Общее (временное) уравнение Шрёдингера. В квантовой механике волновая функция полностью определяет состояние физической системы, это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в данный момент времени, но и определят её поведении во все последующие моменты. Это утверждение носит название принципа причинности в квантовой механике. С точки зрения математики, принцип означает, что производная по времени от определяться функции. волновой функции должна значением самой волновой Данная связь постулируется в виде: ^ ^ ( x, y, z, t ) L ( x, y, z, t ) t L - оператор Лагранжа (лагранжиан). Оператор Лагранжа связан с оператором Гамильтона следующим соотношением: ^ 1 ^ L H i ^ H - оператор Гамильтона (гамильтониан) Оператор Гамильтона постулируется: ^ H 2 2m 2 U ( x, y, z, t ) Оператор Гамильтона в общем случае не является оператором полной энергии, так как функция U ( x, y, z, t ) в общем случае не является потенциальной энергией. Принцип причинности: ( x, y, z, t ) 1 2 2 U ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) t i 2m Общее (временное) уравнение Шрёдингера: i ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t ) U ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) t 2m 2 Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Если система находится во внешнем поле, то её гамильтониан не может содержать время в явном виде. Это следует из того, что при отсутствии внешнего поля, или в постоянном внешнем поле, все моменты времени равнозначны. Стационарные состояния можно определить, как состояния, в которых система обладает определённым значением энергии. • В стационарных состояниях гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. Этот факт позволяет разделить координатную и временную части волновой функции и получить уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. Воспользуемся уравнением Шредингера: ^ ( x, y, z , t ) i H ( x, y , z , t ) t Для стационарных состояний гамильтониан совпадает с оператором полной энергии 2 2 H U ( x, y , z ) 2m Действие оператора полной энергии на собственные волновые функции сводится к умножению собственных значений энергии на собственную волновую функцию. ^ H n ( x, y, z, t ) En n ( x, y, z, t ) Тогда n ( x, y, z, t ) i En n ( x, y, z, t ) t Производим разделение переменных: n ( x, y, z , t ) n ( x, y , z , t ) En t i n ( x, y, z , t ) En i t n ( x, y , z , t ) iE n t c ( x, y , z ) Интегрируем n n ( x, y, z , t ) i n ( x, y, z, t ) n ( x, En i t y, z )e Подставим волновую функцию в уравнение Шредингера, ^ H n ( x, y, z , t ) En n ( x, y, z , t ) предварительно развернув оператор Гамильтона 2 2 n ( x, y , z )e 2m En n i En t U ( x, y , z ) n ( x, y , z )e i En t En i t ( x, y , z )e ; 2 2 n ( x, y, z ) U ( x, y, z ) n ( x, y, z ) En n ( x, y, z ) 2m Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний: 2 2 2m ( E U ) 0