Уравнения и неравенства с параметрами

Уравнения и
неравенства с
параметрами
Линейные уравнения
Уравнение вида Ах=В, где А, В – выражения,
зависящие от параметров, а х- неизвестное,
называется линейным уравнением с
параметрами.
Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров
найти множество всех корней заданного уравнения.
Линейное уравнение исследуется по следующей схеме:
1.
Если А=0, то имеем уравнение 0·х=В. Тогда, если, кроме того, В≠0,
то уравнение не имеет решений, а если В=0, то уравнение имеет вид
0 ·х=0 и удовлетворяется при любом х, т. е. решением уравнения
будет множество всех действительных чисел.
2.
Если А≠0, то уравнение имеет единственное решение х=В/А.
Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся в
линейному, не представлено в виде Ах=В, то сначала нужно
привести его к стандартному виду и только после этого проводить
исследование.
Если для каких – нибудь значений параметров уравнение не имеет
смысла, то для этих значений параметров оно не имеет решений.
Кроме этого, уравнение может не иметь решений и при других
значениях параметров.
Пример1. Для всех значений параметра k
решить уравнение  k  4  x  2k 1
Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому проведем
его исследование по указанной выше схеме.
1. Если k+4=0, т. е. k= -4, то уравнение имеет вид 0 ·х= -7. Это
равенство ни при каком х не выполняется, поэтому уравнение
не имеет решений: хЄǾ.
2. Если k+4≠0, т. е. k≠-4, то обе части уравнения можно делить на
k+4.
Тогда х  2k 1.
k 4
Ответ : если k  4, то х ;
если k  4, то х  2k 1.
k 4
Пример2. Для всех значений параметра а
решить уравнение
3

 а 1


4

x  3а  4  0
Запишем уравнение в стандартном виде




3 а 1 x  3а  4  0

4

Схема исследования.
1) 3 а 1 0  а  4 . Тогда уравнение имеет вид 0  х  0.
3
4
Это равенство верно при любом х. Следовательно, решением уравнения
будет все множество действительных чисел : х R.
2) 3 а 1 0  а  4 . Тогда х  4 3а  4.
3
3
4
а 1
4
Ответ : если а  4 , то х R
3
если а  4 , то х  4.
3
Пример3. Для всех значений параметра p
решить уравнение  p2 1 x  p3 1.
1)p2 1 0  p  1.
При p  1 уравнение имеет вид 0  х  2. Следовательно, х .
При p  1 уравнение имеет вид 0  х  0. Следовательно, х R.
2  p 1
p

1
p
3


2  p 1
p

1
p
2
2)p 1 0  p  1. Тогда х 


.
p 1
 p 1 p 1
p2 1
Ответ : если p  1, то х ; если p  1, то х R;
2  p 1
p
если p  1, то х 
.
p 1


Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
а 1  2а имеет положительные решения.
х а а  2
Если а  2, то х .
Если а  2, то уравнение равносильно системе

2а  х  а    а 1 а  2  ,  2ах  3а2  а  2,



х а  0
 х  а.


1)Если а  0,то имеем 0  х  2  х .
2 а  2
3
а
2)Если а  0  и а  2 ,то х 
.
2а
Найдем значения параметра а, при которых х  а. Имеем :
3а2 а 2  а  а2 а 20,  а 1,


2а
 а  2.
а  0
Таким образом, если а 10
; ;2,то исходноеуравнение не имеет решения;
2 а  2
3
а
если а 10
; ;2,то оно имеет единственное решение х 
.
2а
Это решение будет положительным, если параметр а удовлетворяет неравенству
2

3
а

1
а




3а2 а 2  0 
3   0.

2а
2а
Решим полученное неравенство методом интервалов :
-2/3
0
1
а
Из найденного множества значений параметра а надо еще исключить
а=2, при котором уравнение не имеет смысла. Остальные значения
параметра а, при которых уравнение не имеет решения множеству
(-2/3;0)Ụ(1;+∞) не принадлежит.

2
Ответ : при а   ;0   1;2    2; .
3 




Пример 5. При каких значениях параметров а и b уравнение
 2ab  x  a  b 1 не имеет решений.
В данном случае необходимо и достаточно, чтобы
2a  b 0,
b 2a,
b 2a,



a  b 1 0 a  2b 1 0 a 1
или,что равносильно,
a  b / 2,
a  b / 2,

 

 b / 2  1
 b  2.


