Показательные уравнения. Автор: Ученик 10 «Б» класса МОУ «Цивильская СОШ №1

Показательные уравнения.
Автор:
Ученик 10 «Б» класса
МОУ «Цивильская СОШ №1
имени М. В. Силантьева
Софонов Дмитрий.
Цель:
выяснить, можно ли свести решения всех показательных
уравнений к решению простых уравнений.
Задачи:
• Создать банк данных «Способы решения показательных
уравнений».
• Провести исследование, решения сводятся к решению
простых алгебраических?
Предположение:
Решение всех показательных уравнений сводятся
к решению алгебраического уравнения или
простейшего показательного уравнения.
Л. Н. Толстой
Большинство жизненных задач
решаются как алгебраические
уравнения: приведением их к самому
простому виду.
а  а    0
х
х
заменой а
 у сводятся
к квадратному уравнению
х
3
2
х 1
 18  3
sin2 x
4 
15
2
cos 2 x
  4 
x
х
 29
3
15

x
8
a   ab   b 2 x  0
x
2x
заменой
 а х
 
   у
в
сводятся
к квадратному уравнению
2
2 х 1
2 х 1
 56  3
х
3 4  2  9  5 6
х
х
х
0
 
P a  0(*)
x
Основной результат:
показательные уравнения (*),
где P- многочлен, решаются
как алгебраические уравнения
с помощью замены .
Вывод:
Многочисленные показательные
уравнения зачастую сводятся, в
конечном итоге, к решению
линейных, квадратных или к
решению простейших
показательных уравнений.
Литература:
• Черкасов О. Ю., Якушев А. Г., Математика: интенсивный курс
подготовки к экзамену.- М.:
Айрис-пресс,. 2003.- 432 с.
• Сергеев И. Н., Математика. Задачи с ответами и решениями:
Пособие для поступающих в ВУЗы.- М.: КДУ, 2004.-360 с.
• Бородуля И. Т., Показательная и логарифмическая функции:
Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 1984.- 112 с.
Зачётная работа
Решите уравнение:
1.2  512
3х
1
3х
2.10 х  10 х 1  0,11
3.4  2  6  18  3
2х
х
2х
х
х
4. 5  2 6    5  2 6   10

 

5.15 2 х 1 15  2 2 х  135
6.132 х  6 13 х  5  0
Тригонометрические
уравнения
Автор:
Ученик 10 «Б» класса
МОУ «Цивильская СОШ №1
имени М. В. Силантьева
Леонтьев Александр.
Цель:
выяснить, можно ли свести решения всех тригонометрических
уравнений к решению простых уравнений.
Задачи:
• Создать банк данных «Способы решения
тригонометрических уравнений».
• Провести исследование, решения сводятся к
решению простых уравнений?
Предположение:
Решение тригонометрических
уравнений можно сводить к
решению простых уравнений.
Природа хочет нам сказать, а мы
по глупости не понимаем.
Однажды на лекции
Решение простейших
тригонометрических уравнений
Sinx = m, ImI  1.
х   1 arcsin m  n, n  Z .
n
cos x  m, m  1.
x   1 arccos m  2n, n  Z .
tgx  m, m  R.
x  arctgm  n, n  Z .
ctgx  m, m  R.
x  arcctgm  n, n  Z
n
Способы решения:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
сведение к квадратным
уравнениям;
сведение к однородным
группировка и разложение на
множители;
уравнениям;
метод вспомогательного
аргумента;
преобразование суммы
тригонометрических функций в
произведение;
преобразование произведения
тригонометрических функций в
сумму;
применение формул понижения
степени;
замена sin x ± cos x = t;
Уравнение вида f(x) =  (х).
Пример 1.
2
3
сos
x  10 cos x  3  0.
• Решите уравнение:
Решение. Пусть cosx = у. Данное уравнение
примет вид: 3 у 2  10 у  3  0.
Решив его, найдем у1  1 , у2  3.
3
Значение у = 3 не удовлетворяет условию, так
как I cosxI ≤ 1.Следовательно, cosx = 1/3;
х = ± arccos(1/3) + 2πn, n Z .
Ответ: х = ± arccos(1/3) + 2πn, n Z .
Вывод:
• Тригонометрическое уравнение не
обязательно решается каким-либо
одним методом.
• Те методы, которые мы изучили
помогают последовательно сводить
задачу к всё более простой, пока в
итоге не получится одно из простейших
тригонометрических уравнений.
Вывод:
• Чем больше опыта в решении
тригонометрических уравнений, тем
вероятность успеха выше.
• Секрет успешного решения
тригонометрических уравнений
заключается в знании основных
тригонометрических формул и в умении
решать простейшие
тригонометрические уравнения.
Литература:
• Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С.
Ф. Сборник конкурсных задач по математике. – Мм.:
Наука,. Главная редакция физико – математической
литературы, 1983. – 384 с.
• В. В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – 12 – е изд.,
исправленное и дополненное. М.: ММЦНМО, 2005. –
944 с.
• Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный
курс подготовки к экзамену. – 8 – е изд.,. Испр. – М.:
Айрис – пресс, 2003. – 432 с.: ил. – (Домашний репетитор).