Модели в виде систем одновременных уравнений

МОДЕЛИ В ВИДЕ СИСТЕМ
ОДНОВРЕМЕННЫХ
УРАВНЕНИЙ
Проблема идентификации уравнений.
Оказывается, что далеко не всякая
модель из одновременных уравнений
допускает оценивание коэффициентов
своей структурной формы!
ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ИЗ
ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Авторегрессия
Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель
C t  a0  a1Y t  u t 

Y t  Ct  I t



M ut  0

2
2
σ u t   σu

(1.1)
В приведенной форме модель (1.1) имеет вид
2  a1 
a0
a1


Ct 
ut 
I
t
1  a1 1  a1
1  a1


1
1
a0

ut 
Yt 
It 
1  a1 1  a1
1  a1 
M u t   0

2
2




σ ut
σu

Из (1.2) видно, что COV(Yt,ut)≠0
(1.2)
Для их оценивания в эконометрике построено
несколько процедур, из которых мы рассмотрим
регулярную и практичную процедуру
двухшагового метода наименьших
квадратов (ДМНК)
и процедуру
косвенного метода наименьших
квадратов (КМНК).
Эти методы, позволяют (при определённых
условиях) получать состоятельные оценки
Параметров моделей из линейных одновременных
уравнений.
ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ИЗ
ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Проблема идентификации уравнений
Пример. Имеем элементарную модель конкурентного рынка
d
t
s
t
d
t
y
y
y
a1
 a0  a1  pt 
 b0  b1  pt 

s
 yt ,

 0, b1  0

(2.1)
По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров
Что доступно для наблюдений?
Равновесная цена p*t и соответствующие ей уровни спроса и
предложения, причем
Yst=Ydt=Y*t
a0, a1, b0, b1
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Графически это выглядит так (крест Маршалла):
yt
yd
ys
E0
y*t
p*t
pt
Из приведенной формы уравнений модели видно

a0  b0
p 


b1  a1

a0 b1  b0 b1
*

yt 
b1  a1 

*
t
Система из двух уравнений и 4-х неизвестных обладает
Не единственным решением
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Вопрос. Как преодолеть эту проблему?
Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход
y td  a0  a1  pt  a2 x t 

y ts  b0  b1  pt

d
s
yt  yt ,

a1  0, b1  0

Что это дает?
yd2
yt
yd
E2
1
y*t(x1)
y*t(x2)
(2.2)
ys
E1
p*t(x1)
p*t(x2)
pt
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной
переменной xt привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.
Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо:
1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными
переменными
2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с
неидентифицируемыми
Идентифицируемая модель конкурентного рынка
y td  a0  a1  pt  a2 x t  u t 

y ts  b0  b1  pt -1  v t

y td  y ts ,

a1  0, b1  0

(2.3)
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Остаются вопросы:
1. Как определить, какие уравнения в модели являются
неидентифицируемые
2. Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название «правило
порядка» и формулирует необходимое условие идентифицируемости i-го
уравнения модели
Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как:
ai1  y1t    aii  y it    aiG  yGt 
 bi1  x1t    biK  xKt  uit
где:
G – количество эндогенных переменных в модели
K – количество предопределенных переменных в модели
(2.4)
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Необходимое условие идентифицируемости
Теорема 1. Пусть i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда
справедливо неравенство
Mi (пред)  G – Mi (энд) – 1.
(2.5)
В нём:
Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не
включённых в i-ое уравнение;
Mi (энд) – количество эндогенных
переменных модели, не включённых в i-ое уравнение.
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является
необходимым условием идентифицируемости i-го уравнения.
Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое
уравнение заведомо неидентифицируемо.
Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать
вывод о идентифицируемости данного уравнения.
Проблема идентификации уравнений
Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять
неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её
идентифицируемые уравнения.
Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от
противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно
неидентифицируемо
ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ
Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются
неидентифицируемыми
y td  a0  a1  pt  a2 x t  u t 

y ts  b0  b1  pt -1  v t

y td  y ts ,

a1  0, b1  0

Здесь:
(ydt, yst,pt) – эндогенные переменные (G=3)
(1, xt, pt-1) – предопределенные переменные (K=3)
Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1, М(пред)=G-М(энд)-1
Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2,
М(пред)>G-М(энд)-1 (1>3-2-1)
(2.3)
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Косвенный метод наименьших квадратов применяется в
случае точной идентифицируемости уравнений модели
Алгоритм применения КМНК:
1. От структурной формы модели переходят к
приведенной
2. Определяются МНК-оценки параметров
приведенной формы модели
3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляются оценки параметров структурной формы модели.
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Мы знаем связь параметров структурной и приведенной
форм моделей:
М=-АВ или АМ=-В или АМ+В=0
(2.1)
Это выражение с использованием расширенной матрицы
коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид:
M 
Ai    0
I 
(2.2)
где: I – единичная матрица размером kxk
Для оценки параметров i-го уравнения необходимо
добавить априорные ограничения и условия нормализации
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
В результате получается система алгебраических уравнений
относительно элементов матрицы Ā

