Лекция №2 по прикладной математике

Лекция №2
Прикладная математика
1
Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел a ij , расположенная
в виде таблицы
 a11 a12       a1n 


 a 21 a 22       a 2 n 
A
.
           


 a m1 a m 2       a mn 
Данная матрица имеет m строк и n столбцов, a ij – элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
Опр. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то ее называют матрицей размерности m  n .
Опр. Если m=n, то матрица называется квадратной. Если m  n , то – прямоугольной.
Опр. Матрица размерности m  1 называется вектором-столбцом или просто вектором. Матрица размерности 1 n называется вектором-строкой
 b1 
 
 b2 
  
b   ,
c  c1 c2    c n .
  
  
 
b 
 n
В дальнейшем будем рассматривать в основном квадратные матрицы.
Опр. Элементы a ii квадратной матрицы называется диагональными, элементы
a ij при i  j называется внедиагональными.
Опр. Квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы равны нулю,
называется диагональной
 a11 0       0 


a 22       0 
0
.
A
            


0       a nn 
0
Опр. Диагональная матрица, у которой все элементы равны единице, называется
единичной
1 0      0 


0 1      0 
A
.
         


0 0      1 
Операции над матрицами
Опр. Матрицы A и B одной размерности называется равными, если a ij  b ij для
всех i и j.
A=B
Опр. Суммой (разностью) матриц A и B одной размерности называется матрица C
той же размерности, если c ij  a ij  b ij ( c ij  a ij  b ij ) для всех i и j.
C=A+B (C=A–B).
Лекция №2
Прикладная математика
2
Опр. Произведением матрицы A на число α называется матрица C той же размерности, если c ij    a ij для всех i и j
C   A .
Опр. Произведением матрицы A размерности m  n и матрицы B размерности n  p
называется матрица С размерности m  p , если
Cij 
n
 a ik  bkj  a i1  b1 j  a i2  b2 j      a in  bnj
для всех i и j
C  A  B.
k 1
Таким образом, чтобы найти элемент c ij матрицы C  A  B , нужно все элементы
i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и
полученные произведения сложить.
Замечание. Произведение прямоугольных матриц определено лишь в случае, когда
число столбцов у матрицы A равно числу строк у матрицы B. Произведение квадратных
матриц одной размерности определено всегда.
Примеры
2 1 3 

1 2 1  

  0 1 2 
3 0 2  

1 0 1 
 2 5   1 4 

 

 3 1   6 7 
 1 2  2 0  1 1 1 1  2 1  1 0 1 3  2 2  1 1 


 3 2  0 0  2 1 3 1  0 1  2 0 3 3  0 2  2 1 
 2 1  5 6 2 4  5 7 


 3 1  1 6 3 4  1 7 
 28 43 


 9 5 
4 2 3

  
1 5 6
 3 1 0 


 8 3 11 
 4 3  2 6 


 1 3  5 6 
 24 
 
 33 
Произведение матрицы на вектор есть вектор.
Свойства произведения матриц (если оно определено)
1.
2.
A  B  C  A  B  C.
A  B C  A  C  A  C,
3. В общем случае:
D  A  B  D  A  D  B.
A  B  B  A.
Опр. Если A  B  B  A , то матрицы называются перестановочными.
Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности.
A  I  I  A  A.
Транспонированная матрица
Опр. Матрица AT размерности n  m называется транспонированной к матрице A
размерности m  n , если a Tij  a ji для всех i и j (при операции транспонирования строки и
столбцы меняются местами).
Примеры
 1 2
A   1 0  ,
 3 4


