Тема: Заряд и его свойства, закон Кулона (продолжение) Лекция №2

Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Лекция №2
Тема: Заряд и его
свойства, закон Кулона
(продолжение)
8. Интегральная формулировка закона
сохранения заряда.
v
Скорость изменения заряда
в объёме.
Изменение заряда в некотором объёме может
произойти только в результате втекания и
вытекания заряда через замкнутую
поверхность S ограничивающую объём
(алгебраическая сумма электрически
изолированного объема есть величина
постоянная.
s
jdЅ
Сила тока через поверхность,
ограничивающую объём.
S
V
Знак минус учитывает, что если + заряд внутри V
уменьшается, то плотность тока направлена из объёма.
9. Дифференциальная формулировка
закона сохранения заряда.
Итак интеграл по поверхности равен
интегралу по объему в виде
jdЅ
Запишем данное выражение в виде (это связь
интеграла по поверхности с интегралом по
объему, который заключен данной
поверхностью).
 


S j dS  V divj dV   t V dV
Здесь дивергенция равна
 dj x dj y dj z
divj 


dx dy dz
(1)
Сравнивая подинтегральные выражения в
формуле (1), видим, что


div j  
t
Это и есть закон сохранения заряда в
дифференциальной форме
10. Сохранение заряда в 4-х мерном
пространстве
Перепишем выражение для дивергенции и плотности
тока в виде :
 dj1 dj2 dj3
divj 


dx1 dx2 dx3
 ic 

t
ict
ic  j4 ict  x4
Легко видеть, что изменение плотности заряда
во времени можно представить как 4-ую
компоненту плотности тока:
 dic dj4


t
dict dx4


div j  
t
 
div j 
0
t

dj1 dj2 dj3 dj4



 divjn  0
dx1 dx2 dx3 dx4
Окончательно:

div jn  0
Это и есть закон сохранения заряда в
дифференциальной форме для 4-х
мерного пространства
Преобразование из К системы в систему К’
для одномерного тока jx и плотности
заряда ρ в СТО имеет вид:

jx 
V /c
2
1V / c
2
2
 V
1V / c
2
2
j x
Закон Кулона.
(1)
q1,q2 – точечные заряды; r – расстояние между
зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость
среды ( в вакууме и воздухе = 1 );
ε0 – диэлектрическая постоянная = 8,85*10-12Ф/м.
Принцип суперпозиции:
1 qqk rk
F

F

k
2
rk
k 40 rk
k
(2)
3
2
2
1
Н

м
Кл
Ф 
9
12
k
 9 10
; ε0  8,85 10
или  
2
2
4πε0
Кл
Нм
 м
З.К. справедлив 107-10-17м (эксперимент)
F12
+
1
+
2
F21
+
1
F12
F21
2
2. -
+
l
●
3.
+
+
4.
+
●
-
-
l
-
+
●
l
+
-
а
-
+
На каждый заряд,
действуют по 3
силы
r
х
●
Q
F
9
Сущность модели
электростатического поля
Важна не неподвижность зарядов, а
постоянство во времени электрического поля!
Границы применимости – требование малости
вклада от отдельных зарядов в наблюдаемое
поле.
Основная задача электростатики: найти
поля, создаваемые «неподвижными» зарядами
2
Вектор Е напряженности
электрического поля
Детектор поля – точечный заряд.
Источником Е- поля является заряд.
Локальная хар-ка
q +
r
E
(3)
F
Для точечного заряда (4)
в вакууме (ε =1)
4
Формула (4) получена делением силы Кулона на
заряд q
Согласно принципу суперпозиции
электрическое поле системы зарядов
равно векторной сумме
напряженностей полей, создаваемых
отдельными зарядами
q k rk
F
E 

