фрактальные характеристики временных рярядов смещений

ФРАКТАЛЬНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
СМЕЩЕНИЙ ЗЕМНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПО ДАННЫМ
GPS (Global Positional System)
Захаров В.С.
Геологический факультет МГУ им.Ломоносова
zakharov@dynamo.geol.msu.ru
Скорости горизонтальных движений анализируемых
пунктов GPS (ITRF-2000).
KELY
YELL
60
STJO
WEST
COSO
GOL2
HARV
30
METS
BOR1
ZECK
ANKR
IRKT
USUD
SHAO
BAHR
KOUR
0
COCO
YAR1
-30
-60
MCM4
20 мм/год
-150
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120
150
Смещения по данным GPS (пункт YELL)
Временной ряд смещений п. YELL (1992 - 2002 гг.)
20
долготная компонента
15
10
широтная компонента
5
0
вертикальная компонента
-5
-10
1992
1994
1996
1998
годы
2000
2002
3D cмещения анализируемых пунктов GPS
Смещения по данным GPS (пункт ANKR)
Смещения по данным GPS (пункт COCO)
Смещения по данным GPS (пункт HARV)
Смещения по данным GPS (пункт BAHR)
Смещения по данным GPS (пункт BOR1)
Смещения по данным GPS (пункт COSO)
Смещения по данным GPS (пункт GOL2)
Смещения по данным GPS (пункт KELY)
Смещ ения по данны м G PS (пункт IRK T)
нализ корреляционной размерности и размерности вложения временного ряда
вертикальных смещений по данным GPS в пункте COSO (зап. США)
Временной ряд для ежедневных измерений вертикальных смещений
Аттрактор в псевдофазовом 3D
пространстве
по данным SOPAC (Scripps Orbit and Planetary Array Center) http//:sopac.ucsd.edu
Вычисление корреляционной размерности Dc для различных m
Lg(r)
0
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Lg(c)
-1
-2
Dc >8
-3
m>10
-4
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
-5
m=7
m=8
-6
m=9
m=10
-7
Анализ модели блоковой динамики NloR
Аттрактор в псевдофазовом 3D
пространстве
смещение
Смещения, рассчитанные для блоков в модели Nlo
время
Зависимость корреляционной размерности Dc от размерности вмещения m
10
шум
9
JMA
8
GPS
7
Dc =4.95
Nlo
Dc
6
m=8
Nlo: Dc=4.95
5
4
JMA: Dc=3.03
3
2
1
1
2
3
4
5
m
6
7
8
9
10
Исследуемые характеристики
• зависимость спектральной мощности S(f) от частоты f
S(f)=a f -b, где a - константа (или logS(f)= -b log f + a).,
тогда b - скейлинговый параметр для спектра ряда.
• Показатель Херста (Hu) вычисляется в результате анализа соотношения R/S
(R/S - анализ) [3,5]. Здесь R - "размах" временного ряда - разность
наибольшего и наименьшего накопленного отклонения от текущего среднего
(на данном интервале времени t); S - стандартное отклонение ряда на том же
интервале.
R/S ~ tHu ,
где Hu - показатель Херста.
При Hu > 0.5 временные персистентны, при Hu < 0.5 - антиперсистентны.
• Используются соотношения, полученные из анализа броуновских функций:
<( Bh(t) - Bh (to))2> ~ (t-to)2h, где h - скейлинговый параметр ряда
b  2Hu - 1 при -1 < b < 1; Hu  0 при b < - 1; Hu  1 при b > 1;
b  2h + 1 при 1 < b < 3; h  0 при b < 1; h  1 при b > 3;
D = 2 - h или D  (5- b)/2 при 1<b <3.
В [3] приводится уточненное соотношение D = 2.28 - 0.38b
(при 0.5<b <3)
(1)
(2)
(3)
(4)
Lat - Щиротная компонента
D=2
D3 - Фракт.размерн. по (3)
D - Фрактальная размерность, вычисленная по ряду
D4 - Фракт.размерн. по (4)
Спектральный скейлинговый параметр
b
NLO
модель
ZECK
YELL
YAR1
WEST
USUD
STJO
SHAO
METS
MCM4
KOUR
KELY
IRKT
HARV
GOL2
COSO
COCO
BOR1
Пункты GPS
BAHR
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
ANKR
Фрактальные характеристики
Результаты фрактального анализа
Lon- Долготная компонента
D=2
D3 - Фракт.размерн. по (3)
D - Фрактальная размерность, вычисленная по ряду
D4 - Фракт.размерн. по (4)
Спектральный скейлинговый параметр
b
NLO
модель
ZECK
YELL
YAR1
WEST
USUD
STJO
SHAO
METS
MCM4
KOUR
KELY
IRKT
HARV
GOL2
COSO
COCO
BOR1
Пункты GPS
BAHR
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
ANKR
Фрактальные характеристики
Результаты фрактального анализа
Rad- Вертикальная компонента
D=2
D3 - Фракт.размерн. по (3)
D - Фрактальная размерность, вычисленная по ряду
D4 - Фракт.размерн. по (4)
Спектральный скейлинговый параметр
b
NLO
модель
ZECK
YELL
YAR1
WEST
USUD
STJO
SHAO
METS
MCM4
KOUR
KELY
IRKT
HARV
GOL2
COSO
COCO
BOR1
Пункты GPS
BAHR
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
ANKR
Фрактальные характеристики
Результаты фрактального анализа
Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)
(Lat - широтная компонента)
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Показатель Херста Hu
Скейлинговый показатель
ряда h
0.3
0.2
0.1
Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)
(Lon - долготная компонента)
1.4
1.3
1.2
NLO
модель
YELL
YAR1
WEST
STJO
USUD
SHAO
METS
MCM4
KOUR
KELY
IRKT
HARV
GOL2
COSO
COCO
BOR1
BAHR
ANKR
1.5
ZECK
Пункты GPS
0.0
1.5
Lon
0.9
0.8
0.7
Показатель Херста Hu
0.5
0.4
Скейлинговый показатель
ряда h
0.3
1.3
1.2
Фрактальные характеристики
1.0
0.6
Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)
(Rad - вертикальная компонента)
1.4
1.1
Rad
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
Показатель Херста Hu
0.5
Скейлинговый показатель
ряда h
0.4
0.3
0.2
0.1
NLO
модел
YELL
YAR1
USUD
WEST
STJO
SHAO
METS
MCM4
KOUR
IRKT
KELY
HARV
GOL2
COSO
COCO
ZECK
Пункты GPS
0.0
BOR1
NLO
модел
YAR1
USUD
WEST
STJO
SHAO
METS
MCM4
KOUR
KELY
IRKT
HARV
GOL2
COSO
COCO
BOR1
BAHR
YELL
Пункты GPS
0.0
BAHR
0.1
ANKR
0.2
ANKR
Фрактальные характеристики
Результаты
фрактального анализа.
