВАХ, полученных разными способами, показывает, что закон Ома совершенно недостаточен для описания поведения системы (линии 2 и 3). Точный расчет (линия 1) чрезмерно громоздок для повседневного пользования. Линеаризованная модель (линия 4) в рабочем диапазоне дает практическое совпадение с точным результатом, и хорошо объясняет его происхождение (схема). Погрешность от неполноты учета (2 или 3) намного превосходит погрешность линеаризации (4). Чтобы понять технику метода, нужны простые задачи, легко решаемые и без него – тогда решение прозрачно, а ответ очевиден. Для оценки преимуществ, наоборот, нужны сложные задачи, плохо решаемые «обычными» способами. Невозможность одновременно понять технику метода и оценить его достоинства – одна из причин достойной сожаления его недооценки . Дифференцируя переменную, куда приходит стрелка из узла-аргумента, нужно соблюдать постоянство всех параметров, откуда приходят остальные стрелки в тот же узел. Для этого все они должны входить в выражение для дифференцирования явно, а не через посредство других переменных. (Слова узел, переменная, параметр условно используем как синонимы). Невнимание к набору постоянных при дифференцировании – типичный источник ошибок в науке, политике, экономике и повседневной жизни, пусть даже слово «производная» не произносят и не знают, что занимаются дифференцированием. Как не знал Журден, что говорит прозой. Пример: при движении по окружности радиус влияет на центробежную силу. При постоянной угловой скорости эта сила с ростом радиуса растет, а при постоянной линейной – уменьшается. Поэтому камень, вращаемый на веревке-праще, длинную веревку натягивает сильнее (схема вверху), а поезд на повороте, наоборот, сильнее давит вбок на рельсы при меньшем радиусе закругления (схема внизу). См. следующий слайд >>> К правилу соответствия между схемой и формулой (на примере влияния радиуса вращения на центробежную силу) m- масса, R- радиус, w, v- угловая и линейная скорости, F - центробежная сила (ЦБС) Производные, взятые по разным направлениям, могут различаться по величине или (как здесь) даже по знаку. Стрелки 1 и 5 соединяют одни и те же узлы на верхней и нижней схемах, но другая стрелка на них приходит в узел F из разных узлов – угловой и линейной скоростей, соответственно. Они и указаны в формулах для них. Нарушение такого соответствия приведет к ошибке. Если для верхней схемы выразить ЦБС через линейную скорость (которой нет на схеме), при дифференцировании получим неверный для нее результат k5 вместо верного k1. Аналогично, выразив ЦБС для нижней схемы через угловую скорость, ошибочно получим для нее k1 вместо k5. О пользе простых задач Для приводимых ниже известных задач МСС не нужен – их успешно решают «старыми способами». Но они нужны для него. Решая их этим методом, который, во всяком случае, не хуже других, легко понять, как им пользоваться и прочувствовать его суть, и это облегчит его освоение в задачах, по-настоящему сложных, где польза от него реальна. 1. У мальчика в двух карманах имеется N орешков, в левом кармане на d больше, чем в правом. Сколько орешков в каждом кармане? Задача Схема с двумя входами: d k1 n1 k4 N k3 КП: n2 k2 n2= N – n1; n1= n2 + d; k1= 1, k2=1, k3= 1, k4= –1. РКП (для выхода n1 от обоих входов): для d n1: K1= k1/(1 – k2·k4) = 1/(1+1) = 1/2 для N n1: K2= k3·k2/(1 – k2·k4) = 1/(1+1) = 1/2 Поскольку задача линейная, базовые значения аргументов можно принимать любыми. Удобнее всего – равными нулю. n1=K1· (d – 0) + K2· (N – 0) = d/2+N/2 = (N + d)/2; n2 = N – n1 = N/2 – d/2 = (N – d)/2 . Задача 2. У мальчика в двух карманах имеется N орешков, в левом кармане в m раз больше, чем в правом. Сколько орешков в каждом кармане? n1 k2 N k3 k1 n2 n1= n2·m; n2= N – n1; k1= 1, k2= –1, k3= m K = k1·k3/(1 – k2·k3) = m/(1+m); ответы: n1=K·N = m·N/(1+m); n2=n1/m = N/(1+m). Здесь потребовался только один вход N: вторая заданная величина m используется, как коэффициент передачи