9. Поверхности. Взаимное пересечение поверхностей

реклама
УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
АВТОРЫ
Понетаева Наталия Христофоровна
Нестерова Тамара Владимировна
Морозова Наталья Николаевна
Кириллова Татьяна Ивановна
Лекции 6 -7- 8- 9:
Поверхности. Взаимное пересечение
поверхностей
•
•
•
•
•
•
•
•
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. МЕТОД
СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
• ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. МЕТОД
СЕКУЩИХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ,
ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ
ЛИНИЯ, ПЕРЕМЕЩАЮЩАЯСЯ В
ПРОСТРАНСТВЕ, НАЗЫВАЕТСЯ
ОБРАЗУЮЩЕЙ
ЛИНИЯ, ПО КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, НАЗЫВАЕТСЯ
НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
Образующая
Направляющая
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ –
X2 + Y2 + Z2 =1
2. ГРАФИЧЕСКИЙ:
а. очерк
б. каркас
в. определитель
ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ
ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ
СЛЕД НА ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ОГИБАЮЩЕЙ ЗАДАННУЮ
ПОВЕРХНОСТЬ
Поверхность
П1
Огибающая
цилиндрическая
поверхность
Очерк поверхности
КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ
• ТОЧЕЧНЫЙ
КАРКАСмножество точек
принадлежащих
поверхности.
В этом случае
поверхность
аппроксимируется
поверхностью
многогранника.
ЛИНЕЙЧАТЫЙ
КАРКАС
Каркас множество
линий, заполняющих
поверхность так, что
через каждую точку
поверхности проходит
одна линия каркаса
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СОВОКУПНОСТЬ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЬ И
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ОПИСЫВАЮЩАЯ
ИХ ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
k
Ф(L,k)(A)
L
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Линейчатые
Развертываемые
Нелинейчатые
Неразвертываемые
Поверхности
с плоскостью
параллелизма
С постоянной
образующей
С переменной
образующей
П
Гранные
Торсовые
Винтовые
поверхности
Тор
Сфера
Гиперболоид
Параболоид
Циклические
Каналовые
Гранные поверхности
Призма - образуется при
движении прямолинейной
образующей по ломаной
направляющей.
L – образующая,
m – направляющая
Призма прямая, если
образующие
перпендикулярны
основанию.
Призма правильная , если в
основании правильный
многоугольник.
L2
m1
Гранные поверхности
Пирамида – образуется при движении
прямолинейной образующей по
ломаной направляющей.
L – образующая, m - направляющая
Все образующие имеют общую точку,
которая называется – вершина
пирамиды.
Пирамида прямая, если высота
перпендикулярна основанию.
Пирамида правильная, если в
основании правильный
многоугольник
L2
m2
m1
L1
ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
I2
m2
m - ОБРАЗУЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТИ
I - ОСЬ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Все точки движутся по окружностям которые называются ПАРАЛЛЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ
Самая маленькая параллель ГОРЛО ПОВЕРХНОСТИ
Самая большая параллель -
I1
m1
ЭКВАТОР ПОВЕРХНОСТИ
Очерк поверхности на фронтальной
плоскости - ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН m
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
i2
L2
1.
2.
i – ось вращения
L – прямолинейная
образующая
Определитель поверхности
цилиндра вращения
Ф(L,i)(A)
i1
L1
ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ
i2
S
L2
i1
L1
1. i – ось вращения
2. L – прямолинейная
образующая
3. S – вершина конической
поверхности
Определитель поверхности
Ф (L, I, S)(A)
ПОВЕРХНОСТЬ CФЕРЫ
m2
i2
э2
э1
m1
i1
I – ось вращения
m – криволинейная
образующая
(окружность)
Определитель поверхности
Ф(m, i) (A)
Очерковые линии сферы
называются
экватор э
главный меридиан m
1.
2.
Нелинейчатые поверхности
Сфера
ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ОТКРЫТЫЙ ТОР
m2
R
i2
r
R+r
1.