 1 1 3 
AT  
,
 2 0 4
1 2
B
,
3 4
 1 3
BT  
,
 2 4
2
C   3  ,
 6 
 
CT   2 3 6  .
Лекция №2
Прикладная математика
3
Свойства операции транспонирования
1.
 ATT
2. ( A  B)
A – дважды транспонированная матрица совпадает с исходной матрицей.
T
T
T
T
A B
T
T
B A
3. ( A B)
Опр. Квадратная матрица называется симметричной, если она совпадает со своей
транспонированной, то есть если AT  A .
У симметричной матрицы a ij  a ji для всех i и j.
Обратная матрица
Опр. Матрица A1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A,
если выполняется равенство
A1  A  A  A1  I .
Операция нахождения обратной матрицы называется обращением данной матрицы.
Обратная матрица существует только у невырожденных матриц, то есть у таких
матриц, определитель которых отличен от нуля.
Свойства
1.
A  B1  B1  A1 ;
2.
AT 1  A1 T .
Определитель (детерминант) матрицы
Всякой квадратной матрице ставится в соответствие определитель, вычисляемый
по определенным правилам. Обозначение A  detA .
Вычисление определителя
a11
a12
a 21 a 22
 a11  a 22  a12  a 21 .
Вычисление определителя матрицы размерности n  n можно свести к вычислению
определителя матрицы размерности n  1  n  1 и, таким образом, к вычислению определителя матрицы размерности 2  2 .
a11 a12    a1n
a 21 a 22


a n1 a n 2
n
   a 2n
  a is  A is – разложение определителя по элементам i-ой строки.
   
s 1
   a nn
a11
   a1n
a12
a 21 a 22


a n1 a n 2
n
   a 2n
  a tj  A tj – разложение определителя по элементам j-го столбца.
   
t 1
   a nn
Здесь A ij   1i  j  M ij – алгебраическое дополнение элемента a ij , M ij – минор
элемента a ij – определитель матрицы размерности (n-1), получаемой из исходной матрицы вычеркиванием всех элементов i-ой строки и j-го столбца.
Лекция №2
Прикладная математика
4
Пример
a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32
a13
a
a 23  a11   111  22
a 32
a 33
a 23
a
a 23
a
a 22
 a12   11 2  21
 a13   11 3  21

a 33
a 31 a 33
a 31 a 32
 a11  a 22  a 33  a 23  a 32   a12  a 21  a 33  a 23  a 31   a13  a 21  a 32  a 22  a 31  
 a11  a 22  a 33  a11  a 23  a 32  a12  a 21  a 33  a12  a 23  a 31  a13  a 21  a 32  a13  a 22  a 31
Свойства (A и B – квадратные матрицы размерности n)
1.
  A  n  A ;
5.
a11 0
0 a 22
0
0


0
0
2. AT  A ;
1
3. A 1  A ;

  0
0   0
a 33 0  0  a11  a 22  a 33    a nn ;

  

  a nn
4. A  B  B  A  A  B ;
6.
I  1.
Верно равенство
A 1
 A11

 A
 A12
 A

 
 A1n
 A

A 21
A
A 22
A

A 2n
A
A n1 

A 
A n2 
  
1
A  , где A ij – алгебраические дополнения; или A

  
 
A nn 
  
A 
  
 ij  AAji .
Пример
 2 1
Дана матрица A  
 . Найти A 1.
3
4


Решение:
A  2  4  3  1  5;
A11  4 ; A12  3 ; A 21  1; A 22  2 ; A
1
1
 4
   0.8  0.2 

5  
 5
 .

3
2
 
   0.6 0.4 
 5 5 
 2 1   0.8  0.2   2  0.8  1  0.6  2  0.2  1  0.4   1 0 
Проверка: A  A 1  
  
  
  
 .
3
4

0
.
6
0
.
4
3

0
.
8

4

0
.
6

3

0
.
2

4

0
.
4
0
1

 
 
 

Ортогональная матрица
Опр. Матрица A с вещественными элементами называется ортогональной, если ее
транспонированная матрица совпадает с обратной.
AT  A1 или A  AT  AT  A  I .
Отсюда следует, что у ортогональной матрицы определитель равен единице.
Пример
 cos  sin  
 cos  sin    cos   sin    1 0 
A  
 ; A  A T  
  
  
 .
  sin  cos  
  sin  cos    sin  cos    0 1 