Зачет по теме «Преобразование тригонометрических

Зачет по теме «Преобразование тригонометрических выражений»
Советы от учителя
1. Постарайтесь пристально вглядеться в данное выражение, выделить
особенности его структуры, увидеть формулы, которые «бросаются в
глаза».
2. Если выражение содержит разные тригонометрические функции
одного аргумента, то попробуйте все функции выразить через одну или
две. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через
синус и косинус этого же угла.
3. Если в выражение входят тригонометрические функции от разных
аргументов, то попытайтесь свести все функции к одному аргументу.
4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения – они могут
иногда помочь в преобразовании тригонометрических выражений.
5.
Формулы приведения могут быть полезны для выражения
тригонометрической функции через кофункцию.
6. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить
и сейчас же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в
виде суммы двух или нескольких слагаемых. Единицу бывает полезно
представлять в виде 1  sin2   cos2  .
7. Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно
умножить и тут же разделить данное выражение.
8. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В
1
2
3
3
,
,
,
, 1,
2 2
3
2
3 тригонометрическими функциями соответствующих углов.
9. Если в выражения входят степени тригонометрических функций, то
можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени. Они
 1  cos 
 1  cos 
основываются на формулах cos 2 
, sin 2 
.
2
2
2
2
10. Если данное выражение является однородным многочленом n  й
степени относительно sin  , cos  , то преобразование можно
выполнять путем вынесения за скобку sin n  или cosn  ,
11. В задачах тригонометрии может пригодиться и метод составления
системы уравнений.
12. Имея дело с тригонометрическими функциями, не следует забывать
и о функции квадратичной.
простейших случаях он сводиться к замене чисел
Уровень A

 sin 2 2
4
1. Упростить выражение
.

 





sin     sin      sin     cos    
3
 3

6

3

1
2. Упростить выражение
.
tg


ctg
  sin 2 

2 cos 2
3. Докажите тождество
4. Вычислите
1 

2 
 3   2cos   1 .
 cos 2  cos   4cos
cos  
2

1
 tg10  tg 80 
1
.
5
1  sin 
  
 ctg    .
cos 
4 2
6. Какие целые значения может принимать выражение 2sin x  2 cos x ?
5. Докажите тождество
Уровень B
1. Докажите тождество sin6   3sin2  cos2   cos6   1 .
2 cos 80  cos 40
2. Упростить выражение
.
sin 40
1  sin 2
 cos   sin  .
3. Докажите тождество
cos   sin 
4. Вычислите sin 4 15  cos4 15 .
cos   sin 
 tg 2  cos 1 2 .
5. Докажите тождество
cos   sin 
6. Вычислите cos 2 70  sin 2 25  2 cos 70 cos 65 .
Уровень
C
4
5 1
cos
 .
7
7 8
2sin10  sin 50
2. Вычислите значение выражения
.
2sin 80  3 sin 50
1. Докажите тождество cos

7
cos
1
3

4.
sin10 cos10
sin 2   5sin   cos   4cos 2 
4. Вычислите
, если tg  2 .
1  3sin 2 
5. Найдите множество значений выражения cos x  sin 2 x  5 .
6. Найдите наименьшее положительное значение x , при котором функция
y  cos 2 x  2sin x  3 принимает наибольшее значение.
3. Докажите равенство