Строительная механика Часть II ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЁННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ Возможности воздействия на усилия и перемещения в конструкции q l l l ql 2/8 ql 2/8 Железнодорожный мост Н.А. Белелюбского через реку Обь в г. Новониколаевске (Новосибирске) Возможности воздействия на усилия и перемещения в конструкции q q l l 2 ql /8 EI2 EI1 l 0 EI1/EI2 EI1/EI2 ql 2/8 Изменения расчётной схемы и / или её параметров q l EI1/EI2 0 ql 2/8 l1 D0 l2 Смещения связей q f/4 f q l /4 ql 2/12 q ql 2/8 l /4 EI1 l /4 l /4 ql 2/32 ql 2/128 Предварительное напряжение Ninit Основные понятия и определения Регулирование напряжённо-деформированного состояния сооружения ( конструкции ) – это целенаправленное воздействие посредством различных технических приёмов на те или иные характеристики механического поведения или состояния объекта ( сооружения, конструкции или их элементов ) с целью получения выгодных по некоторому заранее принятому критерию значений этих характеристик. Регулируемые параметры – подлежащие улучшению характеристики объекта. Регулирующие параметры ( регуляторы ) – величины, за счёт изменения которых осуществляется воздействие на НДС объекта и его характеристики ( в том числе на регулируемые параметры ). Критерий регулирования – общее исходное требование к результату регулирования, выраженное в качественной форме, без количественной детализации. Условия регулирования по принятому критерию – зависимости ( уравнения ), выражающие цель регулирования, которым должны удовлетворять значения регулируемых параметров в результате решения задачи. Классификация задач регулирования НДС конструкций критерию регулирования регуляторов (опорных реакций, внутренних усилий, напряжений) перемещений и деформаций характеристик динамического НДС конструкций (частот собственных колебаний, динамических коэффициентов и др.) характеристик устойчивости сооружений (критического параметра нагрузки, коэффициентов приведения длины и др.) других характеристик НДС конструкций надёжности и долговечности (с помощью чего осуществляется регулирование) Р е г у л и р о в а н и е посредством Р е г у л и р о в а н и е (что именно регулируется – что принимается за регулируемые параметры) По типу расчётных зависимостей и уравнений регулирования изменения расчётной схемы конструкции варьирования положения связей (опор, шарниров и др.) выбора выгодного очертания осей элементов изменения глобальных геометрических параметров (длин пролётов, высот этажей и т.п.) трансформации расчётной схемы в процессе сборки и монтажа изменения нагрузок схемы передачи нагрузок на сооружение введения дополнительных нагрузок («пригружения») изменения жёсткостей элементов смещения связей (внешних и внутренних) создания предварительного напряжения нелинейные задачи По выбору По используемому силовых факторов к л а с с и ф и к а ц и и л и н е й н ы е задачи П р и з н а к и по разрешающим уравнениям регулирования только для статически неопределимых систем ( специфические регуляторы ) Общая схема решения задач регулирования НДС конструкций