Документ 4788601

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Динамика (II часть)
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный
материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.
Завершение – Esc.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: bond@miit.ru .
Москва - 2007
Лекция 14.
Общее уравнение динамики.
Пример решения задачи на применение
общего уравнения динамики.
Обобщенные силы.

Лекция 14
■
Общее уравнение динамики – Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить к
решению задач динамики, а именно:
1. Применить принцип Даламбера, сводящий задачу динамики с задаче статики: Pk  Rk   k  0; (k  1,2,..., N )
2. Применить принцип возможных перемещений, решающий эту статическую задачу:
Pk s k cos( Pk , s k )  Rk s k cos( Rk , s k )   k s k cos(  k , s k )  0; (k  1,2,..., N )
Просуммируем по всем точкам:
Получим
общее уравнение динамики:
Более короткие записи
общего уравнения динамики:
A  0,
Или еще короче:
 Pk s k cos( Pk , s k )   Rk s k cos( Rk , s k )    k s k cos(  k , s k )  0.
= 0 – для идеальных связей
 Pk s k cos( Pk , s k )    k s k cos(  k , s k )  0.
 ( Pk   k )rk  0
 ( Pk  mk a k )rk  0.
или
В любой момент времени сумма работ всех задаваемых
сил и сил инерции несвободной механической системы с
двухсторонними идеальными связями на любом
возможном перемещении равна нулю.
где бA – возможная работа всех задаваемых сил и сил инерции на любом возможном перемещении.
Пример. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью. При  = 0 пружина не деформирована.
Жесткость пружины c. Длина каждого из стержней l. Плечо подвески a. Вес каждого из шаров G, вес муфты G1. Определить угловую
скорость установившегося вращения для данного угла .


G
G
1. Покажем заданные силы:
  maос ;
2. Добавим силы инерции:
   maос   2 (a  l sin  ).
g
x
3. Упругая связь (пружина), не являющаяся идеальной (совершает работу на возможных перемещениях), должна
быть отброшена и заменена реакцией, которая включается в число заданных сил:
R
l
a


a ос A 
Модуль реакции пружины пропорционален изменению
a ос
длины (укорочению) пружины:
R  cl  c(2l  2l cos  )  2cl (1  cos  ).
4.
Определим
проекции
возможных
перемещений
G
x A  l cos ;
x A  a  l sin  ;
R
(вариации координат) точек приложения сил:
l
G1
B

y
5. Составим общее уравнение динамики:
A  2Gy A  (G1  R)y B  2  x A  0
Подставим значения сил инерции
и реакции пружины:
y A  l cos  ;
y B  2l cos  .
2G (l sin )  (G1  2cl (1  cos  ))( 2l sin )  2
Отсюда после некоторых сокращений
и упрощений:

(G  G1  2cl (1  cos  )) g  tg
G (a  l sin  )
y A  l sin ;
y B  2l sin .
G 2
 (a  l sin  )l cos   0
g
18
Лекция 14 (продолжение – 14.2)
■
Обобщенные силы – следующий шаг к обобщению, а именно, механического действия заданных сил на систему, после введения
обобщенных координат (обобщения задания движения системы).
Пусть механическая система имеет s степеней свободы, ее положение определяется s обобщенными координатами q1, q2,…, qs.
Сообщим некоторой обобщенной координате qj бесконечно малое приращения, оставляя остальные обобщенные координаты неизменными, т.е.
бq1 =бq2= … = бqj-1= 0, бqj ≠ 0, бqj+1=…= бqs= 0. В результате все N точек системы получат какие-то бесконечно малые перемещения
s1, j , s 2, j ,..., s N , j
- совокупность этих перемещений представляет одно из возможных перемещений системы.
Элементарная работа всех заданных сил системы на этих перемещениях равна:
N
Aqj   Fk s kj cos( Fk , skj ).
k 1
Поставим в соответствие ко всем заданным силам системы некоторую одну (воображаемую) силу, которая
совершает такую же работу на данном возможном (обобщенном) перемещении бqj , что и все силы системы:
Отсюда величина этой силы
определяется как:
N
N
Q j q j   Fk skj cos( Fk , skj ).
k 1
-обобщенная сила Qj, соответствующая обобщенной координате qj–
скалярная величина, равная отношению элементарной работы
Qj 
заданных сил на всех перемещениях системы, вызванных
q j
элементарным приращением бqj ≠ 0 координаты qj, к величине этого
приращения.
1. Размерность этой силы определяется размерностью обобщенной координаты. Например, если qj есть линейная обобщенная координата, то
размерность обобщенной силы Qj соответствует силе (Н). Если qj есть угловая обобщенная координата, то размерность обобщенной силы Qj
соответствует паре сил или моменту (Нм).
2. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. Размерность каждой из обобщенных сил определяется размерностью
соответствующей обобщенной координаты.
 Fk s kj cos( Fk , s kj )
k 1
Aqj

