Reshenie_trigonometricheskikh_uravnenii

Решение
тригонометрических
уравнений
a sin x  b cos x  c
Мишурова Любовь Александровна,
учитель математики
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2»
Цели урока:
Создания условий для осознанного усвоения
решения тригонометрических уравнений вида
a sinx + b cosx = c.
Формирование
навыков
самоконтроля
и
взаимоконтроля,
алгоритмической
культуры
учащихся.
Развитие
устной
математической
речи.
Обеспечение условий для развития умения решать
тригонометрические уравнения, совершенствовать
мыслительные
умения
старшеклассников:
сравнивать, обобщать и анализировать, развития
навыков обработки информации.
Развитие коммуникативных умений делового
общения сверстников. Воспитание аккуратности.
Проверка
домашнего задания
sin7x – sin x =cos4x
Решение.
sin7x – sin x =cos4x,
2sin3x cos4x - cos4x =0,
сos4x ( 2sin3x – 1 )=0,
сos4x=0 или 2cos3x -1 =0
сos4x=0
4x =П/2+Пn, n € Z;
X=П/8 +Пn/4, n € Z,
cos3x =1/2,
3x =±аrccos1/2 +2Пn, n
3x =±П/3 +2Пn, n € Z,
X =±П/9 + 2/3Пn, n € Z.
Ответ: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n € Z
Решить уравнение
sin²x - cos²x = cos4x
Решение.
sin²x-cos²x =cos4x ,
- (cos² - sin²x )=cos4x ,
-cos2x = cos²2x - sin²2x,
-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x),
-cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,
-2cos²2x – cos2x +1 = 0,
2cos²2x + cos2x -1 = 0.
Заменим сos2x на У , где |У|1
Тогда 2 у² +у -1 = 0,
D =1 - 4•2•(-1) =9,
У =1/ 2, у = -1.
Выполним обратную замену
Cos2x =1/ 2 ,
2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z,
2x ±П/3 +2Пn. n € Z,
X =±П/6+Пn, n € Z.
Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z.
cos2x = -1,
2x = П+2Пn, n € Z,
x=П/2+Пn, n € Z.
Решение уравнений учащимися
№628 (1)
№628 (3)
№629 (2)
COS X = a,
где|a|1
x =  arccos a + 2n,
nZ
arccos (– a) =  - arccos a
sin X = a, где|a|1
n
x=(–1) arcsin
n Z
a + n,
arcsin (– a) = – arcsin a
tg x = a,
где a  R
x = arctg a + n,
n Z
arctg (– a) = – arctg a
cos x = 0

x = 2 +n, nZ
cos x = 1
x =  +2n, nZ
cos x = -1
x =  +2n, nZ
sin x=0
x =  n, nZ
sin x=1

x = +2n, nZ
2
sin x = -1

x = - +2n, nZ
2
Решить уравнение
4sin²x – 4sinx – 3 = 0
2cos²x – sinx – 1 = 0
Ответы.
4sin²x - 4 sinx – 3 = 0
( -1)n+1 П/6 +Пn, n Z.

2 сos²x – sin x – 1 = 0
±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n
Z.
Уравнения:
1
sin x  ;
3
2
1
cos x   .
4
2
Уравнение
2 sin x  3 cos x  0
Уравнение 2 sin x  3 cos x  0 .
Уравнение 2 sin x  3 cos x  0 .
Поделив уравнение на cos x , получим
2tgx  3  0 , tgx 
3
3
x

arctg
 n, n  .
2 ,
2
При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x  3 cos x  0 были
поделены на cos x .
Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное,
могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни
уравнения cos x  0 корнями данного уравнения. Если cos x  0 , то из
уравнения 2 sin x  3 cos x  0 следует, что sin x  0 . Однако sin x и
cos x не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны
равенством sin 2 x  cos 2 x  1 . Следовательно, при делении
a sin x  b cos x  0, где a  0 , b  0 , на cos x (или sin x )
уравнения
получаем уравнение, равносильное данному.
Уравнение
2 sin
x

cos
x

2
.
x
x
x - sin2 x и
2
2
2
2
x
x
2
правую часть уравнения в виде 2  2 1  2(sin
 cos 2 ,)
2
2
Используя формулы sin x = 2 sin
записывая
cos
, cos x = cos2
x
x
x
x
x
x
cos  cos 2  sin 2  2 sin 2  2 cos 2 ,
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
3 sin2  4 sin cos  cos2  0. Поделив это уравнение на cos 2 ,
2
2
2
2
2
x
2 x
 4tg  1  0.
получим равносильное уравнение 3tg
2
2
x
1 .
Обозначая tg  y , получаем 3 y 2  4 y  1  0 , откуда y1  1, y2 
2
3
x 1 x
1
1
tg  ,  arctg  n, x  2arctg  2n, n  .
1)
2 3 2
3
3

x 
x
2)
tg  1,   n, x   2n, n  ;
2
2 4
2
получаем 4 sin
Ответ:
x

2
 2n, n  ; x  2arctg 1  2n, n  .
3
2 sin x  cos x  2
Данное уравнение является уравнением
вида a sin x  b cos x  c ,
(1)
где a  0 , b  0 , c  0 , которое можно решить другим способом.
Разделим обе части этого уравнения на a 2  b 2 :
a
a2  b
sin x 
2
a
a2  b
Введем вспомогательный аргумент
cos  
a

a2  b
c
cos x 
2
a 2  b 2.
, такой, что
(2)
b
, sin  
2
a 2  b 2.
Такое число существует, так как
2
2
a
b

 


 2


  1.
2
2
2
 a b   a b 
Таким образом, уравнение можно записать в виде
sin x cos   cos x sin  
sin( x   ) 
c
a b
c
2
a2  b2
2
,
.
Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.
Решить уравнение
4 sin x  3 cos x  5.
Решить уравнение 4 sin x  3 cos x  5.
Здесь a  4, b  3, c  5, a 2  b2  5
Поделим обе части уравнения на 5:
4
3
sin x  cos x  1.
5
5
4
Введем вспомогательный аргумент  , такой, что cos   ,
Исходное уравнение можно записать в виде
5
3
sin   .
5
sin x cos   cos x sin  , 1
sin( x   ) , 1

4

4
откуда x     2n, где   arccos , x   arccos  2n, n  Z
2
5
2
5
Ответ:
x

4
 arccos  2n, n  .
2
5