Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений

§8 Интегрирование иррациональных и
тригонометрических выражений
8.1 Интегрирование иррациональных выражений
Основным методом вычисления неопределенных интегралов от
иррациональных
функций
является
метод рационализации
подынтегрального выражения, т.е. метод нахождения таких
подстановок, которые приводят данный интеграл к интегралу от
рациональной функции.
 R( x
p1
q1
p2
q2
p
, x ,...x )dx, где pi, qiZ,
n
qn
i  1..n.
Пусть q =НОК(q1, q2,…qn). Вводим замену x = t q, тогда
dx = qt q-1dt и исходный интеграл преобразуется к виду
mn
m1
m2
*
*
R
(
t
,
t
,
t
,...
t
)
dt

R

 (t )dt , где miZ, i  1..n
и R*(t) – рациональная функция от t.
Пример:
3
dx
(2 x  1) 2  2 x  1

dx
 (2 x  1) 2 / 3  (2 x  1)1/ 2
dx
.
2/3
1/ 2
(2 x  1)  (2 x  1)
Т.к. НОК(3, 2)=6, то
2 x  1  t 6 , t  6 2 x  1,

3t 5 dt



 4 3 
t 6 1
1

5
5
t t
x

,
dx


6

t
dt

3
t
dt


2
2
t 5 dt
t 2 dt
t 2 11
(t  1)(t  1)  1
 3 3
 3
 3
dt  3
dt 
t (t  1)
t 1
t 1
t 1
dt
t2
 3 (t  1)dt  3
 3   3t  3 ln t  1  c 
t 1
2

33
2 x  1  36 2 x  1  3 ln 6 2 x  1  1  c.
2
8.2 Интегрирование тригонометрических выражений
Для нахождения интеграла вида  R(sin x, cos x)dx используют
x
универсальную тригонометрическую подстановку t  tg .
2
Тогда x = 2arctgt, dx  2dt2 ,
1 t
x
1  tg 2
2t
2
sin x 

, cos x 
2
x
1 t
1  tg 2
1  tg 2
2
2tg
и
x
2
2  1 t ,
x 1 t 2
2
*
*– рациональная функция.
где
R
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx

R
(
t
)
dt
,


Пример:
dx
 4 cos x  3 sin x  5.
Введем подстановку t  tg
dx
 4 cos x  3 sin x  5  
x
, тогда
2
dt
1 t 2
2t
4
 3
5
2
2
1 t
1 t
d (t  3)
2
2
 2

c  
 c.
2
x
(t  3)
t 3
tg  3
2
2
dt

 2

2
2
1 t
9  t  6t
8.3 Дробно-рациональные функции. Простейшие дроби
Рациональной
дробью
(дробно-рациональной
функцией)
называется отношение двух многочленов c действительными
коэффициентами степени m и n соответственно
Pn ( x)
a0 x n  a1 x n 1  ..  an 1 x  an

, a0  0, b0  0
m
m

1
Qm ( x) b0 x  b1 x
 ..  bm 1 x  am
Если m>n, то дробь называется правильной, в противном случае –
неправильной. Из неправильной дроби всегда можно выделить
целую часть, так что оставшаяся дробь будет правильной.
Пример:


3x 3  2 x 2  11x  8
8 x  10
3
2
2

3
x

2
x

11
x

8

(
3
x

2
)(
x

1
)

8
x

10

3
x

2

.
2
2
x 1
x 1
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к
интегрированию многочлена Sm-n(x) и правильной рациональной
дроби
Rl ( x )
.
Qm ( x )
Среди правильных дробей различают четыре типа простейших
дробей:
A
,
I.
xa
III.
Mx  N
,
2
x  px  q
II.
IV.
A
, k  2,
k
( x  a)
x
Mx  N
2
 px  q

k
, k  2,
где A, M, N, a, p, q – const, kN, дискриминант D=p2 -4q<0.
Рассмотрим интегрирование простейших дробей.
A
d ( x  a)
 x  a dx  A x  a  A ln x  a  c.
I.
2
d ( x  3)
dx

2
 x3
 x  3  2 ln x  3  c.
Пример:
II.