E

k
2
q k 40 rk rk
k
Е
Силовые линии. Примеры
○
1
Е1
○
2
Е
Е2
3○ Е3
Е
Е
Е
Е
5
●А
z
+
+
+
x
●
Равномерно заряженная
плоскость σ
dy
σ
+
+
+
+
+ +
+
+
L
y
Найти
напряженность Е
электрического поля
в точке А на
расстоянии z от
плоскости.
Применить принцип
суперпозиции
Каждая полоска несёт
элементарный заряд dq
= σ Ldy
11
Вектор электрического смещения
(вектор
индукции электростатического поля) - D
D = εε0E
(5)
Формула для однородной среды. Вектор направлен
также как и Е.
Для точечного заряда
(6)
Справедлив принципы суперпозиции:
(7)
6
D = εε0E
(5)
Вектор D не преломляется на границе двух
сред.
Е
D
ε >1
+
Е
D
+
ε >1
7
Поток вектора ( Е,D)
Ф = ∫s (ЕdS)
dS =dS n
(10)
Е
dS
n
n
n
dS
α
dS
dФ = ЕdS
Ф=0
dФ = ЕdS Cosα
Ф = числу силовых линий через единицу площади.
13
Е
Е
Е
Е
dS
n
Е
Ф через искривлённую
поверхность
Ф через замкнутую
поверхность
Ф = ∫s (ЕdS)
(11)
Поверхность не должна быть морщинистой
14
Теорема Гаусса (закон Гаусса)
Закон Гаусса связывает поток через поверхность
и заряд.
Е
dS
n
q
Если между Е или D и n острый угол Фположителен, если тупой - Ф отрицателен.
15
Е
(4)
α
n
q
dΩ
dS
Ф = ∫s (ЕdS)
(11)
(12)
q
(13)
ε0
(14)
16
(15)
○
∫ dΩ=4π
Теорема Гаусса для Е
=∑qi=q
Теорема Гаусса для D
Если зарядов в объёме V много, то q = ∑qi
Для док-ва используется принцип
суперпозиции!!!!
17
Если заряд находится вне объёма:
=0
Вектор D 2 раза входит в
объём и 2 раза из него
выходит.
D
Если заряд распределен внутри объёма,
например, с объёмной плотностью ρ:
q=
То:
∳v ρdV
= q = ∳ ρdV
v
18
Физической основой ТОГ является закон Кулона,
поэтому теорема Гаусса является интегральной
формулировкой закона Кулона.
19
Поток вектора напряженности сквозь
произвольную замкнутую поверхность = сумме
зарядов, заключённых в этой поверхности,
деленной на ε0 .
Аналогично для потока вектора смещения D
20
Применение теоремы Гаусса.
По тонкой сферической оболочке радиуса R
равномерно распределён заряд q. Определить Е: а)
вне сферы, б) внутри сферы.
Е
+ r А
R 1 ●
В●
E
n
+σ
S
Е
σ
+
+
+
r1 ●А
R
+
+
r2 +
+
+
В●
●С
+
n
+ + +
Е
21
Вектор Е направлен радиально в силу симметрии
Проведем произвольную замкнутую поверхность
радиуса r1
Е
+ σ
По Т.О.Г.
Е
+r
R
●А
+
Е=О
+
1
В
+
●
+
С
+
n
2


E,
dS
=
Е
∫dS
=
Е
S
=
Е
4πr

А
А
А
1
S
= q/ε0
22
Из (23)
ЕА вне сферы =
(*)
q = ∫Sσ dS
т.к. S задано q = σSс = σ4πR2
На пов-ти сферы
Внутри сферы
(точка В) Е равно
нулю
23
σ
+
+
Е
r2 +
В●
+
Е
+ r1 ● А
R
+
●С
+
n
Е
0
Поле вне сферы такое
же как и от точечного
заряда!
1/r2
R
r
25
Поле Е равномерно заряженной ∞ нити с
линейной плотностью τ.
Е
n
τ
А
●
а
n
l
dS
dSторц.
∫(EdS) = ∫(EdSбок) +2 ∫(EdSторц) = ∫(EdSбок) = ES =
= Е2πаl = q/ε0
=0
q = ∫l τdl = τl
Окончательно имеем:
26
Электрическое поле Е бесконечно
большой заряженной плоскости
Поверхностная плотность зарядов σ
S
Поверхность Гаусса
выбираем в виде
прямоугольного ящика. В
силу бесконечно-большой
симметрии плоскости вектор
Е в любой точке
окружающего пространства
направлен по нормали к
плоскости
S
Е
Е
n
n
ФЕ   ( EdS )  E 2 dS  2 ES 
S
s
1
0
E
 qi 
i 1

2 0
1
0
S