Обозначения P1 , P2 , …, Pi , …, PnP – регулируемые параметры; nP – их количество V1 , V2 , …,Vk , …, VnV – регулирующие параметры (варьируемые параметры, регуляторы); nV – их количество Уравнения, выражающие требования к регулируемым параметрам по принятому критерию ( условия регулирования ): (a) Yj (P1 , P2 , …, PnP ) = Cj , j = 1, …, ny , где ny – число условий (уравнений) регулирования; C1, C2 , …, Cny – известные (задаваемые) константы. Зависимости, выражающие регулируемые параметры через регуляторы: Pi = j i (V1 , V2 , …,VnV , QSi ) , i = 1, …, nP , (b) где j i (V1 , …, VnV , QSi ) – функция влияния регуляторов V и заданных воздействий S (нагрузок и др.) на регулируемый параметр Рi ; QSi – характеристика влияния на Pi заданных воздействий. (b) (a) fj (V1 , V2 , …, VnV , BS ) = 0 , j = 1, …, ny – уравнения регулирования относительно искомых регуляторов V. Решение системы уравнений ( I ) значения регуляторов V. (I) Общая схема решения задач регулирования НДС конструкций Обозначения P1 , P2 , …, Pi , …, PnP – регулируемые параметры; nP – их количество V1 , V2 , …,Vk , …, VnV – регулирующие параметры (варьируемые параметры, регуляторы); nV – их количество Сводка уравнений Уравнения, выражающие требования к регулируемым параметрам по принятому критерию ( условия регулирования ): Yj (P1 , P2 , …, PnP ) = Cj , j = 1, …, ny . (a) Зависимости, выражающие регулируемые параметры через регуляторы: Pi = j i (V1 , V2 , …, VnV , QSi ) , i = 1, …, nP . (b) (a) (b) fj (V1 , V2 , …, VnV , BS ) = 0 , j = 1, …, ny – (I) уравнения регулирования относительно искомых регуляторов V. Частный случай – линейные уравнения ( a ) и ( b ): n n d ji Pi C j , j 1, ny (alin ) Pi pik Vk PiS , i 1, nP (blin ) , где pik – P i 1 В матричной форме: D*P = C; P = p*V + PS Матрица влияния регуляторов V на регулируемые параметры Р V k 1 d11 d12 d1nP C1 P1 D ; P ; C ; dn 1 dn 2 dn n Cn Pn y P P y y y p11 p12 p1nV V1 P1Σ p ; V ; PΣ pn 1 pn 2 pn n Vn Pn Σ P V P V P P значение Pi от Vk = 1 A*V + BS = 0 ( II ) где A = D* p ; BS = D* PS - С Общая схема решения задач регулирования НДС конструкций Уравнения регулирования в случае линейной задачи: A*V + BS = 0 ( II ) где A = D* p ; BS = D* PS - С nP – количество регулируемых (ny* nV ) параметров; d11 d12 d1nP C1 D ; C ; nV – количество регуляторов; ( ny nP ) d d d C nу – количество уравнений n y nP ny 1 ny 2 ny регулирования. p11 p12 p1nV Матрица влияния P1Σ Вектор значений регулирегуляторов V p ; PΣ руемых параметров от на регулируемые ( nP nV ) p p p P заданных воздействий параметры Р nP nV nP Σ nP 1 nP 2 Решение СУ ( II ) – единственное, если А – квадратная матрица, т.е. ny = nV , тогда V = – A –1 * BS при условии Det ( A) 0. Усилия в системе в результате регулирования: nV Sreg SV SΣ SVk 1Vk SΣ , k 1 где SV – усилия от найденных регуляторов; SS – усилия от заданных воздействий. Общая схема решения задач регулирования НДС конструкций Требования корректности постановки задачи регулирования: 1) критерий регулирования должен быть физически корректным; 2) регуляторы должны оказывать влияние на регулируемые параметры; 3) регуляторы