Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика

Лекция № 4.
ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА.
Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика
параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиальносимметричном электрическом поле.
•
Физическим обоснованием
возможности построения
аналогии прохождения
электронного луча в
электрическом поле с
постепенно изменяющимся
потенциалом и прохождения
светового луча через среду с
изменяющимся коэффициентом
преломления (оптикомеханическая аналогия) является
общее сходство между обычной
механикой и геометрической
оптикой. И для движения
материальной точки и для
светового луча известен t
1
вариационный принцип
Гамильтона:
 Ldt

t0
0
Преломление света на границе двух сред и пучка заряженных частиц
на границе потенциалов
•Покажем, что принцип Ферма
эквивалентен закону преломления
геометрической оптики Оптическая
длина, ее вариация:
L  l1n1  l2 n2
L  n1l1  n2l2  n1x  sin 1  n2x  sin  2  0
•, откуда следует закон преломления
геометрической оптики:
• Получим аналогичный закон для
электронной оптики.Так как
параллельная границе раздела
компонента скорости не меняется то
U2
sin  1

sin  2
U1
l1
sin 1 n2

sin  2 n1
V1 sin 1  V2 sin 2
Следовательно:
1
(где - ускоряющее напряжение) – закон
преломления электронной оптики. Таким
образом,
U
- аналог
показателя преломления.
n1
l2
 x  2
V1  1
+
-
+
-
+
-
2
n2
U1
+
-

V2
U2
Потенциал аксиально-симметричного электростатического поля.
U1
U2
Задание преломляющих поверхностей в виде r
сеток затруднительно, поэтому часто
z
используют диафрагмы с аксиальносимметричным распределением потенциала U r, z 
 2U
1 
 2U
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

U 
0
2
2
r
r r
z
Так как U  r, z  = U r, z  , то в результате разложения по
будут только четные степени: U r , z   b0 z   b2 z r 2  b4 z r 4  ...  b2 k z r 2 k
2
С учетом  U  2b z   12b z r 2  30b z r 4  ...
2
4
6
r 2
1 
U  2b2  z   4b4  z r 2  6b6  z r 4  ...
r r
 2U
 b0z   r 2 b2z   r 4 b4z   ...
2
z
Получим распределение потенциала в пространстве в виде:
 z  r 
1 r
1  r  IV  
k U
r
U  r , z   U  z     U ( z )  2   U IV  z  
U
z

...


1
 

 
2 
2
2 2
2
2


 3!
 k !  2 
2
4
6
2k 
Таким образом, распределение потенциала аксиально-симметричного поля
определяется значением потенциала на оси .
2k
Движение параксиальных пучков электронов в аксиальносимметричном электростатическом поле.
Для приосевых электронов
(r2/L2хар<< r/Lхар, где Lхар –
характерная длина системы),
которые еще называют
параксиальными, можно получить
уравнение траектории. Так как , то
электроны не вращаются вокруг оси
z. Другие компоненты
электрического поля определяются
из соотношений:
U
r4
  E z  U z   U z   U z 
z
4
U
r
r 3 IV
r
  Er   U   z   U  z    U   z 
z
2
3
2
Уравнение движения для электрона:
er
U z 
2
mz  eU z 
mr  eE r  
{
Получим уравнение траектории r(z) параксиального пучка:
d 2 r U ' ( z ) dr U '' ( z )


r0
2
2U ( z ) dz 4U ( z )
dz
которое называется основным
уравнением электронной оптики.
Параметры увеличения в электронной линзе.
•Основное уравнение
электронной оптики является
однородным дифференциальным
уравнением относительно r
второго порядка. Решение, как
известно, можно представитьв
виде суммы двух частных
решений:
r z   C1r1 z   C2 r2 z 
A
B r 
B
rA
A rAПредметная
плоскость
Пусть , частные решения при и
rB
Плоскость
изображени
я
Изображение в линзе.
r z   C1r1 z  - это совокупность
C1r1 z   C2 r2 z 
A
траекторий, которые пересекают
ось в точках А и В, т.е. в точке В
соберутся все электроны,
вышедшие из точки А
U a 
U b 

B 
b
a
C1r1 z   C2 r2 z 
r2 b  r1b 
r2 a  r1a 
B
Тонкие электростатические линзы.
Линейное увеличение линзы: M 
r (b)
r (a) , где
Угловое увеличение в линзе.
r(a) и r(b) расстояние до траектории от оси
r
системы. Угловое увеличение линзы,
определяемое как отношение тангенсов
'
tg

r
(b)
z
2
углов наклона траектории к оси : G 
 '
1
Из основного уравнения электронной tg 1 r (a)
оптики можно получить соотношение
2
между линейным и угловым увеличением
U (a)
линзы
Геометрические параметры линзы.
M G 
U (b)
h1
h2
Рассмотрим тонкие линзы, главные
r1 z 

плоскости которых находятся при z = a и
при z = b. Для тонких линз расстояние
между главными плоскостями много
r2 z 
b z
a
меньше фокусных расстояний (b - a) << f1,
f2 , т. е. главные плоскости сливаются.


f1 f 2
 1
l1 l2
- основное соотношение тонкой
линзы.
f1
f2
Геометрические параметры тонкой электростатической линзы.
Возьмем основное уравнение электронной
оптики в виде:
d 
dr 
r
U z 
 U  z     U z 
dz 
dz 
4

Проинтегрируем:
a
1 b r z U z 
 dr 
 dr 
U b    U a     
4a
U z 
 dz  b
 dz  a
получим:
U b 
U a  1 b U  z 

 
dz
l2
l1
4 a U z 
получим фокусные расстояния слева и справа:
1
1

f1
4 U a

a
U   z 
U z


B
z
l2
l1
С учетом основного соотношения тонкой линзы:
b
A
b
f1
f
 2 1
l1
l2
1
1
U  z 

dz

f2
4 U b  a U  z 
b
dz
Для одиночной диафрагмы с круглым отверстием :
E z1  E z 2
1

fD
4U d