от n2 к n1. Послесловие к двум простым задачам По первому впечатлению решение очень похоже на обычное алгебраическое. Та же система уравнений, те же ответы. На самом деле решение совершенно иное. Главное в нем – коэффициенты передачи. Благодаря линейности системы ход решения в отклонениях при нулевой базе совпал с обычным его ходом, и мы получили не только отклонения, но и сами значения неизвестных. Но это – дополнительное везение для данного частного случая. Его, как правило, не будет в реальных сложных задачах. Использование МСС «только» для наведения на мысль (без вычисления коэффициентов передачи ) Структурные схемы к задаче о пуле, застрявшей в доске (два варианта решения). s v _ t v a R a v m h R h1 m H F m v Схемы к задаче о падении с макушки шара (найти точку отрыва). Ek A Fn F b s Задачу можно решать либо через путь и ускорение (a), либо через энергию и работу (b). Схема позволяет еще до решения сравнить варианты и убедиться в преимуществах (b). R h1 h Eк Eп v Схема для нормальной составляющей веса падающего шарика Fцб m Схема для центробежной силы; задача решается через приравнивание сил Fп и Fцб . Пример школьной задачи по физике с использованием МСС (на самом деле, здесь не столько физика, сколько системный анализ) 1 Независимо можно варьировать количества газа, закачанные в баки, общий объем жидкости и смещение по вертикали правого бака (4 степени свободы). Константы – размеры баков и плотность жидкости. Неизвестны давления газа и уровни воды в баках. Без схемы решение громоздко из-за большого числа связей, со схемой задача из сложной превращается в простую. Формулировку задачи можно изменить, сделав входами давления, а выходами количества закачанного в баки газа. Продолжение Определение параметров базового режима 5 Это – наиболее трудная часть работы. Решение «в лоб» системы уравнений для учебной задачи слишком громоздко. Можно применить метод итераций. Задавшись для одного из выходов начальным значением, выполняем циклический расчет до получения повторяющихся значений. Его организацию подсказывает все та же исходная схема. Расчет ведем для h1 в последовательности, показанной на структурной схеме и блок-схеме алгоритма (см. следующий слайд). Отметим различие между этими схемами, отражающими свойства одного и того же алгоритма. Структурная схема алгоритма составлена в точности следуя логике структурной схемы задачи, с изменением лишь точки входа. Рядом с узлами схемы показаны формулы вычисления соответствующих переменных, чтобы убедиться в отсутствии скрытых циклов. Два канала влияния не следует путать с разветвлением алгоритма – его в данном случае нет. Это ясно из блок-схемы, задающей последовательность вычислений: оба канала выстроены в одну линию. Заключительная часть алгоритма, содержащая контроль завершения итераций, не показана. РЕЗЮМЕ 8 Данная задача преследовала цель показать, что МСС позволяет совместить исследование разнородных взаимосвязанных явлений, дать системную количественную оценку без чрезмерных усложнений, и сделать это на материале простейших закономерностей, изучаемых в школе. Решение для базового режима, по необходимости выполняемое иными средствами, отвлекает внимание от основной обсуждаемой проблемы. Но поскольку в нелинейных или громоздких задачах это необходимо для доведения решения до числа, будет полезно хотя бы один раз остановиться не только на основных, но и на сопутствующих обстоятельствах. Нужно только ясно различать те и другие, чему поможет данное замечание. В то же время, возникает вопрос. Алгоритм, использованный для базы, решает задачу и сам по себе. Раз мы им уже воспользовались, почему бы им и не ограничиться? На это можно ответить: анализ результатов гораздо содержательнее при использовании МСС. Вспомним пример с электролампой, а также афоризм: «Цель расчетов – не числа, а понимание». Поэтому, применив итерационный цикл к расчету базового режима, все остальное лучше делать на линеаризованной