M 

0
Ai  

 I 


T

0

A i Ri

aii  1



(2.3)
Доказывается, что, если i-ое уравнение точно
идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то
система (2.3) имеет единственное решение
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Задача. Построить модель потребления свинины на душу
населения у1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у2
(долл/фунт), располагаемого дохода х1 (в долл) и расходов
по обработке мяса х2 (% от цены)
Известно:
1. Потребление свинины пропорционально ее цене при этом
потребление падает с ростом цены, и пропорционально
располагаемому доходу
2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом
стоимости ее переработки
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Решение.
1. Спецификация модели. С учетом отмеченных
закономерностей спецификацию модели можно записать в
виде
y 1t  a12 y 2t  b11 x1t  u t 

y 2t  a21 y 1t  b22 x 2t  v t 

a12  0

(2.4)
В приведенной форме модель (2.4) примет вид:
y 1t  m11 x1t  m12 x 2t  ξ t 
y 2t  m21 x1t  m22 x 2t  ζt 
(2.5)
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
2. Сбор исходной информации для оценки модели
Год
Потрб
ление
y1
Цена
y2
Доход
x1
Перера
ботка
x2
1990
-3
0.6
-200
3
1991
-1
-0.4
-200
-1
1992
2
-0.2
0
-1
1993
-1
0.6
100
6
1994
3
-0.6
300
-7
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
3. Оценка
МНК параметров приведенной формы модели
y 1t  0.006 x1t  0.265 x 2t  ξ t

0.03
0.13 1.22 
y 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t  ζt 
0.0006 0.028 0.25

2
R1  0.81
R  0.85
2
2
(2.6)
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
4. Вычисление параметров структурной формы модели
4.1 Для первого уравнения модели
Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид
 1  a12  b11 0 

A  
  a21 1 0  b22 
Система алгебраических уравнений (2.3) примет вид
M 
A 1    1  a12  b11
 I 
 m11 m12 


m21 m22 
0 
 0 0 
 1
0 


0
1


(2.7)
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
После перемножения матриц в системе (2.7) получим
m11 – a12m21 - b11=0
m12 – a12m22 = 0
Решив полученную систему относительно параметров aij получим искомые
параметры для первого уравнения модели (2.4)
~ 12  0.265
m
m
12
~
 2.363
a12 
a 12  ~ 
0.112
m22
m22
~  0.006  2.363  0.0003  0.0067
b11  m11  a12 m21 b
11
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей (2.4-2.5)
Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:
 m11

M
 
 m21




1

0



a
b
21
22
A2
 1
I 

 0
 a21 m11  m21  0

 a21 m11  m22  b22  0
m12 

m22 
 0 0 
0 

1 
~ 21 0.0003
m
~
 0.048
a 21  ~ 
m11 0.006
~
~ 21 m
~ 22  a
~ 12  0.112  0.048 0.265   0.125
b 22  m
КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
В результате структурная форма модели (2.4) получила вид
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
y 2t  0.048 y 1t  0.125 x 2t  v t 

Остается проверить ее адекватность
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
В основе метода лежит понятие «инструментальных
переменных»
Пусть имеем линейную модель множественной регрессии
y t  a1 x1  a2 x 2  ...  ak x k  u t 

M u t   0


2
2
σ u t  
σ
 


COV XU  0



(3.1)
В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со
случайными возмущениями
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Определение. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются
инструментальными для модели (3.1), если они
удовлетворяют двум требованиям:
 1 
1. P lim  zT u   0
n   n

2. Существует и не вырождена матрица
1 T 
M zx  P lim  z X 
n   n

(3.2)
(3.3)
Т.е. zit коррелируют в пределе с xit и не коррелируют в
пределе со случайными возмущениями
Теорема. Процедура

~
a
zT x  z
1
T

y
(3.4)
доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1)
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Вопрос. Как построить инструментальные переменные?
Вернемся к уравнению (1.2)
pt 
 ut
b0  a0 b1
 pt 1  v t
a1
a1
a1
(1.2)
Перепишем его в виде:
pt  m0  m1 pt 1  εt
(3.5)
Если удастся избавиться от εt, т.е. найти переменную
zt  pt  εt
то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК
1. Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных
переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК
2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую
часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их
оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на
предыдущем шаге.
3. Оцениваются точностные характеристики модели
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу:
Оценить параметры структурной формы модели (2.4)
y 1t  a12 y 2t  b11 x1t  u t 

y 2t  a21 y 1t  b22 x 2t  v t 

a12  0

(2.4)
1. Оценка параметров первого уравнения
Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y2t имеет вид:
y 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t  ζt 
0.0006 0.028 0.25

R 2  0.85
2
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Оценка эндогенной переменной ŷ2t соответственно есть
y~ 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t
(3.6)
Исходные данные для оценки параметров первого уравнения модели (2.4)
Год
Пот-ние
y1
Цена
ŷ2
Доход
x1
Перера
ботка
x2
1990
-3
0.277
-200
3
1991
-1
-0.171
-200
-1
1992
2
-0.112
0
-1
1993
-1
0.702
100
6
1994
3
-0.696
300
-7
Здесь ŷ2t рассчитано по
формуле (3.6)
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
По данным столбцов 2, 3, 4 оцениваются структурные параметры первого
уравнения модели (2.4)
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
1.247
0.003 1.218

2. Уточнение СКО структурных параметров


2
~
~
 y 1t  y 1t  1.001
σu
~
~


σ
σi
σu
i
nk
σu
1.247  1.001
0.003  1.001
~
~


1
.
025

 0.002
σa12
σb11
1.218
1.218
Окончательно первое уравнение модели (2.4) имеет вид
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
1.025 0.002 1.001