должны быть независимыми. Формальные признаки независимости регуляторов: – распределения усилий от единичных регуляторов неподобны; ни одно из них не может быть представлено как линейная комбинация других; – среди столбцов матрицы p влияния регуляторов нет взаимно пропорциональных. Ограничения на значения характеристик nP и nV : nP nV n0 , n0 – число независимых подсистем (групп) однородных уравнений типа ( а ); – для специфических регуляторов в СНС. nV nst Примеры некорректной постановки задач регулирования Физически некорректный Выбранный регулятор критерий регулирования не оказывает влияния на регулируемый параметр М2–2 М1–1 М3–3 q 1 1 2 2 3 3 1 1 D1 – регулятор Критерий регулирования – D2 D1 регуляторы MΔ1 1 Критерий регулирования – значение момента в сечении 1-1 должно быть равно заданному М0. Уравнения регулирования: Уравнение регулирования: Невозможно! ( nV = 2 > nst = 1 ) М1–1 – регулируемый параметр выравнивание моментов в трёх сечениях. М1–1 = М2–2 = М3–3 Зависимые регуляторы М1–1 = М0 . Алгоритм решения линейных задач регулирования 1. Выбор критерия регулирования, регулируемых параметров и регуляторов. 2. Проверка корректности постановки задачи. 3. Расчёт заданной системы на воздействия единичных регуляторов Vk = 1 ( k = 1,…, nV ) и формирование матрицы влияния р . 4. Расчёт на заданные воздействия, составление матрицы PS . 5. Вычисление матриц коэффициентов и свободных членов уравнений регулирования: A = D * p ; BS = D * PS – C . 6. Вычисление искомых значений регуляторов V = A–1 * BS . 7. Определение значений регулируемых параметров Р и других характеристик НДС системы. MΔ1 1 ~ MΔ2 1 M Δ 2 1 Недостаточно регуляторов 1 1 2 2 3 3 Ninit – регулятор Уравнения регулирования: М1–1 = – М2–2 , M2–2 = – М3–3 , nP = 3, n0 = 1, nV = 1, nP > nV + n0 (!) Пример решения задачи регулирования усилий в СНС 4 EI = 5*104 кН*м2 Требуется EA = 0,5 м–2*EI обеспечить выравнивание D0 абсолютных величин изгибающих моментов EA Ninit q = 20 кН/м EA в концевых и среднем сечениях среднего пролёта балки 1 2 3 за счёт начального укорочения 1 2 3 EI (удлинения) D0 левой подвески 6м 3 3 6 и предварительного напряжения правой. 4. Расчёт на действие единичных регуляторов: Р е ш е н и е : P1 M 1-1 1. Регулируемые параметры P P2 M 2-2 . V1 = 1см P3 M 3-3 Δ V k=1 0 1 Регуляторы V 1 2 1 37,87 V2 3 3 2 11,35 45,50 15,17 MV 1 = 1 ( кН*м ) k=2 2 2 1 1 0,070 0,569 1,241 3 3 V2 = 1 кН 2,379 M V2=1 Матрица - 37,87 1,241 ( кН*м ) влияния регуляторов: p - 11,35 - 0,569 15,17 - 2,379 Эпюры MV1 = 1 и MV2 = 1 неподобны – регуляторы независимые. N init nV = 2, nP = 3. 2. Начальные условия регулирования: M1-1 - M 2-2 P1 P2 0 , n = 1 ; 0 M -M P P 0 2-2 2 3 3-3 1 1 0 0 D ; C . 0 1 1 0 3. Проверка корректности постановки задачи: – критерий регулирования физически корректен; – регуляторы могут изменять регулируемые параметры; – количественная проверка nP и nV : nV = 2 < nst = 3, nP = 3 = nV + n0 – необходимые условия выполнены. Пример решения задачи регулирования усилий в СНС 4 EI = 5*104 кН*м2 Требуется EA = 0,5 м–2*EI обеспечить выравнивание D0 абсолютных величин изгибающих моментов EA Ninit q = 20 кН/м EA в концевых и среднем сечениях среднего пролёта балки 1 2 3 за счёт начального укорочения 1 2 3 EI (удлинения) D0 левой подвески 6м 3 3 6 и предварительного напряжения правой. 