Лекция 22

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ
ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ПРОГРАММА
Физическая и химическая кинетика
ЛЕКЦИЯ 22
«Кинетические коэффициенты
локальной неравновесной
термодинамики: коэффициенты
теплопроводности и диффузии»
Лектор: Селезнев Владимир Дмитриевич
Авторы курса: В.Д. Селезнев, К.И. Корякин
Цель лекции:
 На основе идеи
квазиравновесности, т.е.
использовании функции
Максвелла для расчета
полупространственных потоков
энергии и числа частиц, получить
выражения для коэффициентов
теплопроводности и диффузии.
3
ПЛАН ЛЕКЦИИ:




Теплопроводность.
Коэффициент температурного скачка.
Диффузия.
Общие особенности элементарных
кинетических теорий.
4
Теплопроводность. Постановка
задачи
Элементарная теория теплопроводности строится так
же, как теория вязкости. Рассмотрим покоящийся
однокомпонентный газ, температура которого T является
функцией z. В плоскости z = 0 расположена поверхность
твердого тела. Требуется найти поток тепла через единичную
площадку плоскости z = a (см. рис.).
z
z
α2λ
α2λ
a
.
a
x
T0
T
5
Полупространственные потоки
энергии
Так как газ покоится (u = 0), то поток тепла равен
потоку энергии. Через плоскость z = a сверху вниз
переносится энергия
1
1
nt 2kT  a   2   pt T ,
4
2
а снизу вверх
1
1
nt 2kT  a   2   pt T  a   2  .
4
2
Здесь 2 – безразмерная константа порядка 1.
.
6
Результирующий поток энергии
Учитывая разложение функций T(z) в ряд возле точки
z=a
dT
dT
T  a   2   T  a    2
,T  a   2   T  a    2
,
dz
dz
и разложение в ряд корня ( 1  x  1 
x
для x
2
1 ):
dT
 2 dT
  2 dT 
T  a    2
 T a 1
 T  a  1 
dz
T  a  dz
2T dz 

легко получить для результирующей плотности потока тепла
следующее выражение:

1
1
dT T
1
dT T 
jqz  pt  T  a    2
 T  a    2

2
2
dz T
2
dz T 

.
.
1
dT T
1
dT
  pt 2
  nkt 2
.
7
2
dz T
2
dz
Теплопроводность
Выделяя удельную теплоемкость (на единицу массы)
при постоянном объеме
3 
kT 

d
3k
m
2
,
cV 


dT  m  2m


получим для теплопроводности  следующее выражение:
1
3
  t 2 cVm .
Сравнивая его с вязкостью, нетрудно убедиться, что
 2 2 m

cV .
 3 1
.
8
Фактор Эйкена
Следовательно, для одноатомных газов зависимость
теплопроводности  от давления и температуры такая же, как
у вязкости. Коэффициент перед cVm носит название фактора
Эйкена:
4 2
f 
.
3 1
В табл. приведены значения фактора Эйкена для инертных
газов.
Значения фактора Эйкена для инертных газов
Газ
f
Гелий
2,51[1]
Неон
2,47[1]
Аргон
2,53[1]
Криптон
2,54[2]
Ксенон
2,57[2]
.
[1] Weber, Ann d. Phys., 54, 1918; [2] Dickins, Proc. Poy. Soc., A 143, 537, 1933.
9
Фактор Эйкена
Для одноатомных газов из эксперимента (см. табл.)
следует, что f действительно является универсальной
постоянной, слабо зависящей от рода газа. Однако ее
численное значение f = 5/2 (вместо ожидаемой f ~ 1)
показывает что 2 и 1 отличаются приблизительно в 3,8
раза, что трудно понять в рамках элементарной кинетической
теории. В свое время над этой проблемой долго «мучились»
теоретики и экспериментаторы, однако строгая кинетическая
теория действительно дала f = 5/2.
Причиной большого значения f, по-видимому,
является тот факт, что передача энергии происходит менее
интенсивно при столкновениях, нежели передача импульса.
«Память» об энергии сохраняется приблизительно на
четырех длинах свободного пробега, а не на одной, как у
импульса.
.
10
Температурный скачок
Возле границ в результате того, что адсорбция за
одно столкновение полностью или почти полностью
максвелизует
функцию
распределения,
функция
распределения будет довольно сильно отличаться от
функции распределения вдали от границ.
Рассмотрим перенос энергии непосредственно вблизи
стенки. Температура газа у стенки в результате конечности
длины свободного пробега не может быть равной
температуре стенки T. Для молекул, летящих на стенку,
температура равна:
dT
T  w 2   T0   w2
dz
.
z 0
Здесь w2 - безразмерная константа порядка 1.
.
11
Температурный скачок
Средняя температура по молекулам, летящим от
стенки с T = T0 и по молекулам, летящим в слое Кнудсена на
поверхность, будет определяться следующим выражением:
T  T0 
 w2  dT
2
dz
.
z 0
.
12
Коэффициент температурного
скачка
Таким образом, при наличии градиента температуры,
перпендикулярного к поверхности, в газе наблюдается
скачок температуры
T 
 w2 dT
2
dz
z 0
T
 T 
.
z
Здесь  T – коэффициент температурного скачка.
Для
полностью
диффузного
отражения молекул с поверхности
(равновесного)
 T  1,84 .
.
13
Теплопроводность
Следовательно  w2  2 T
3,7 .
Таким образом длина релаксации энергии 3,7
больше в 3,7 раза длины релаксации импульса, равной  .
.
14
Диффузия
В рамках элементарной кинетической теории легко
получить
выражение
только
для
коэффициента
самодиффузии. В опыте этому явлению соответствует
взаимная диффузия изотопов одного элемента.
Рассмотрим бинарную газовую смесь изотопов,
однородную по температуре и давлению, состав которой
меняется с z. Ввиду того, что молекулы разных изотопов
практически одинаковы, при диффузии в первоначально
однородной по давлению и температуре смеси в ней не
возникает градиентов этих параметров (см. рис.).
.
15
Постановка задачи
z
z
α 3λ
α 3λ
a
a
x
c10
c1
.
16
Полупространственные потоки
компонентов
Снова будем искать поток молекул через единицу
поверхности плоскости z = a. Сверху вниз эту поверхность за
единицу времени будет пересекать
1
n1 a  3  t
4
молекул первого компонента, а снизу 1
n1 a   3   t
4
молекул того же компонента. Здесь 3 - безразмерная
константа порядка 1.
.
17
Результирующие потоки
компонентов
Результирующая плотность диффузионного потока в
положительном направлении оси z запишется так:
1 
dn1
dn1 
j1z  t  n1  a    3
 n1  a    3


