Лекция 3 - Edu.dvgups.ru

Лекция 3:
Смешанная задача для уравнения
теплопроводности.
Волновое уравнение
П 1. Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
Обозначения
Пусть
D  ( x, t ) 0  x  1,0  t  T ; T  0
D  ( x, t ) 0  x  1,0  t  T 
D
В области D задано уравнение теплопроводности:
u  2u
Lu 
 2  f ( x, t )
t x
(3.1)
u ( x, t ) - неизвестная функция, которую требуется найти. f ( x, t )- заданная
функция.
При t
(3.2)
При
(3.3)
0
ф.
u ( x, t ) удовлетворяет начальному условию:
u ( x ,0 )  s ( x )
x  0, x  1 ф. u ( x, t ) удовлетворяет граничным условиям:
u (0, t )  p(t ), u (1, t )  q(t )
Пусть функции
f ( x), s ( x), p(t ), q (t ) обладают необходимой гладкостью и
S ( 0)  p ( 0 )
S (1)  q (0)
(3.1)-(3.3) – смешанная краевая задача, поскольку в ней заданы краевые и
начальные условия. Известно, что у поставленной задачи существует
единственное решение.
Сетка
1
T
Обозначим через h  , 
, которые будем называть
N
M
соответственно шагами по переменной x и по переменной
N, M  N
Через xk  kh, t   , k  0,..., N ,  0,..., M

t
.
Через uk  u ( xk , t ) - значение функции в узле с координатами ( xk , t ) .
Обозначим через:
h  xk , t  0  k  N ,0    M 
h  xk , t  0  k  N ,0    M 
 h  h \  h
Через
yk  y ( xk , t ) обозначим сеточную функцию.
Разностная схема
Введем в рассмотрение разностный оператор:
yk 1  2 yk  yk 1
yk  
h2

Зададим на сетке
 h
и сеточную функцию
тождественный оператор
lh y  y
s( xk ), k  1,..., N  1, t  0

g h   p(t ),  0,..., M , x  0
 q(t ),  0,..., M , x  1


Тогда разностная схема будет иметь вид:
(3.4)

Lh yk 
yk  yk 1

lh y  g h на  h .
Здесь и далее
 yk 1  f k 1
на
 h.
k  1,2,..., N  1,   1,2,..., M .
Определение 3.1:
Геометрическое место узлов, в которых используются значения
функции в разностном уравнении при фиксированных значениях
и k
называется шаблоном разностного уравнения.
Разностное уравнение задачи (3.4) будет иметь следующий шаблон:


 1
Данный шаблон является двухслойным. При t  t 1 имеем нижний слой,
При t  t имеем верхний слой. При фиксированном
все множество
узлов будем называть слоем.

Устойчивость и сходимость.
Можно показать, что разностная схема (3.4) будет устойчива при
дополнительном условии:
1
(3.5)

h2

2
Из аппроксимации и устойчивости по основной теореме разностных схем
будет следовать, что приближенное решение разностной задачи (3.4)
сходится к точному решению задачи (3.1)-(3.3) со вторым порядком по
и с первым по , т.е.

u y
C ( h )
 O(h 2   )
h
Вычислительный алгоритм

y
Разрешив разностное уравнение (3.4) относительно k , получим
  1
2  1   1
(3.6)

 1
yk 
h
2
yk 1  (1 
h
2
) yk 
h
2
yk 1  f k
Так как заданы значения y k0 , y0 , yN , k  1,2,..., N  1,   1,2,..., M .то с

помощью (3.6) можно найти значения y k во всех узлах сетки.
Нахождение всех значений решения в узлах сетки производится явно, слой за
слоем, следовательно разностная схема (3.4) называется явной.
П.2. Волновое уравнение
Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу для волнового
уравнения:
 2u  2u
(3.7)
t
(3.8)
(3.9)
2

x
2
 f ( x, t ),0  x  1,0  t  T
u( x,0)  p( x), ut( x,0)  q( x) -начальные условия, 0  x  1
u (0, t )  0, u (1, t )  0
-граничные, однородные условия, 0  t  T
Будем полагать, что заданные величины f ( x, t ), p ( x), q ( x) непрерывные
функции и обладают необходимой гладкостью, причем
.
p(0)  p(1)  q(0)  q(1)  0
Известно, что решение задачи (3.7)- (3.9) существует и единственно.
Кроме того будем предполагать, что решение
D  ( x, t ) 0  x  1,0  t  T ; T  0
u ( x, t )  C 4 ( D )
Будем использовать сетки, построенные на D в пункте 1 и
соответствующие обозначения.
Заменяем в (3.7) производную u tt вторым разностным отношением по
 через оператор u, и ф. u ( x, t ) через сеточную
направлению t ,  uxx
функцию y , приходим к разностному уравнению:
yk 1  2 yk  yk 1
(3.10)

 yk  f k ,
k  1,..., N  1,  1,..., M  1
Для записи данного сеточного уравнения используется пятиточечный
шаблон.
.
Это уравнение можно разрешить явно относительно
 1
yk

2
h2

yk 1  2(1 
2
h

) yk 
2
2
h2
yk 1
yk 1  yk 1   2 f k
Для того чтобы находить значения разностного решения на  1  ом слое,
требуется иметь уже вычисленные значения искомого решения на двух
предыдущих слоях. Поэтому нужно получить разностное решение сначала
отдельно на слоях, отвечающих значениям   0 и   1 В этом нам
помогут начальные условия (3.8).
Прежде всего, используем первое начальное условие (3.8), на первом слое
задаем
0
y
k  pk , k  1,..., N  1
(3.11)
1
y
Для нахождения значений k воспользуемся равенством:
(3.12)
При
(3.13)
y1k  pk  qk 
2
2
( f k0  pk )
k  0, k  N дополним разностную схему условиями
y0  0, yN  0,   0,..., M .
Теперь разностная схема(3.10) – (3.13) полностью определена и пригодна для
нахождения решения задачи (3.7) – (3.9).
При выполнении условия

h
 1 разностная схема (3.10) – (3.13) будет
устойчива и ее решение будет сходиться к точному решению задачи
2
2
(3.7) – (3.9) со скоростью O(h   ) , т.е.
u  y h  c(h2   2 ), h  0,   0
Литература
Е.А. Волков Численные методы, М. Наука, 1987 (либо последующие
издания):
& 4-12, 15, 19-22, 24,25, 29-33.