.
q j
■
Другие формулы для вычисления обобщенной силы:
N
N
В векторной форме:
Радиус-вектор k-той точки есть функция
всех обобщенных координат:
Aqj   Fk skj cos( Fk , skj )   Fk rkj .
k 1
k 1
Вариация радиуса-вектора по обобщенным координатам
при бq1 =бq2= … = бqj-1= 0, бqj ≠ 0, бqj+1=…= бqs= 0 :
Отсюда:
N
N
k 1
k 1
Aqj   Fk rkj   Fk
В случае потенциальных сил:
T  П  const.
rk
q j .
q j
rk 
N
Q j   Fk
k 1
rk  rk (q1 , q2 ,..., q s )
rk
r
r
r
r
q1  k q 2  ... k q j  ...  k q s  k q j .
q1
q 2
q j
q s
q j
rk
.
q j
В координатной
форме:
N 
x
y
z
Q j    X k k  Yk k  Z k k

q j
q j
q j
k 1

.


П  П (q1 , q2 ,..., q s ).
T  П  0.
T  A.
A  T  П  
П
q j .
q j
Qj  
П
.
q j
19
Лекция 14 (продолжение – 14.3)
■
Пример вычисления обобщенных сил – Для механической системы трех грузов с двумя неподвижными и одним подвижным блоками
определить обобщенные силы Qj .
Q1
G1
s1
1. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. Число обобщенных координат равно
количеству степеней свободы, которое можно определить последовательным наложением связей:
Ограничим горизонтальное перемещение груза 1, грузы 2 и 3 могут вертикально перемещаться.
Ограничим дополнительно вертикальное перемещение, например, груза 3.
Груз 2 перемещаться не может (связи считаем двухсторонними).
бs1
бs2
бs1/2
бs2
бs1/2
Итак, n = 2. Выбираем обобщенные координаты q1 = s1 и q2 = s2:
Q2
бs2/2
бs1
s2
2. Для определения Q1 задаем произвольное малое перемещение бq1 = бs1 (бq2 = бs2=0).
Вычисляем возможную работу заданных сил:
G3
Aq1  G2
s1
2
.
Q1 
3. Для определения Q2 задаем произвольное малое перемещение
бq2 = бs2 (бq1 = бs1=0).
Вычисляем возможную работу
заданных сил:
бs2/2
Aq 2  G2
s2
2
Q2 
 G3s2 .
Aq1 G2

.
q1
2
Aq 2 G2

 G3 .
q 2
2
G2
■
Уравнения равновесия в обобщенных силах – Согласно принципа возможных перемещений при равновесии системы:
s r
Зададим возможные перемещения точек системы, вызванные
rk
rk
rk
k

r


q


q
...


q

q j .

k
1
2
s
бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат:
q
q
q
q
Вычислим возможную работу
N
N
s r
заданных сил:
A   Fk  rk   Fk   k
k 1
k 1
j 1 q j
1
q j .
Перегруппируем суммы
произведений:
2
j 1
s
s
N
j 1
k 1
A   q j   Fk 
A  0.
j
rk
.
q j
s
A   q j  Q j  0.
j 1
Приращения обобщенных координат произвольны и независимы друг от друга.
Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при них
Qj
(обобщенные силы) должны быть равны нулю: Q  0, ( j  1,2,...s ). - условия равновесия сил
j
в обобщенных силах.
В рассмотренном выше примере, для равновесия системы необходимо, чтобы Q1 и Q2 равнялись нулю. Видно, что Q1 ≠ 0 и равновесия нет.
Равновесие этой системы возможно лишь при наличии силы трения определенной величины между грузом 1 и опорной плоскостью. Тогда эта
сила войдет в выражение для Q1 :
Q1 
Aq1 G2
G
G

 Fтр  2  fN  2  fG1 .
q1
2
2
2
Теперь уравнения равновесия для данной системы
определяют соотношения между силами и имеют вид:
G2
 fG1  0;
2
G2
 G3  0.
2
20