4 
dz
dz 
.
1
dn1
  t 3
 u1z n1 .
2
dz
Для
второго
аналогичным:
компонента
выражение
будет
dn
1
u2 z n2   t 3  2 .
2
dz
.
18
Коэффициент взаимной диффузии
Так как плотность смеси n = n1 + n2 = const, то
dn1/dz = – dn2/dz. Имея ввиду, что коэффициент диффузии
определяется в соответствии с выражением
D12 dc1
,
u1z  u2 z  
c1c2 dz
найдем разность скоростей:
 1
 dn1
1
1
1 dc1
.
u1z  u2 z  
t 3  
t 3  
  t 3 
2n2
2
c1c2 dz
 2n1
 dz
С учетом этого, легко определить коэффициент взаимной
диффузии изотопов (коэффициент самодиффузии):
D12 
.
3
2
t  .
19
Число Шмидта
Из последнего выражения видно, что коэффициент
диффузии случайного блуждания с точностью до
неопределенных в элементарных теориях констант совпадает
с коэффициентом самодиффузии.
Коэффициент D12 в силу того, что  ~ 1/n, обратно
пропорционален давлению газа. Отношение
3
Sc  

 1
D12
носит название числа Шмидта и для одноатомных газов
равно 2/3. Это означает, что длины релаксации переноса
числа частиц и импульса отличаются на ~ 30%.
.
20
Диффузия в свободномолекулярном
режиме
Выражение для разности скоростей компонентов
можно составить и в свободномолекулярном режиме,
действительно, в соответствии с формулой Кнудсена
n1
2
u1z   Rt
3
n1 L
и, следовательно,
 n n 
2
u1z  u2 z   Rt  1  2  .
3
n2 
 n1
Учитывая, что n1 = – n2 (в условиях n = const), получим:
2
n n1
2
1 c1
.
u1z  u2 z   Rt
  Rt
3
n1n2 L
3
c1c2 L
.
21
Коэффициент диффузии в
свободномолекулярном режиме
Введем
коэффициент
свободномолекулярном режиме:
Kn
D12
самодиффузии
в
2
 Rt .
3
Если число Kn ~ 1, то диффузионное сопротивление
оказывают оба типа столкновений: молекул газа друг с
другом и молекул газа со стенкой. Естественно полагать, что
сопротивления по обоим типам столкновений необходимо
складывать, для того, чтобы получить общее сопротивление.
.
22
Коэффициент диффузии в
промежуточном режиме
Можно
записать
выражение
для
обратного
коэффициента диффузии в промежуточном режиме в
следующем виде:
1
1
1
3
3
31
1 
 е  Kn 

  
.
D12  Kn  D12 D12
t 2 Rt t   2 R 
Последняя формула описывает опытные данные во всем
диапазоне чисел Кнудсена с ошибкой, не превышающей
10%.
.
23
Выводы по лекции

Выражения для кинетических коэффициентов
удалось получить, совершенно не применяя
законов механики движения частиц, законов
рассеяния.
24
Выводы по лекции

Сравнение теории и эксперимента показывает,
что предположения элементарной кинетики,
основанные на идеях квазиравновесности и
полной «потери памяти» об энергии и импульсе в
каждом столкновении, в основном,
оправдываются, являются адекватными природе
механизмов переноса.
25
Выводы по лекции

Эта теория даже в простейших случаях учета одного
типа столкновений в однокомпонентном газе не
позволяет установить численных значений
кинетических коэффициентов. При переходе к учету
столкновений различного типа и описанию различных
смесей с разными длинами свободного пробега для
компонентов элементарная теория становится либо
совсем бессильной, либо привносит такое количество
неточностей и неуверенности в предсказаниях, что ее
использование становится нецелесообразным, несмотря
на преимущество простоты.
26
Список литературы к лекции 22
•
•
Ландау Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. В
10 т. Т.10. Физическая кинетика / Л.Д. Ландау,
Е.М. Лифшиц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2002. 536 с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5 томах, т.2
Термодинамика и молекулярная физика / Д.В.
Сивухин. М.: Физматлит, 2006. 544 с.
27
Спасибо за внимание!
28
Вопросы?
29