4. Расчёт на действие единичных регуляторов: Р е ш е н и е : P1 M 1-1 1. Регулируемые параметры P P2 M 2-2 . V1 = 1см P3 M 3-3 Δ V k=1 0 1 Регуляторы V 1 2 1 37,87 V2 3 3 2 11,35 45,50 15,17 MV 1 = 1 ( кН*м ) k=2 2 2 1 1 0,070 0,569 1,241 3 3 V2 = 1 кН N init nV = 2, nP = 3. 2. Начальные условия регулирования: M1-1 - M 2-2 P1 P2 0 , n = 1 ; 0 M -M P P 0 2-2 2 3 3-3 1 1 0 0 D ; C . 0 1 1 0 3. Проверка корректности постановки задачи В ы в о д: задача регулирования поставлена корректно. 5. Расчёт системы на заданную нагрузку: 2,379 M q = 20 кН/м F V2=1 3 2 1 Матрица - 37,87 1,241 ( кН*м ) 3 2 влияния 1 144,10 регуляторов: p - 11,35 - 0,569 32,48 22,90 15,17 - 2,379 Эпюры MV1 = 1 и MV2 = 1 неподобны – регуляторы 6,50 62,31 73,76 независимые. Матрица усилий от нагрузки: - 22,90 PF 62,31 - 32,48 MF ( кН*м ) Пример решения задачи регулирования усилий в СНС 4 EI = 5*104 кН*м2 Требуется EA = 0,5 м–2*EI обеспечить выравнивание D0 абсолютных величин изгибающих моментов EA Ninit q = 20 кН/м EA в концевых и среднем сечениях среднего пролёта балки 1 2 3 за счёт начального укорочения 1 2 3 EI (удлинения) D0 левой подвески 6м 3 3 6 и предварительного напряжения правой. 4. Расчёт на действие единичных регуляторов: Р е ш е н и е : P1 M 1-1 1. Регулируемые параметры P P2 M 2-2 . V1 = 1см P3 M 3-3 Δ V k=1 0 1 Регуляторы V 1 2 1 37,87 V2 3 3 2 6. Уравнения регулирования A*V + BF = 0: 11,35 45,50 15,17 MV 1 = 1 ( кН*м ) k=2 2 2 1 1 0,070 0,569 1,241 3 3 N init nV = 2, nP = 3. V2 = 1 кН - 37,87 1,241 1 1 0 - 49,22 0,672 A D p -11,35 - 0,569 ; 0 1 1 3,82 - 2,948 15,17 - 2,379 - 22,90 1 1 0 0 39,41 BF D PF - C 62,31 - . 0 1 1 0 29,83 - 32,48 5. Расчёт системы на заданную нагрузку: 2,379 M q = 20 кН/м F V2=1 3 2 1 Матрица - 37,87 1,241 ( кН*м ) 3 2 влияния 1 144,10 регуляторов: p - 11,35 - 0,569 32,48 22,90 15,17 - 2,379 Эпюры MV1 = 1 и MV2 = 1 неподобны – регуляторы 6,50 62,31 73,76 независимые. Матрица усилий от нагрузки: - 22,90 PF 62,31 - 32,48 MF ( кН*м ) Пример решения задачи регулирования усилий в СНС 4 EI = 5*104 кН*м2 Требуется EA = 0,5 м–2*EI обеспечить выравнивание D0 абсолютных величин изгибающих моментов EA Ninit q = 20 кН/м EA в концевых и среднем сечениях среднего пролёта балки 1 2 3 за счёт начального укорочения 1 2 3 EI (удлинения) D0 левой подвески 6м 3 3 6 и предварительного напряжения правой. 4. Расчёт на действие единичных регуляторов: Р е ш е н и е : P1 M 1-1 1. Регулируемые параметры P P2 M 2-2 . V1 = 1см P3 M 3-3 Δ V k=1 0 1 Регуляторы V 1 2 1 37,87 V2 3 3 2 6. Уравнения регулирования A*V + BF = 0: 11,35 45,50 15,17 MV 1 = 1 ( кН*м ) k=2 2 2 1 1 0,070 0,569 1,241 3 3 N init nV = 2, nP = 3. V2 = 1 кН 2,379 M - 37,87 1,241 1 1 0 - 49,22 0,672 A D p -11,35 - 0,569 ; 0 1 1 3,82 - 2,948 - 49,22V1 0,672 V2 39,41 - 2,3790, 15,17 3,82V - 2,948V 29,83 0. - 22,90 1 2 1 1 0 0 39,41 Регуляторы: BF D PF - C 62,31 - . 