модели. Изменение уровня сложности при переходе к МСС объективно исходный субъективно МСС снижает субъективную трудность решения, повышая допустимый уровень сложности изучаемого материала Семейство однотипных задач для демонстрации эффективности метода при переходе от простого к сложному Для показа возможностей метода требуется задача с варьируемым уровнем сложности при неизменной ее физической природе. Это семейство удовлетворяет данному условию. Бревна с грузом на нижнем конце, полупогруженные в воду, подвешены на канате через систему блоков. При изменении любого груза меняется положение всех бревен. Требуется найти, как зависит глубина погружения любого из них от каждого груза. При N=3 сложность решения двумя альтернативными способами одинакова. При меньшем значении обычный способ проще , но с увеличением N сложность такого решения прогрессивно нарастает, с использованием же МСС она остается примерно на одном уровне. Формулы для некоторых РКП при N=5, непосредственно следующие из структурной схемы, приведены на следующем слайде. При «старом» способе решение включает достаточно громоздкую систему уравнений. Формулы для коэффициентов передачи к схемам предыдущего слайда K oc = k 5 (k 6 + k 4 (k 7 + k 3 (k 8 + k 2 k 9 ))) K11 dh K 21 2 K51 k5 k 4 k3 dG 1 dh1 k1 K51 k5 k 4 k3 k2 dG1 K 31 K 41 K 12 dh3 K 51 k 5 k 4 dG1 dh4 K 51 k5 dG1 dh1 k 10 K52 k 5 k 4 k 3 k 2 dG2 K 51 K 52 dh 5 k k 1 9 dG1 1 k oc dh5 (k 10 k11 k 2 ) k 9 k 11 k 8 dG2 1 k oc K 53 dh5 (k 12 k 13 k 3 ) (k 8 k 2 k 9 ) k 13 k 7 dG3 1 k oc K 55 dh5 k16 (k6 k 4 (k7 k3 (k8 k 2 k9 ))) dG5 1 koc Естественная возможность приложения МСС в математике дифференцирование сложных и неявных функций. Традиционная организация ДСНФ нарушает основной принцип НОТ: отделять во времени и (или) пространстве разнородные и объединять однородные операции. Здесь разнородны: (1) собственно дифференцирование, (2) сопутствующие алгебраические преобразования. Именно их выполнение вперемешку делает процедуру утомительной и чреватой ошибками. В МСС изображение схемы заменяет написание уравнений, а простые правила свертывания реализуют решение. Тем самым, в согласии с НОТ, разводятся указанные компоненты с существенным упрощением обоих. После составления схемы главная часть умственной работы по ДСНФ уже выполнена. Процедура сводится к элементарным действиям громоздких, трудно проверяемых преобразований. без В постановочной части прикладных задач важны другие свойства метода: дисциплинирование мышления и структуризация знания. Составление схем для дифференцирования сложных функций Дано: x y ebx c sin 1 Вариант 1 x2 sin 1 2 x1 ebxc x y x1 x2 x1 x 2 z1 bx c z2 e z1 k4 e bx c 3 y x1 k1 k 2 b e b x c 3 2 2 b x c x k4 2 3 k5 cosz3 k6 z2 k3 z 4 x sin 1 x cos 1x e k3 k 4 2 z4 k2 e z1 z2 2 Выбор способа разбиения исходной формулы на элементы произволен и зависит от вкуса исполнителя. z2 k1 b x x cos 1 x 2 y z2 z4 z4 sin z3 z3 k3 2 z3 1 z1 x2 k1 b ebxc k 2 sin 1 2 x2 x dx Вариант 2 x y y' dy Требуется определить: x k1 k 2 k3 b z2 z4 b eb x c sin 1 x cos 1x e k 4 k5 k 6 2 3 2 Чем больше число элементов, тем они проще, но сложнее схема. b x c 2 Сравнение двух способов дифференцирования сложной неявной функции 1) y Функция y аргумента x задана неявно с помощью системы уравнений : z2 z y w x , 2) z e , 3) v , 4) w sin v . Требуется определить ее полную производную: x (a) Решение “обычным” способом (нумерация пунктов – продолжение нумерации исходных уравнений) y' z x z 1 x z ln x z ' 5) z' e 6) yw (из 6) 8) 2 z z' z 2 v' 2 x x 2 2 z z' z w' cos v v' cos v 2 x x 2 9) 2 z z' z z' 2 y cos v z x x y' w 10) (из 1) y 'w w' y z y 'w w' y z' w' y y' z w 7) z y y ln x z ' x (из 3) z y z y cos v 2 x x w z' 1 2 z y ln x y cos v zw xw k7 (из 7, 9) k3 v k4 k5 w 1) k1 z x z 1 z y x 4) k4 cos v z2 7) k7 2 x dy k 1 k3 k4 k5 k7 k4 k5 k6 Ky 1 dx 1 k2 k6 k3 k4 k5 z2 y w z 1 cosv z y x xw y ln x 2 x 2 z y 1 z w y ln x cosv x 2 z y 2 z y z2 y w z 1 z