2.
m1
R
i1
R-r
i – ось вращения
m – образующая
(окружность)
Определитель
поверхности
Ф(m, i) (A)
r<R
Тор открытый
ТОРОВАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ
ЗАКРЫТЫЙ ТОР
i2
m2
r
R
R
1. i – ось вращения
m1
R+r
i1
2. m – образующая
(окружность)
Определитель
поверхности
Ф(m, i) (A)
r=R
Тор закрытый
ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
САМОПЕРЕСЕКАЮЩИЙСЯ ТОР
(тор - бочка)
i2
r
m2
R
m1
R
i1
1. i – ось вращения
2. m – образующая
(окружность)
Определитель
поверхности
Ф(m, i) (A)
r>R
Тор самопересекающийся
СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Сечение поверхности –
линия пересечения
поверхности и плоскости.
СЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТИ
• Сечение гранной поверхности – многоугольник,
который строится по точкам пересечения секущей
плоскости и ребер многогранника
32 Ξ 42
12 Ξ 22
11
21
31
41
СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ
1. abi – окружность
aп2
12
i2
2. b^ i – эллипс
22
3. g ll i - прямоугольник
L2
bп2
i1
L1
gп1
11
21
СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ
сечение цилиндра
22
52
42
эллипс
12
32
521
bп2
41 31 21
51
4
11
211
411
311
1
412 312 22
3
121
bп21
2
5
1
41
31
21
СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ
gп2
aп2
L2
i2
1. abi – окружность
S2
bп2
i1
L1
2. b^ i – эллипс
3. g – треугольник
g проходит через вершину S
СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ
4. m – гипербола
m ll I
5.h – парабола
h ll L
i2
hп2
S
L2
mп 1
i1
L1
СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ
Сечение сферы плоскостью – окружность, которая
может проецироваться как:
прямая линия
окружность
эллипс
СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ
12
gп2
52
bп2
42
22
32
αп2
31
41
51
11
21
311 4 1 511
1
СЕЧЕНИЕ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ
эллипс
Rк
Rк
22
αп2
1122
22
42
3232
3311
41
1
112
2121
31111
3
411
121
22
321 421
221
42
12
32
31
41
11
3
21
311
4
1
2
411
31
41
Торсовые поверхности
Цилиндрическая поверхность
m – направляющая
m2
криволинейная
l2
L – образующая
прямолинейная
Образующие
параллельны
X
l1
m1
Торсовые поверхности
Коническая поверхность
S2
m2
m – направляющая
криволинейная
L – образующая
l2
прямолинейная
X
S – вершина
поверхности
l1
m1
S1
Торсовая поверхность
m – направляющая
m2
криволинейная
l2
прямолинейная
X
l1
m1
L – образующая
L касается m
Поверхности c плоскостью параллелизма
Цилиндроид
m – направляющая
п2
l2
криволинейная
n – направляющая
m2
криволинейная
 - плоскость
n2
параллелизма
X
L – образующая
m1
прямолинейная
Образующие параллельны
n1
l1
п1
плоскости 
Поверхности c плоскостью параллелизма
Коноид
L2
m – направляющая
n2
m2
п2
криволинейная
n – направляющая
прямолинейная
X

L – образующая
прямолинейная
m1
n1
L1
п1
Поверхности c плоскостью параллелизма
Косая плоскость (гиперболический параболоид)
m2
n2
L2
X
n1
m1
L1
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Прямой и наклонный геликоид –
Частный случай поверхности
коноида (прямолинейная
образующая, две направляющие –
прямая линия и кривая линия)
Криволинейной направляющей является
винтовая линия, цилиндрическая или
коническая
Прямолинейная направляющая – ось
винтовой линии
Прямой геликоид
Наклонный геликоид
ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
• Линия пересечения поверхностей совокупность
точек
одновременно
принадлежащих двум пересекающимся
поверхностям
• Характер линии пересечения зависит от
вида поверхностей
- Линия пересечения многогранников
ломаная линия
- Линия пересечения многогранника и
поверхности вращения - сочетание
плоских кривых линий (парабола,
гипербола, эллипс и т.д.)
- Линия пересечение двух
поверхностей второго порядка пространственная кривая линия
Алгоритм решения задач
1. Анализ заданных поверхностей
- Определить заданные поверхности
- Определить наличие проецирующей
поверхности (цилиндр и призма)
На плоскости проекций, к которой проецирующая
поверхность перпендикулярна, проекция линии
пересечения совпадает с очерком проецирующей
поверхности
2.