Показатель Херста
(Hu) и скейлинговый
показатель ряда (h)
Lat
ZECK
Фрактальные характеристики
1.5
1.4
1.3
1.2
Широтное смещение
Долготное смещение
Вертикальное смещение
Пункт
Плита
b
D
h
Hu
b
D
h
Hu
b
D
h
Hu
METS
Eurasia
0.76
1.99
0.01
0.69
1.09
1.87
0.13
0.90
1.09
1.87
0.13
0.96
ANKR
Anatol.
1.25
1.80
0.20
1.13
1.05
1.88
0.12
1.14
0.97
1.91
0.09
1.23
BAHR
Arab.
1.12
1.85
0.15
0.78
1.02
1.89
0.11
0.69
1.15
1.84
0.16
0.96
BOR1
Eurasia
0.82
1.97
0.03
0.95
1.06
1.88
0.12
1.16
0.93
1.93
0.07
0.93
COCO
India
1.41
1.74
0.26
0.99
1.31
1.78
0.22
0.95
0.90
1.94
0.06
1.01
COSO
N.Amer.
1.40
1.75
0.25
1.17
1.39
1.75
0.25
1.25
1.36
1.76
0.24
1.04
GOL2
N.Amer.
0.96
1.92
0.08
0.89
1.30
1.79
0.21
0.94
0.85
1.96
0.04
0.86
HARV
Nubia
0.83
1.97
0.03
0.91
1.12
1.85
0.15
0.95
1.31
1.78
0.22
0.64
IRKT
Eurasia
1.25
1.80
0.20
1.03
1.25
1.80
0.20
0.99
0.94
1.92
0.08
0.90
KELY
N.Amer.
0.79
1.98
0.02
1.04
0.86
1.95
0.05
0.70
1.08
1.87
0.13
0.89
KOUR
S.Amer.
1.15
1.84
0.16
1.08
0.70
2.01
-0.01
0.86
0.92
1.93
0.07
0.84
MCM4
Antarct.
0.49
2.1
-0.10
0.85
0.78
1.98
0.02
0.72
0.90
1.94
0.06
1.16
SHAO
S.China
1.02
1.89
0.11
1.11
1.09
1.87
0.13
0.97
1.09
1.86
0.14
0.67
STJO
N.Amer.
1.21
1.82
0.18
0.90
1.00
1.90
0.10
1.02
1.02
1.89
0.11
1.02
USUD
Okhotsk
1.03
1.89
0.11
1.10
0.82
1.97
0.03
0.88
0.99
1.90
0.10
0.73
WEST
N.Amer.
1.25
1.80
0.20
0.95
1.07
1.87
0.13
1.05
0.98
1.91
0.09
0.85
YAR1
Australia
1.16
1.84
0.16
1.03
1.04
1.89
0.11
0.92
1.05
1.88
0.12
0.79
YELL
N.Amer.
1.03
1.89
0.11
0.68
1.09
1.87
0.13
0.64
0.74
1.99
0.01
1.15
ZECK
Eurasia
1.15
1.84
0.16
0.62
1.02
1.89
0.11
0.82
1.06
1.88
0.12
0.80
Gauss
гауссов "белый" шум
-0.02
0
0.51
BrM0
броуновская функция (h =0)
1.06
1.88
0
1
BrM25
броуновская функция (h =0.25)
1.50
1.71
0.25
1.01
NLO
модель
2.03
1.51
0.49
1.84
1.58
0.42
0.92
1.93
0.07
Результаты и выводы
• Установлено, что "шумовая", "хаотическая" компонента в исследуемых
рядах GPS несёт весьма ценную информацию о характеристиках
системы земной коры, генерирующей сложные блоковые движения.
• Исследуемые временные ряды GPS проявляют фрактальные свойства
в диапазоне, по меньшей мере, одного порядка по частоте.
Установлены количественные характеристики самоподобия рядов и их
спектров (см. таблицу)
• Близость значений параметра самоподобия b к 1 указывает на то, что
эти ряды относятся к классу фликкер-шума (шум мерцания, или
перемежаемости). Система, генерирующая такие сигналы, не является
полностью случайной (стохастической), а характеризуется
определенной степенью детерминизма и наличием "памяти" о
предыдущих состояниях - тем большей, чем больше b или Hu (или чем
меньше фрактальная размерность D). С другой стороны, в системах с
перемежаемостью возможны резкие непредсказуемые изменения
режима.
• Поскольку значения b, Hu и D рассчитаны независимо, они позволяют,
в пределах ошибок, подтвердить обоснованность применения
теоретических соотношений (1)-(4) при оценке фрактальных
характеристик природных временных рядов.