117. Комбинаторика в математике

ИССЛЕДОВАТЬ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ БИНОМИАЛЬНЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
КОМБИНАТОРИКИ.
ЗАДАЧИ:



1. Изучить историю возникновения
комбинаторики как науки.
2. Определить основные правила и формулы
комбинаторики.
3. Рассмотреть свойства расположения
биномиальных коэффициентов разложения в
треугольнике Паскаля.
В теории вероятностей изучаются реально
существующие
независимо
от
нашего
сознания
законы
случайных
явлений.
«Поймать случай за хвост» – одно из самых
занимательных занятий. Работая над данным
исследованием, я прошел путь развития
новой для меня науки комбинаторики и
нашел применение её законов в формулах
алгебры.
Комбинаторные
мотивы
можно
заметить в символике китайской
«Книги Перемен» (V век до н. э.).
По мнению её авторов, всё в мире
комбинируется
из
различных
сочетаний мужского и женского
начал, а также восьми стихий:
земля, горы, вода, ветер, гроза,
огонь, облака и небо..
Элементы комбинаторики так
же были известны в
Индии еще во II в. до н. э.
Идийцы умели вычислять
числа, которые сейчас
называют "сочетания".

Как
научная
дисциплина,
комбинаторика
сформировалась в XVII в. Б. Паскаль в "Трактате об
арифметическом треугольнике" и в "Трактате о
числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о
биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о
связях математических квадратов и фигурных чисел с
теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал
употребляться после опубликования Лейбницем в
1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном
искусстве». Современная символика сочетаний была
предложена разными авторами учебных руководств
только в XIX в.
Н. Тарталья

Д. Кардано
В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и
решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены
к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот
период не возникает. Этот период кончается работами
Кардано, Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными
представлениями мы встречаемся еще в античности. У
Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и
мыслителей.


Следующий период начинается с
появления работы Я. Бернулли
"Искусство предположений" (1713), в
которой впервые была строго доказана
первая предельная теорема —
простейший случай закона больших
чисел.
В центре внимания в это время стоят
предельные теоремы. Теория
вероятностей начинает широко
применяться в различных областях
естествознания. И хотя в этот период
начинают применяться различные
понятия вероятности (геометрическая
вероятность, статистическая
вероятность), господствующее
положение занимает, в особенности
после работ Лапласа, так называемое
классическое определение вероятности.
Я. Бернулли
\


Термин "комбинаторика" был введён в математический
обиход
знаменитым
Лейбницем.
Готфрид
Вильгельм
Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный
немецкий учёный, занимался философией, математикой,
физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её
первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном
разделяет честь создателя дифференциального и интегрального
исчислений.
В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о
комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц, вводя
специальные символы, термины для подмножеств и операций
над ними находит все k -сочетания из n элементов выводит
свойства сочетаний:
Вильгельм Лейбниц
Для успешного решения комбинаторных задач
необходимо знать два правила комбинаторики.
Правило 1. Правило суммы.
Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из
них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го
сорта. Сколько существует способов извлечения из
ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена 150
способами, 2-го сорта может быть извлечена 120
способами. По правилу суммы существует
+=150+120=270 способов извлечения. Одной
детали 1-го или 2-го сорта.
Правило 2. Правило произведения.
Пример. В группе 30 человек. Необходимо
выбрать старосту, его заместителя и
физорга. Сколько существует способов это
сделать?
Решение. Старостой может быть выбран
любой из 30 учащихся, его заместитель –
любой из оставшихся 29, а физоргом –
любой из оставшихся 28 учащихся, т.е. По
правилу произведения общее число
способов
выбора
старосты,
его
заместителя и физорга равно способов.
n1n2…nk=30.29.28=24360 способов.
Формула размещения.
Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом
элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то
такие комбинации называют размещениями из n элементов по m.
Пример. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число
вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин
из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин,
так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. является
размещением из 11 элементов по 5 . Число вариантов расписаний, т.е.
число размещений из 11 по 5, находим по формуле…


Формула сочетания.
Если комбинации из n элементов по m отличаются
только составом элементов, то их называют
сочетаниями из n элементов по m.Число сочетаний
из элементов по равно.
Пример. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий
должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя
участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается
от других только составом пар участников, т.е. представляет собой
сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле:
Формула перестановки.
Если комбинации из n элементов по m отличаются только
порядком расположения этих элементов, то их называют
перестановками из n элементов по m. Число перестановок из
n элементов по m равно
Пример. Порядок выступления 7 участников конкурса
определяется жребием. Сколько различных вариантов
жеребьёвки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только
порядком участников конкурса, т.е. является
перестановкой из 7 элементов. Их число по формуле:

(a+b)n – это произведение n сомножителей,
каждый из которых равен a+b. Ясно, что при
раскрытии скобок в этом произведении
слагаемых an и bn появляются ровно по одному
разу, следовательно, в итоговое выражение оба
они входят с коэффициентом 1. Это значит, что
C0n= Cnn=1 при любом n.

Коэффициенты
1
разложения
можно
11
представить в виде
121
треугольника Паскаля,
1331
хотя известно она
14641
была задолго до 1665
1 5 10 10 5 1
г., когда в печати 1 6 15 20 15 6 1
появилось сочинение 1 7 21 35 35 21 7 1
Блеза
Паскаля«Об
арифметическом
треугольнике».
Блез Паскаль
Арифметический треугольник позволяет найти
любой биномиальный коэффициент, но при
больших значениях n считать придется
очень много. Нельзя ли как – то ускорить
вычисления?
Оказывается можно:
Cnk=
=
Эту формулу и вывел
Исаак Ньютон

С помощью этой формулы можно вычислить
любой биномиальный коэффициент.

Для примера можно посмотреть разложение 10
степени двучлена a+b.
(a+b)10=a10+10a9b+45a8b2+120a7b3+210a6b4+252a5
b5+210a4b6+120a3b7+45a2b8+10ab9+b10.
Свойства
треугольника
Паскаля.

1.Каждое число А равно сумме
чисел предшествующего
горизонтального ряда, начиная с
самого левого и до числа,
стоящего непосредственно над
А.(1+2+3+4+5=15)
(Треугольник Паскаля.)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
1
А
2. Каждое число А равно сумме чисел
предшествующего вертикального ряда, начиная с
самого верхнего и до числа, стоящего
непосредственно левее А. (1+2+3+4=10)
1 1 1
1
1
1
1
1 1
1 2 3
4
5
6
7
8
1 3 6
10
15
21
28
1 4 10
20
35
56
1 5 15
35
70
1 6 21
56
1 7 28
1 8
1
А

3. Если число А уменьшить на 1, то получится сумма
всех
чисел,
заполняющих
прямоугольник,
ограниченный теми вертикальным и горизонтальным
рядами, на пересечении которых стоит число А (сами
эти ряды в прямоугольник не включаются).
(1+1+1+1+2+3=10-1=9)
1 1 1
1
1
1
1
1 1
1 2 3
4
5
6
7
8
1 3 6
10 15 21 28
1 4 10 20 35 56
А
1 5 15 35 70
1 6 21 56
1 7 28
1 8
1
(Сумма чисел в отмеченных клеточках равна А-1)

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть,
что подавляющее большинство природных и
рукотворных
явлений,
а
также
явлений
повседневной жизни содержат в себе элементы
случайности. Окружающий нас мир насыщен
случайными событиями: номера выигравших
билетов в лотереях, результаты спортивных
состязаний, состояние погоды, количество
солнечных дней в течение года и так далее.