A  dx
( x  a)
Пример:
III.
k
 A ( x  a)  k d ( x  a) 
A
(1  k )( x  a)
k 1
 c.
5dx
5
3
 ( x  2)3  5 ( x  2) d ( x  2)   2( x  2)2  c.
( Mx  N )dx
 x 2  px  q .
Пример: Найти  2 3x  1 dx.
x  2x  5
1. выделим в числителе производную знаменателя:
3
(2 x  2)  4,
2
3
3
 (2 x  2)  4
 (2 x  2)
3x  1
4
2
2
dx

dx

dx

 x2  2x  5  x2  2x  5
 x 2  2 x  5  x 2  2 x  5dx,
( x 2  2 x  5)  2 x  2, 3 x  1 
2. знаменатель второй дроби представим в виде суммы квадратов:
3
 (2 x  2)
2
4
3
d
(
x
 2 x  5)
4
2
 x 2  2 x  5dx   x 2  2 x  5dx  2  x 2  2 x  5   ( x  1) 2  22 dx 
3
1
3
 x 1
 x 1
2
2
  ln x  2 x  5  4   arctg 
  c  ln x  2 x  5  2arctg 
  c.
2
2
2
 2 
 2 
8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл
Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b]
произвольным образом на n частей, где a=x0< x1<… <xi<…<xn-1< xn=b.
Обозначим xi= xi- xi-1, i  1..n
y
и пусть =max{xi}.
На каждом отрезке [xi-1, xi] выберем
точку ci[xi-1, xi] и составим сумму
n
n=f(c1)x1+…+ f(cn)xn=  f (ci )xi
i 1
О а
i-1сi
i
b
которая называется интегральной суммой функции f(x), она
зависит от способа разбиения и выбора точек ci.
Если существует
n
lim  f (ci )xi  I , не зависящий от способа
  0 i 1
разбиения отрезка [a, b] и выбора промежуточных точек ci, то
говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b],
b
а сам предел называют определенным интегралом I   f ( x)dx.
a
Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную
графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох. Тогда
произведение f(ci)xi равно площади прямоугольника с основанием
n
xi и высотой f(ci), а сумма n=  f (ci )xi представляет собой
i 1
площадь заштрихованной ступенчатой фигуры.
n
b
Если существует lim  f (ci )xi  I , то I   f ( x)dx называют
  0 i 1
a
площадью криволинейной трапеции (геометрический смысл
определенного интеграла).
Свойства определенного интеграла
1.
a
 f ( x)dx  0,
a
3.
2.
a
b
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx,
b
 dx  b  a
a
b
b
b
a
a
a
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx,
4. , R
5. a, b, cR, если все три интеграла существуют, то
b
с
b
a
a
с
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,
b
6.
b
f
(
x
)
dx

F
(
b
)

F
(
a
)

F
(
x
)

a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
8.5 Методы вычисления определенных интегралов
1. метод подстановки
b

a


t


(
x
),
dt


(
x
)
dx


f (( x))( x)dx  
  f (t )dt.

   (a),   (b)  
(1)
Пример:
sin x  t , d (sin x)  dt


0 sin x cos xdx  0 sin xd(sin x) a  0    0, b   / 2    1 
/ 2
/ 2
3
3
1
4
t
  t 3 dt 
4
0
1
0
1
1
 0  .
4
4
2. метод замены переменной
b

a


x


(
t
),
dx


(
t
)
dt


f ( x)dx  
  f ((t ))(t )dt. (2)

1
1
   (a),    (b) 
Пример:
2
 x  t , x  t 2 , dx  2tdt  2 2tdt
dx
1 

0 1  x  a  0    0, b  4    2  0 1  t  20 1  1  t dt 
4
 2t  ln t  1  02 2(2  ln 3)  (0  ln 1)   4  2 ln 3.
Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с
заменой
подынтегрального
выражения
изменяются
соответствующим образом и пределы интегрирования.
3. интегрирование по частям
b
b
a
a
b
udv

uv
a   vdu

Пример:
u  x, du  dx

0 x cos xdx dv  cos xdx, v   cos xdx  sin

/ 2
 sin x  x
/ 2
0
/ 2
  sin xdx  (sin x  x  cos x)
0
/ 2
0



x


  1.
2
8.6 Применение определенного интеграла
Из геометрического смысла определенного интеграла
следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b
и осью Ох
находится по формуле
b
при f(x)0 и
S   f ( x)dx
a
b
b
a
a
S   f ( x)dx    f ( x)dx
при f(x)0 х[a, b].
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и
y = f2(x), причем f1(x)  f2(x) на [a, b], то
b
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx.
a
y
О а
f2(x)
1
2
f (x)
1
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и
у = 2-х2.
у=х
у = 2-х2 x 0 1 -1 2 -2
y 2 1
y
1
у=х
f1(x) = х пересекаются при х1=-2 и х2=1.
О 1
-2
y -2 1
-2 -2
В данном случае функции f2(x) = 2-х2 и
1
-2
x -2 1
у=2-х
Следовательно,
2
3
2

1
x
x
2
S   2  x  x dx   2 x    2 
3 2

2
1 1 
(8)

 9
 2     4 
 2  .
3 2 
3

 2
1

