Простые ставки

Финансовая
математика.
Слайд-фильм
Выполнила: Галанцева Е.В
Проверил: Бабур В.Л
Казань 2003.
Простые ставки процентов.
Ставка- это величина определяющая будущий доход
от предоставления денег в долг. Обычно она
определяется как процент (%) от первоначальной
суммы () операций за определенный
стандартный интервал времени (чаще за год). Т.о
ставка это норма дохода операций или норма
доходности или просто доходность.
Практически все финансово-экономические расчеты
так или иначе связаны с определением процентных
денег (%)-эта та сумма доходов от предоставления
денег в долг в различных формах. Сумма
процентных денег зависит от суммы долга, срока
его выплаты и процентной ставки,
характеризующей интенсивность начисления
процентов. Проценты могут выплачиваться
кредитору по мере их начисления или
присоединяться к сумме долга.
Увеличение суммы долга за счет присоединения
начисленных процентов называют наращением
(ростом) первоначальной суммы долга. Отношение
наращенной суммы к первоначальной сумме долга
называют множителем (коэффициентом)
наращения. Интервал времени, за который
начисляют проценты, называют периодом
начисления.
При определении процентов используются два
основных подхода. При первом подходе сумма
процентных денег определяется исходя из
первоначальной суммы долга или из наращенной
суммы долга на момент начисления, включающей
проценты, начисленные за предыдущие периоды.
Процентная ставка в этих случаях будет
представлять собой выраженное в процентах
отношение суммы процентных денег,
выплачиваемых за фиксированный интервал
времени (обычно за год), к величине ссуды или к
величине первоначальной суммы ссуды с
начисленными за предыдущие периоды процентами.
Такие процентные ставки называют ставками
процентов (ссудным процентом).
При другом подходе сумма процентных денег
определяется исходя из суммы, которая должна
быть возвращена (например, суммы некоторого
денежного обязательства). Процентная ставка в
таких случаях будет представлять собой
выраженное в процентах отношение суммы
процентных денег, выплачиваемых за
фиксированный интервал времени, к величине
суммы, которая должна быть возвращена или
выплачена по соответствующему денежному
обязательству.
Такие процентные ставки называют учетными
ставками.
Ставки процентов могут быть простыми (если они
применяются к одной и той же первоначальной
сумме долга на протяжении всего срока ссуды) или
сложными (если они применяются к сумме долга с
начисленными за предыдущие периоды
процентами). Учетные ставки аналогично могут
быть простыми и сложными.
При использовании простых процентных ставок, %
начисляются в течении всего срока операций, чаще
всего 1 раз при завершении операций.
Определение наращенной суммы
Простая годовая ставка процентов имеет вид
i(%) =Iг/P-100,
где Iг — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;
P — величина ссуды.
При проведении расчетов обычно используют относительную
величину ставки процентов
i=i(%)/100=Iг/P
Cсумма процентных денег при простой ставке будет равна
I=n*i*P
Если срок ссуды составляет п лет, общая сумма процентных
денег будет равна I=n*Iг=n*I*P
Следовательно, сумма долга с процентами составит
S=P+I=P+P*i*n=P*(1+n*i), это выражение
представляет собой формулу для определения наращенной
суммы при использовании простой годовой ставки процентов.
Эта формула может также быть представлена в виде
S=P*kн, где
k =1+n* i=S/P
множитель (коэффициент) наращения.
Если срок ссуды задан в днях n=∂∕K,
где ∂-продолжительность ссуды в днях;
K-продолжительность года в днях.
При этом наращенная сумма будет определяться выражением
S=P*(1+∂∕K*i).
н
Величину K называют временной базой для расчета процентов.
Временная база может браться равной фактической
продолжительности года — 365 или 366 дней (точные проценты)
или приближенной, равной 360 дням (обыкновенные проценты).
Значение числа дней ссуды может также определяться точно или
приближенно, когда продолжительность любого месяца
принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи ссуды
и дата ее погашения считаются за один день. В зависимости от
выбора временной базы, а также точного или приближенного
числа дней ссуды сумма процентных денег может несколько
различаться.
Применяемые при начислении процентов ставки могут
изменяться во времени. Предположим, что на
последовательных интервалах времени n1 и n2
используются ставки процентов i1 и i2. Сумма
процентных денег в конце первого интервала составит
I1=P*n1*i1
Сумма процентных денег в конце второго интервала
составитI2=P*n2*i2.
Полная сумма процентных денег за два интервала
начисления составит
I=I1++I2=P*n1*i1+P*n2*i2=P*(n1*i1+n2*i2).
Полная сумма процентных денег за два интервала
начисления составит S=P+I=P(1+n1*i1+n2*i2).
Определение срока ссуды и ставки
процентов
Срок ссуды в годах определяется по формуле
n=S-P/P*i=I/P*i
Срок ссуды в днях определяется выражением
∂=(S-P/P*i)*K
Ставка простых процентов для срока ссуды в годах и днях будет
определяться выражением
i=S-P/P*n=(S-P/P*∂)*K
i=S-P/P*n=W/P*n (W―› I) (доходность)
Доходность является универсальным показателем позволяющим
сравнивать эффективность различных операций.
Дисконтирование по простой ставке
процентов
Определить сумму ссуды при заданных значениях суммы
погашения долга, срока ссуды и ставки процентов.
P=S*(1/(1+n*i))=S*(1/(1+∂/K*i))
P=S*k∂, где
k∂=(1+n*i)^-1=(1+∂/K*i)^-1-коэффициент дисконтирования.