Ответ : при a  1, b  2a или a  b / 2, b  2 
Уравнения и
неравенства с
параметрами
Квадратные уравнения
Уравнение вида Ах2 +Вх+С=0, где А, В,С –
выражения, зависящие от параметров, а хнеизвестное, называется квадратным
уравнением с параметрами.
В множестве действительных чисел это уравнение
исследуется по следующей схеме.
1.
Если А=0, то имеем линейное уравнение Вх+С=0.
2.
Если А≠0 и дискриминант уравнения D=В 2 -4АС<0,
то уравнение не имеет действительных решений.
3.
Если, А≠0 и D=0, то уравнение имеет единственное
решение х=-В/2А или, как ещё говорят,
совпадающие корни х1= х2
=-В/2А.
4. Если А≠0 и D>0, то уравнение имеет два различных
корня
х  В  D
12
,
2A
Пример 6. Найти все значения параметра а, для которых квадратное
уравнение  a 1 x 2  2 2а 1 х  4а  3  0
а)имеет два различныхкорня;б )не имеет корней; в)имеет один корень.
Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому
а 1 0  а  1. Рассмотрим дискриминант уравнения
2
D  4  2a 1  4  a 1 4a  3   4  5a  4 
Согласно схеме исследования, имеем :
4
D 0,  4 5a  4  0, a  ,


а) 


5
a

1



a 1
a 1


4
D  0, a   ,
4
б)

5 a ;

a 1
5
 a 1







4
D  0, a   ,
4
в)

5 a .

a 1
5
 a 1

Ответ : если a   4 и а  1,то уравнение имеет два различных корня;
5
если a   4 ,то оно не имеет корней;
5
если a   4 ,то оно имеет один корень.
5





Пример 7. При каких значениях параметра а
уравнение  a  6  x2  2ах 1 0 имеет единственное решение.
По условию задачи уравнение необязательно является
квадратным, поэтому надо рассмотреть два случая.
1)а  6  0  а  6. При этом получаем линейное уравнение
12х 1 0, которое имеет единственное решение.
Это решение по условию задачи необязательно находить.
2)а  6. В этом случае уравнение является квадратным и
имеет единственное решение,
если дискриминант D  4a2  4(a  6)  4(a2  a  6)
равен нулю, т.е. а2  а  6  0  а  3, а  2
1
2
Ответ : приа 6;2;3
Пример 8. При каких значениях параметра а
уравнение a2 а 2 x2  (а 1)х 1 0 не имеет решений.


Снова надо рассмотреть два случая.
1)а2  а  2  0  а  2, а  1 .
1
2
При а  2 получаем линейное уравнение 3х 1 0,
которое имеет решение.
При а  1 уравнение имеет вид 0  х 2  0  х 1 0,
поэтому не имеет решений.
2)а2  а  2  0  а  2, а  1. В данном случае уравнение
1
2
является квадратным и оно не имеет решений ,
если дискриминант D  (a 1)2  4(a2  а  2)  3a2  6a  9 
 3 а 3  а 1 отрицателен, т. е.
D  0  3 а 3  а 1  0   а 3  а 1  0  а  ;1   3; .
Теперь с учетом первого случая получаем
Ответ : при а  ;1   3; .
Пример 9. При каких значениях параметров а и b
уравнение a2  а  6 x 2  (а  b  4)х  a2  4a  3  0


имеет не менее трех различных решений.
Если квадратное или линейное уравнение имеет более двух
различных решений, то оно обязательно имеет бесконечное
множество решений, совпадающее с R.
Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение имеет вид
0  х2  0  х  0  0,т.е.
а2 а 6 0
a 2,a 3
2

 1
a 3
a

b

4

0

b

a

4




 2
a 1,a 3 b 1
4
а  4а  3 0  3
Ответ : при а  3, b  1.
Пример 10. Для всех значений параметра а
решить уравнение  а 1 x2  2ах  a  2  0
1)а 1 0  а  1. Уравнение имеет вид  2х  3  0  х  3
2
2)а  1. Найдем дискриминант уравнения D  4а2  4а 1а  2   4а  8.
В зависимости от значения D возможны случаи.
D 0 4a 80 a 2,
а) 


 a  2. Уравнение не имеет решений , т.е. х .
a

1
a

1
a

1



D 0 4a 8 0
б)

 a  2. Тогда х  а  2  2.
а 1 21
a 1
a 1
D 0 4a 8 0 a 2,
в) 


Уравнение имеет два различных корня х  2а  4а 8  а  2а .
12
,
2(а 1)
а 1
a 1
a 1
a 1
Ответ : если а  1, то х  2;
3
если а  2, то х  2;
если а  2, то х ;
если а  2 и а  1, то х1,2  а  2а .
а 1
Уравнения и
неравенства с
параметрами
Квадратные уравнения.
Теорема Виета.
При решении многих задач, связанных с
квадратными уравнениями, содержащими
параметры, используются следующие теоремы.
Теорема Виета.
Если х х  корни квадратного уравнения Ах 2  Вх С  0, А  0,то
1, 2