w y ln x cos v y ln x 1 cos v x x x x w 2 z2 y 1 z w y ln x cos v x 2 z2 y x z k2 2) k 2 w e w z 5) k5 y z 2 z 6) k 6 y ln x 3) k3 x 3) Выразим РКП через КПЧС z y z2 y cos v 2 z y 13) x x w y' y ln x 1 2 z x y ln x y cos v zw xw 1 z w y ln x cosv y 2) определим коэффициенты передачи частных связей: y w (из 11) z y 2 z 2 y y 2 z 3 ln x cosv 1 cosv x x x2 k1 (из 4, 8) 2 12) k6 x z' 2 z z ' z 2 2 y cos v x z y x z y ln x z ' (из 5, 10) w x 11) dy ? dx (b) Решение с помощью МСС 1) Составим структурную схему (из 2) y' (из 5, 12) и подставим значения этих коэффициентов: z3 y2 y 2 y z 1 2 z cosv 2 cosv ln x dy x x x dx y 1 w z y ln x 2 z 2 cosv x Сопоставление задач из разных областей знания Модель экономического равновесия по Кейнсу Z - количество денег в обращении V – в т.ч. операционный спрос Y – в т.ч. Спекулятивный спрос Q – объем производства 6 w 8 7 Z 1 2 V 23 0 S P 24 L 16 0 14 0 RN 15 0 12 0 Q' 4 r 5 Y r - банковский процент - рабочее время RF – занятость в смене RF 11 0 10 0 W - потребление 13 0 s 3 Q 9 S – накопление 22 0 17 0 a a – максимальный уровень производства при данной занятости 18 0 20 0 b RN – общая занятость 19 0 21 0 - обратная величина рабочего дня с поправками – технический уровень производства b – он же, отнесенный к Q’ – производная производства по занятости P – уровень цен s – номинальная зарплата 25 Lotn L – реальная зарплата 47 Lotn – ее относительное значение Разложение производной на аддитивные составляющие межпредметные связи в обучении Возможности МСС в науке и образовании Унификация подходов решение комплексных задач взаимодействие наук и научных школ Повышение производительности умственного труда Рационализация расчетов линеаризация Повышение порога допустимой сложности Дисциплина мышления МСС Структурная схема Простота варьирования степени детализации наглядность Постоянное нахождение перед глазами крупных блоков информации Широкий профиль и кругозор Полнота описания не в ущерб обозримости мнемоничность Формирование системного мышления Повышение качества подготовки специалистов Увеличение допустимой скорости передачи информации Решение проблем разграничения и преемственности при многоступенчатом образовании Экономия времени Математический аспект: • Рационализация процедуры ДСНФ • Решение систем нелинейных уравнений методом линеаризации Научно-инженерный аспект • Полнота описания не в ущерб обозримости • Контроль правильности теоретических построений • Комплексные задачи и системный анализ • Взаимопонимание наук и научных школ • Повышение культуры дискуссий Педагогический аспект (в прикладных науках) • Повышение допустимой сложности и скорости передачи информации, экономия времени при повышении качества усвоения • Промежуточный этап, облегчающий усвоение понятия передаточных функций • Технологический расчет, как системообразующий компонент учебного курса • Формирование системного мышления Открытие входит в жизнь не в момент появления, а когда общество созревает для его восприятия. Вот факт из истории науки. Десятичная система возникла в Индии около 6 века и стала известна в Европе с 9 века из арабских источников. Входила в употребление с трудом, хотя ее пропагандировали папа римский Сильвестр (он же математик Герберт) и знаменитый Фибоначчи. Инквизиция самого папу обвинила в потворстве "сарацинской ереси". Позже на Руси ее назвали "католической ересью". Первая русская монета с десятичной записью отчеканена при царе Алексее Михайловиче, а последняя с древнеславянской - при Петре 1. Итого - 800 лет. П. Лаплас специально изучал причины этого, и заключил, что простота идеи мешала понять и оценить ее значимость. И трудна она была не для учеников, а для учителей. Именно на их переучивание ушло 8 столетий. Хотя МСС гораздо моложе, просматривается определенная аналогия. Как говорил П.Л. Капица, самое главное - поставить в нужном месте большой восклицательный знак. Именно его и не хватает, чтобы МСС был оценен по достоинству.
