v A (G)

Общественные блага - 2
Модель с добровольным финансированием
общественного блага
Схема модели
Определение и схема поиска равновесия
Аналитический пример нахождения равновесия
Парето-оптимальный объем общественного блага:
уравнение Самуэльсона, его смысл и варианты
Графическая иллюстрация
Модель с добровольным финансированием
общественного блага: предпосылки
• N потребителей, i = 1…N
• каждый потребитель i распределяет свой доход Ii между xi
(потреблением частных благ), измеряемым в деньгах, и pGgi –
расходами на финансирование общественного блага, которое стоит
pG за единицу.
 уравнение бюджетной линии: xi + pGgi = Ii
• предпочтения каждого потребителя представимы функцией
полезности Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = g1 + … + gN
• Решения о пожертвованиях принимаются всеми потребителями
одновременно: то есть, каждый потребитель, решая, сколько ему
пожертвовать на финансирование общественного блага, принимает
размер пожертвований других как заданный
Модель с добровольным финансированием
общественного блага: идея равновесия
Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ
представляет собой равновесие по Нэшу в одновременной игре,
где:
• Игроки = потребители
(i = 1…N)
• Стратегии = количество ОБ, которое оплачивают потребители
(g1, g2 …gN)
• Платежи = значения функций полезности потребителей
(U1(x1, G)…UN(xN,G))
Определение:
Равновесием по Нэшу называется такая комбинация стратегий, при
котором ни одному игроку, при заданных стратегиях остальных,
не выгодно менять свою стратегию.
И как его найти?
Добровольное финансирование
общественного блага: поиск равновесия
Рассмотрим задачу потребителя i. Ради удобства,
обозначим количество ОБ, финансируемое
всеми остальными потребителями,
кроме i-того, как g-i:
max I i  pG gi  vgi  g i 
g i 0
xi  vgi  g i 

xmax
i , g i 0


 xi  pG gi  I i
 Удобно перейти к задаче
безусловной максимизации
Условия первого порядка. ВАЖНО помнить об угловых решениях!
 pG  v' gi  g i , gi  0

 pG  v' g i , gi  0
gi  BRi ( g i , pG )
Это – т.н. функция реакции, или
функция наилучшего ответа (best
response), потребителя i
Добровольное финансирование общественного
блага: поиск равновесия - 2
Итак, решив задачу каждого из N
потребителей, мы получили систему из N
функций реакции. Каждая из этих функций
показывает, какой размер пожертвования
на финансирование ОБ (при
фиксированных пожертвованиях
остальных) максимизирует его полезность.
g1 * ( pG ),..., g N
 g1  BR1 g 1 , pG 

...
 g  BR g , p 
N
N
G
 N
Решив
систему, мы
найдем равновесные объемы
* ( pG )
пожертвований каждого потребителя, что
подсказывает нам еще одну трактовку равновесия по Нэшу:

Определение (эквивалентное):
Равновесием по Нэшу называется такая комбинация стратегий, при
котором стратегия каждого игрока является наилучшим ответом на
стратегии остальных.
Равновесие в модели с добровольным
финансированием ОБ: аналитический пример
Давайте рассмотрим тот же пример, графический анализ которого мы
представили на прошлой лекции:
- два потребителя – A и B
- максимальная готовность платить за общественное благо
(обратные функции спроса):
pA(G) = 10 – 2G
pB(G) = 5 – G/2
Чтобы найти равновесие с добровольным финансированием
аналитически, нам нужно реконструировать их функции полезности…
Реконструкция квазилинейных функций
полезности из функций спроса
По предпосылкам нашей модели, функции полезности
должны иметь вид Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = gA +gB
В таком случае, предельная готовность платить за ОБ (предельная
частная выгода) должна быть равна предельной полезности ОБ:
v’A(G) = pA(G) = 10 – 2G
v’B(G) = pB(G) = 5 – G/2
Отсюда, проинтегрировав v’A(G) и v’B(G), легко найти vA(G) и vB(G), а
затем и сами функции полезности:
vA(G) = 10G – G2
vB(G) = 5G – G2/4


UA(xA,G) = xA + 10G – G2
UB(xB,G) = xB + 5G – G2/4
Поиск равновесия:
Задача потребителя B:
Задача потребителя А:
 max x A  10G  G
 x A , g A 0

 x A  pG g A  I A
g  g  G
B
 A
 max I A  pG g A  10( g A  g B )  ( g A  g B ) 2
2
g A 0
 pG  10  2( g A  g B )  0,

 pG  10  2 g B  0,
gA  0
gA  0
Функция реакции потребителя А:
5  pG  g , g  5  pG
B
B
2
2
gA  
0, иначе
 max x  5G  G 2
4
 xB , g B 0 B

