Тема 5 семестр 1

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Г.В. Аверкова
Курс «Высшая математика»
Тема 5 «Прямая на плоскости»
Вывод общего уравнения прямой на плоскости, его частные
случаи, примеры построения прямой по ее общему уравнению.
Переход от общего уравнения прямой к уравнению с угловым
коэффициентом, геометрический смысл параметров этого
уравнения. Уравнение прямой в отрезках. Составление
уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Каноническое и параметрические уравнения. Взаимное
расположение двух прямых: угол между прямыми, условие
параллельности и перпендикулярности. Вывод формулы
расстояния от точки до прямой. Пучок прямых.
Цели и задачи
 Цели:
– Рассмотреть основные понятия по теме «Прямая на
плоскости»
 Задачи:
– Рассмотреть различные способы задания прямой на
плоскости
– Определить расстояние от точки до прямой
– Рассмотреть взаимное расположение двух прямых
2
Теоретический материал
Прямая линия – алгебраическая линия первого порядка:
в декартовой системе координат прямая на плоскости задается
уравнением первой степени.
1) Общее уравнение (полное) прямой
Ax  By  C  0
n  A, B
- нормальный вектор плоскости
Нормальным вектором прямой, или вектором нормали,
называется ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.
3
Теоретический материал
Общее уравнение прямой в векторной форме
r n C  0
r
- радиус-вектор точки M ( x, y )
Направляющие косинусы нормального вектора n  A, B
определяются формулами:
4
cos .
A
A B
cos  
B
A B
2
2
2
2
Теоретический материал
2) Нормальное уравнение прямой
x cos  y sin   p  0
Нормальное уравнение прямой в векторной форме:
r  n  p  0
n   cos  , sin  
-
единичный вектор нормали
p – расстояние от начала координат до прямой
Нормирующий множитель
1

A B
2
5
2
Теоретический материал
3) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
M 0 ( x0 , y0 )
перпендикулярно вектору n  A, B
A( x  x0 )  B( y  y0 )  0
4) Уравнение прямой в отрезках
x y
 1
a b
C
a  ,
A
6
C
b   - отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy
B
Теоретический материал
5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y  kx  b
k  tg  

b
a
-
угловой коэффициент прямой
угол наклона прямой к оси Ox,
отсчитываемый в направлении,
противоположном часовой стрелке
-
6) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
с заданным угловым коэффициентом
y  y 0  k ( x  x0 )
7
s  m, n
Теоретический материал
7) Каноническое уравнение прямой
xx
y y

m
n
0
s  m, n
-
0
направляющий вектор прямой
Направляющим вектором прямой называется
ненулевой вектор, параллельный прямой
8) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
xx
y y

x x y y
1
2
8
1
1
2
1
Теоретический материал
9) Параметрические уравнения прямой
 x  x  mt,

 y  y  nt
0
0
Параметрические уравнения прямой в векторной форме:
r  r   st  0
.
9
r
- радиус-вектор точки M ( x, y )
r
- радиус-вектор точки M 0 ( x0 , y 0 )
Теоретический материал
Расстояние от точки до прямой
Если прямая задана нормальным уравнением
x cos  y sin   p  0
, то
d  d ( M 0 , l )  x0 cos   y 0 sin   p
Если прямая задана общим уравнением
Ax  By  C  0 , то
d  d (M , l ) 
0
10
Ax  By  C
0
0
A B
2
2
Теоретический материал
Угол между двумя прямыми
Если прямые заданы общими уравнениями
A x  B y  C  0 , A x  B y  C  0 , то
1
1
2
1
2
2
n n
cos(l , l )  cos(n , n ) 

n n

1
1
AA BB
A B  A B

2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
Если прямые задаются уравнениями с угловыми коэффициентами
y  k xb ,
1
y  k xb ,
1
2
2
k k
tg (l , l )  
1 k k

2
1
1
2
1
11
2
то
Теоретический материал
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
1) Перпендикулярность
AA BB 0
k k  1
2) Параллельность
A1 B1 C1


A2 B2 C2
k k
3) Совпадение
A1 B1 C1


A2 B2 C2
k    k

b    b
4) Пересечение
12
1
2
1
2
1
1
 A x  B y  C

 A x  B y  C
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
y  k x  b

y  k x  b
1
2
1
2
Ключевые понятия
 Прямая
 Нормальный вектор
 Направляющий вектор
 Угловой коэффициент
 Расстояние от точки до прямой
 Нормирующий множитель
 Угол между прямыми
 Параллельность и перпендикулярность
13
Контрольные вопросы
 Общее уравнение прямой
 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
 Уравнение прямой по двум точкам
 Каноническое уравнение прямой
 Параметрические уравнения прямой
 Уравнение прямой в отрезках
 Нормальное уравнение прямой
 Нормирующий множитель
 Расстояние от точки до прямой
 Косинус угла между двумя прямыми
 Параллельность и перпендикулярность прямых
14
Дополнительная литература
15