В
х  х   ,
 1
2
А


С.
х х 
А
 1 2
Теорема 1.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2  Вх  С
были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо
и достаточно выполнение следующих условий :
D  B2  4AC  0, x  x  C  0
1 2 A
При этом оба корня будут положительными, если x  x   В  0,
1 2
A
и оба отрицательны, если x  x   В  0.
1 2
A
При решении многих задач, связанных с
квадратными уравнениями, содержащими
параметры, используются следующие
теоремы.
Теорема 2.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2  Вх  С
были действительны и оба неотрицателы или оба неположительны,
необходимо и достаточно выполнение следующих условий :
D  B2  4AC  0, x  x  C  0
1 2 A
При этом оба корня будут неотрицательны, если x  x   В  0,
1 2
A
и оба корня будут неположительны, если x  x   В  0.
1 2
A
Теорема 3.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2  Вх  С
были действительны и имели разные знаки,
необходимо и достаточно выполнение условия :
x x C 0
1 2 A
При этом условие D  B2  4AC  0 выполняется автоматически.
Пример 11. При каких значениях параметра а
уравнение x 2  2(а 1)х  a2  0 имеет действительные корни
сумма квадратов которых равна 4.
По условию уравнение должно иметь действительные корни,т.е.
D  0, и х 2  х 2  4, где х , х  корни уравнения.
1 2
1 2
Значит,
D 0
2

D

4
а

1
 4а2  8а  4,


 2 2
 х1  х2  4
2
х 2  х 2  (х  х )2  2х х  4  а 1  2а2  2а2  8а  4
1 2
1 2
12
так как по теореме Виета х  х  2 а 1 х х  а2
1 2
12
1

a

1


8а  40
2
a  2



 2
а 4
2а 8а  4  4 2а2 8а 0  

 а 0
отсюда а  0.
Ответ : при а  0
Пример 12. При каких значениях параметра m
уравнение x 2  mх  20m  0 имеет действительные корни
отличающиеся друг от друга на 9.
По условию D  0 и х  х  9 или х 2  х  9,т.е. х1 х2  9   х1 х2   81
1 2
1
2
  х1 х2   4 х1х2   81
Так как D  m2  80m, а по формулам Виета  х1 х2   m,  х1х2   20m,
то имеем
m2 80m 0

 m2  80m  81 m  81 m  1

1
2
m2 80m 81
Ответ : при m 811
; .
Уравнения и
неравенства с
параметрами
Квадратные неравенства.
Неравенства видов Ах2 +Вх+С>0 (≥0), Ах2 +Вх+С<0 (≤0)
где А, В,С – выражения, зависящие от параметров, A≠0?
а х- неизвестное, называются квадратным
неравенствами с параметрами.
Неравенство Ах2 +Вх+С>0 исследуется по следующей
схеме.
1.
Если А=0, то имеем линейное неравенство Вх+С>0.
2.
Если А≠0 и дискриминант D>0, то разлагая
квадратный трехчлен на множители, получим
неравенство А(х-х1)(х-х2)>0, где х1,х2-корни
уравнения Ах2 +Вх+С=0.
3.
Если, А≠0 и D=0, то имеем неравенство А(х-х1)2>0.
4.
Если А≠0 и D<0, то при A>0решением будет все
множество действительных чисел R; при А<0
неравенство решений не имеет.
Остальные неравенства исследуются аналогично
Часто при решении квадратных неравенств используются
следующие свойства квадратного трехчлена Ах2 +Вх+С:
1.
Если A>0 и D<0, то Ах2 +Вх+С>0 при всех х;
2.
Если A<0 и D<0, то Ах2 +Вх+С<0 при всех х.
При решении многих задач, связанных с квадратичной
функцией f(x)= Ах2 +Вх+С, А≠0, в частности, при решении
квадратных неравенств удобно использовать
схематическое изображение графика функции y=f(x)параболы, которая в зависимости от коэффициента А и
дискриминанта D имеет следующие расположения
относительно оси абсцисс.
A>0
D<0
A>0
D=0
A>0
D>0
x1
xв
A<0
D<0
A<0
D=0
xв
A<0
D>0
x1
x2
x2
Пример 13. Для всех значений параметра p
неравенство x2  2(p  1)х  p2  0.
Найдем дискриминант
D  4(p 1)2  4p2  8p  4  4  2p 1.
Возможны случаи.
1)D  0,то есть 2p 1 0  p   1. Так как коэффициент при х 2, равный 1,
2
положителен,то неравенство выполняется при всех х,т. е. х R.
2)D  0  2p 1 0  p   1.
2
2






При этом неравенство имеет вид х 2  х  1  0   x  1   0  x   ; 1     1; .
4
2
2  2



3)D  0  2p 1 0  p   1.Тогда квадратный трехчлен, расположенный в левой части
2
неравенства, имеет корни
х  p 1 2p 1, х   p 1 2p 1,
1
2
причем х  x . Разлагая этот трехчлен на множители, имеем :
1 2



 х  х  х  х   0, откуда методом интервалов находим :
1
2

x1
х  ; х1 х2 ;
x2
Заметим, что случаи 2 и 3 можно объединить.
Ответ: если p   1 ,то x  R;
2
если p   1 ,то х   ; p 1 2 p 1 
2
 p 1 2 p 1; .