0 1 1 ; V = 11,36 кН 29,83 0 (растяжение) V1 = 0,956 cм (укорочение) -232,48 5. Расчёт системы на заданную нагрузку: q = 20 кН/м F V2=1 3 2 1 Матрица - 37,87 1,241 ( кН*м ) 3 2 влияния 1 144,10 регуляторов: p - 11,35 - 0,569 32,48 22,90 15,17 - 2,379 Эпюры MV1 = 1 и MV2 = 1 неподобны – регуляторы 6,50 62,31 73,76 независимые. Матрица усилий от нагрузки: - 22,90 PF 62,31 - 32,48 MF ( кН*м ) Пример решения задачи регулирования усилий в СНС 4 EI = 5*104 кН*м2 Требуется EA = 0,5 м–2*EI обеспечить выравнивание D0 абсолютных величин изгибающих моментов EA Ninit q = 20 кН/м EA в концевых и среднем сечениях среднего пролёта балки 1 2 3 за счёт начального укорочения 1 2 3 EI (удлинения) D0 левой подвески 6м 3 3 6 и предварительного напряжения правой. 4. Расчёт на действие единичных регуляторов: Р е ш е н и е : P1 M 1-1 1. Регулируемые параметры P P2 M 2-2 . V1 = 1см P3 M 3-3 Δ V k=1 0 1 Регуляторы V 1 2 1 37,87 V2 3 3 2 11,35 45,50 15,17 MV 1 = 1 ( кН*м ) k=2 2 2 1 1 0,070 0,569 1,241 3 3 V2 = 1 кН 2,379 M N init nV = 2, nP = 3. 7. Усилия (моменты) в отрегулированной системе Мreg = MV1 = 1*V1 + MV2 = 1*V2 +MF : 101,4 45,01 45,00 Mreg ( кН*м ) 16,80 45,00 67,50 Регуляторы: V1 = 0,956 cм (укорочение); V2 = 11,36 кН (растяжение) 5. Расчёт системы на заданную нагрузку: q = 20 кН/м F V2=1 3 2 1 Матрица - 37,87 1,241 ( кН*м ) 3 2 влияния 1 144,10 регуляторов: p - 11,35 - 0,569 32,48 22,90 15,17 - 2,379 Эпюры MV1 = 1 и MV2 = 1 неподобны – регуляторы 6,50 62,31 73,76 независимые. Матрица усилий от нагрузки: - 22,90 PF 62,31 - 32,48 MF ( кН*м ) Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 17» ) 1. Что такое регулирование напряжённо-деформированного состояния (НДС) сооружения (конструкции)? ( 5 ) 2. Что называется регулируемыми параметрами и регуляторами? ( 5 ) 3. Критерий и условия (уравнения) регулирования; каковы взаимосвязь и различия между ними? ( 5 ) 4. Основные виды регулируемых параметров, регуляторов и критериев регулирования ( 6 ) . 5. Какие регуляторы не могут быть использованы для изменения усилий в статически определимых системах? ( 6 ) 6. По каким признакам классифицируются задачи регулирования НДС конструкций? ( 6 ) 7. Как проверяется корректность постановки задачи регулирования? ( 10 ) 8. Каким условиям должны удовлетворять количества регуляторов и регулируемых параметров? ( 10 ) 9. Какие требования предъявляются к регуляторам? ( 10 ) 10. Каковы признаки независимости регуляторов? ( 10 ) Каким может получиться решение задачи при использовании зависимых регуляторов? 11. Как формируется система уравнений для определения искомых значений регуляторов в линейных задачах регулирования? ( 8 ) 12. Что такое функции влияния и матрица влияния регуляторов? ( 7, 8 ) 13. Каков смысл компонентов матрицы влияния регуляторов? ( 8 ) 14. Какие расчёты системы, в которой осуществляется регулирование усилий, нужно выполнить для получения данных, с помощью которых формируются уравнения регулирования (в линейных задачах)? ( 11 ) 15. Как определяются силовые факторы в системе, получающиеся в результате регулирования? ( 9 ) *) Только в режиме «Показ слайдов».