 xB  pG g B  I B
g  g  G
B
 A

( g A  g B )2
 max I B  pG g B  5( g A  g B ) 
g B 0
4
g A  gB


p

5

 0,
 G
2

 p  5  g A  0,
 G
2
gB  0
gB  0
Функция реакции потребителя B:
10  2 pG  g A , g A  10  2 pG
gB  
0, иначе
Равновесие при добровольном финансировании
Итак, мы получили функции реакции. Теперь нас интересует, при
каких условиях они будут безбилетничать?
5  pG  g , g  5  pG
B
B
2
2
gA  
0, иначе
10  2 pG  g A , g A  10  2 pG
gB  
0, иначе
Случай 1: За ОБ не платит никто.
Подставив gA = gB=0 в функции реакции, получим, что такое возможно при
pG  10
Случай 2: За ОБ платит только потребитель А.
При gA > 0, gB = 0 из функций реакции вытекает, что 10 > pG  3,(3)
Случай 3: За ОБ платит только потребитель B.
При gA = 0, gB > 0 из функций реакции вытекает, что pG < 3,(3)
Какой из трех типов равновесий реализуется? Это зависит от параметра
pG - или любой иной связи между объемом ОБ и его ценой, которая может
диктоваться технологией, функцией предложения ОБ, и т.п.
«Рыночный спрос» на общественное благо при
добровольном финансировании
Теперь эта кривая уже не вызывает у нас
сомнений – ведь мы аналитически вывели ее!
Парето-оптимальный объем общественного блага:
уравнение Самуэльсона
Общественно оптимальный объем
производства ОБ определяется
равенством MSB(G) = MSC(G).
Расшифруем это подробнее:
~
MSB (G ) 
~
  MPBi (G ) 
i
~
  pi (G ) 
i
~
  MRS Gi $ (G ) 
i
~
 MSC (G )
Или, коротко:
~
~
i
 MRS G $ (G ) MC (G )
i
(В нашем случае,
MSC = MC)
Уравнение Самуэльсона: смысл и варианты
Это условие характеризует общественно-оптимальный объем
производства общественного блага.
 MRS
i
G$
~
~
(G ) MC (G )
i
Применительно к разным постановкам задачи, это уравнение
может принимать разные формы, например:
 MRS
i
GX
~
~
(G )  pG (G )
i
 MRS
i
GX
~
~
(G ) MRT GX (G )
i
Независимо от формулировки, мы всегда сравниваем сумму предельных
частных выгод от потребления общественного блага с предельными
издержками его производства, покупки, и т.д….
Уравнение Самуэльсона: аналитический вывод
До сих пор, рассказывая об уравнении Самуэльсона, мы опирались
на графики, экономическую интуицию и аналогии. Однако, как и в
случае с равновесием при добровольном финансировании ОБ,
окончательную уверенность нам придаст аналитический вывод
этого условия.
Мы получим его, рассмотрев задачу на поиск Парето-оптимального
распределения в следующей экономике:
• 2 потребителя: A и B
• 2 блага: X (частное) и G (общественное)
• функции полезности: uA(xA,G), uB(xB,G) – дифференцируемые до
2 порядка, возрастающие и вогнутые по обеим переменным
• Благо G производится по технологии c функцией издержек c(G) –
выпуклая, дифференцируемая до 2 порядка
• первоначальная наделенность благом G = 0; первоначальная
наделенность благом X: wA, wB
Задача на поиск Парето-оптимальных
распределений в рассматриваемой экономике:
 max u A ( x A , G )
 x A , xB ,G 0
u B ( xB , G )  u B
 x  x  c(G )  w  w
A
B
 A B
(Последнее условие означает, что общих
запасов частного блага (денег) должно
хватить и на производство общественного
блага, и на частное потребление)
Далее, мы применим метод Лагранжа
(знак «-» перед множителями, вычитаем из меньшего большее):
L  u A ( xA , G)   (uB  uB ( xB , G))   ( xA  xB  c(G)  wA  wB )
Теперь рассмотрим систему условий первого порядка. Ввиду монотонного
возрастания uA(.), uB(.) и с(.) по всем аргументам, все условия первого
порядка будут выполняться как равенства, то есть, достаточно просто
приравнять производные лагранжиана по xA, xB, G, λ и μ к нулю.
 L u A ( x A , G )
Перепишем эту систему в более
 0
 x 
x A
компактных обозначениях:
 A
u B ( xB , G )
 L


 0
 x
xB
 B
 L u A ( x A , G )
u B ( xB , G )
dc(G )





0

G
G
dG
 G
 L
   u B ( xB , G )  u B  0

 L  w  w  x  x  c(G )  0
A
B
A
B
 

MU XA  

B

MU

X  

A
B
MU


MU

G
G  MC (G )
u ( x , G )  u
B
 B B
wA  wB  x A  xB  c(G )

MU XA  

B

MU

X  

A
B
MU G  MU G  MC (G )
u ( x , G )  u
B
 B B
wA  wB  x A  xB  c(G )

Разделив первое уравнение на
MUXA, получим систему,
характеризующую внутренние
П.О. –распределения.
A
B
 MRSGX
 MRSGX
 MC (G )

uB ( x B , G )  uB
 w  w  x  x  c (G )
B
A
B
 A
Выразим λ и μ из первых двух
уравнений системы, и подставим в
третье:
A

MU
A
B
A
X
MU

MU

MU
G
G
X * MC (G )

B
MU X

u B ( xB , G )  u B
w  w  x  x  c(G )
B
A
B
 A

 MU GA MU GB

 MC (G )

A
B
 MU X MU X
u B ( xB , G )  u B
w  w  x  x  c(G )
B
A
B
 A