Рассмотренную операцию называют дисконтированием по
простой ставке процентов.
коэффициент дисконтирования.
Как легко видеть, коэффициент дисконтирования является
обратной величиной множителя (коэффициента) наращения
k∂=1/kн
Термин "дисконтирование" в широком смысле означает
определение значения Р стоимостной величины на
некоторый момент времени при условии, что в будущем
она составит заданную величину S.
Подобные расчеты называют также приведением
стоимостного показателя к заданному моменту времени, а
величину Р, найденную дисконтированием величины S,
называют современным или приведенным значением
величины S.
Дисконтирование позволяет учитывать в
финансово-экономических расчетах фактор
времени. Термин "дисконтирование" применяется
также при использовании учетных ставок.
Простые учетные ставки
Учетные ставки используются, когда сумма процентных
денег определяется исходя из суммы, которая должна
быть возвращена (например, суммы некоторого денежного обязательства). При выдаче ссуды по учетной
ставке суммой ссуды считается сумма, которая должна
быть возвращена, процентные деньги, начисленные по
учетной ставке, удерживаются непосредственно при
выдаче ссуды, а сумма, получаемая заемщиком, будет
меньше суммы ссуды на величину процентных денег.
Поскольку в данном случае по значению
стоимостной величины в будущем определяется ее
значение в предшествующий момент времени,
такая операция называется дисконтированием по
учетной ставке или банковским учетом, а
начисленная по учетной ставке сумма процентных
денег называется дисконтом
Определение суммы, получаемой заемщиком, и
суммы, получаемой при учете денежных
обязательств
Простая годовая учетная ставка будет определяться
выражением d(%)=Dг/S*100, где Dг-сумма процентных
денег, выплачиваемая за год; S -— сумма, которая
должна быть возвращена.
При проведении расчетов обычно используют
относительную м личину учетной ставки
d=d(%)/100=Dг/S
сумма процентных денег, выплачиваемая! год, будет равна
Dг=d*S
При сроке ссуды п лет общая сумма процентных денег
(дисконт) составит D=n*d*S.
Для возвращаемой суммы можно записать очевидное
соотношение
S=P+D, где Р — сумма, получаемая заемщиком.
Получаем формулу для определения суммы, получаемой
заемщиком:P=S-D=S*(1-n*d)
Если срок ссуды задан в днях, формула будет иметь вид
P=S*(1-(∂/K)*d)
Учетные ставки также используются при покупке
(учете) векселей и других денежных обязательств. В
этих случаях банк или другое финансовое
учреждение до наступления срока платежа по
векселю покупает его у владельца по цене, меньшей
той суммы, которая должна быть выплачена по
нему в конце срока, или, как принято говорить,
банк учитывает вексель с дисконтом
Владелец векселя при этом получает деньги ранее
указанного в векселе срока (за вычетом дохода банка в виде
дисконта) . Банк, получив при наступлении срока оплаты
векселя указанную в нем сумму, реализует (получает)
дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу
банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по
учетной ставке, используемой при его учете, на срок,
равный сроку от даты учета до даты погашения векселя.
Дисконт (сумма процентных денег) будет определяться
выражением D=S-D=S*(1-∆n*d)=S*(1-(∆∂/K)*d), где
S-сумма уплаты по векселю;
∆n=∆∂/K- срок в годах от даты учета до даты погашения
векселя; ∆∂-число дней от даты учета до даты погашения
векселя; K-временная база; d - учетная ставка.
Сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя P=SD=S*(1-∆n*d)=S*(1-(∆∂/K)*d)
Операция дисконтирования по учетной ставке может
совмещать с операцией начисления процентов (например,
при учете платежи го обязательства, предусматривающего
начисление процентов! указанную в нем сумму) . В этих
случаях наращенная сумма ссуды с учетом процентов
составит S=P0*(1+n*i), где
P0-первоначальная сумма ссуды; n-срок начисления
процентов; i-ставка процентов.
Получим выражение для суммы, выплачиваемой при учете
платежного обязательства:P=P0*(1+n*i)*(1-∆n*d)
Определение срока ссуды
и учетной ставки
Определим срок ссуды или учетную ставку при прочих заданных
условиях. Срок ссуды в годах будет равен n=(S-P)/(S*d).
Срок ссуды в днях будет равен ∂=((S-P)/(S*d))*K
Учетную ставку для срока ссуды в годах и днях можно определить
по выражению d=(S-P)/(S*n)=((S-P)/(S*∂))*K
Средние ставки процентов.
Для целей анализа в банке регулярно рассчитывают
средние (W) по группам однотипных операций
(доходность портфеля). Для расчета используют
формулу средней арифметической взвешенной , а в
качестве исходной формулы, формулу для процентных
денег I=S-P=P*n*I.
В случае, если все операции проводят по простой ставке
процентов (i) их сроки в течении отчетного периода
различны и такой расчет не учитывает возможности
реинвестирования полученного дохода.
Если же мы хотим учесть возможность реинвестирования,
то нужно использовать сложные проценты и ставки
эквивалентности. iср=∑I/∑P*n=∑P*i*n/∑P*i
W=x*f
(I=W P*n=f i=f)
Если в финансовой операции размер процентной ставки
изменяется во времени, то все значения ставки можно
обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемыхзначений ставок на среднюю процентную ставку по
определению не изменяет результатов наращения или
дисконтирования.
Допустим за последовательные периоды n1, n2..., nk
начисляются простые проценты по ставкам i1,,i2..., ik.
Искомые средние получим посредством приравнивания
соответствующих множителей наращения друг к другу:
1+Ni¯=1+∑