Определить характерные
линии пересечения
точки
- точки пересечения очерков поверхностей
- высшие и низшие, правые и левые точки
поверхностей
- наиболее удаленные и приближенные к
плоскостям проекций точки
- точки принадлежащие очерковым линиям
поверхностей
ВЫБОР СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
- вспомогательные секущие плоскости
- вспомогательные секущие концентрические
сферы
- вспомогательные секущие эксцентрические
сферы
Способ вспомогательных секущих
плоскостей
1. Провести вспомогательную секущую плоскость
частного положения.
В сечении поверхностей должны получаться простые
геометрические фигуры – окружности, треугольники,
прямоугольники.
Построить сечения заданных поверхностей
вспомогательной секущей плоскостью.
3. Определить точки пересечения построенных
сечений. Это искомые точки линии пересечения
поверхностей.
Повторение пунктов 1, 2, 3 – n раз
2.
.
4. Соединить линией, полученные точки
пересечения.
5. Определить видимость линии пересечения
и
очерковых
линий
заданных
поверхностей.
Задача.
Построить линию
пересечения
заданных
поверхностей
способом
вспомогательных
секущих
плоскостей
32
42
72
12
52
62
22
02
Rc
21
11
01
31
п1
41
61
71
bп1
Rc
51
 п1
Построить линию
пересечения
заданных
поверхностей
способом
вспомогательных
секущих
плоскостей
30
Задача.
Цилиндр является
фронтально
проецирующей
поверхностью, так
как все его
образующие
фронтально
проецирующие
прямые.
Линия пересечения
заданных
поверхностей на
фронтальной
плоскости совпадает
с очерком цилиндра
12
Характерные точки
- точки пересечения
очерков точки 1 и 2
22
11
21
12
Характерные точки
- низшие точки
очерка цилиндра
9 и 10
12
12
22
11
22
11
21
22
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
21
101
21
12
• Характерные
точки
- крайняя левая
точка очерка
цилиндра
π2
52Ξ62
12
22
11
21
22
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
21
101
R5
R3
bп2
Промежуточные
точки
-3и4
Промежуточные
точки
R7
-7и8
72 Ξ 82
81
71
п2
СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ
СЕКУЩИХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ
СФЕР
• ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП
СФЕРА С ПОВЕРХНОСТЯМИ
ВРАЩЕНИЯ, ОСИ КОТОРЫХ
ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР СФЕРЫ,
ПЕРЕСЕКАЕТСЯ ПО ОКРУЖНОСТЯМ,
ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ОСИ
ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
УСЛОВИЯ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
СПОСОБА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
1. ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
2. ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПЕРЕСЕКАЮТСЯ
3. ПОВЕРХНОСТИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ПЛОСКОСТЬ
СИММЕТРИИ
Построить линию пересечения поверхностей
Минимальная сфера
вписана в большую
поверхность R min
12
R min
32
А2
22
12
R min
32
А2
42
22
12
R min
32
А2
42
52
22
12
R min
32
А2
42
52
22
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
•
ЦИЛИНДРЫ С
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ОСЯМИ пересекаются
12
22
по образующим (2
прямые линии)
21
11
•
КОНУСЫ С ОБЩЕЙ ВЕРШИНОЙ
пересекаются по двум образующим (2
прямые линии)
ЕСЛИ ДВЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ОДНОЙ
ПЛОСКОЙ КРИВОЙ, ТО ЕСТЬ И ВТОРАЯ
ПЛОСКАЯ КРИВАЯ ПО КОТОРОЙ ОНИ
ПЕРЕСЕКАЮТСЯ
• ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ИМЕЮЩИЕ ДВЕ ТОЧКИ КАСАНИЯ,
ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ДВУМ КРИВЫМ 2
ПОРЯДКА, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ
ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ,
СОЕДИНЯЮЩУЮ ТОЧКИ КАСАНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндр – диаметр 30 мм, длина 70 мм
35
Конус - касается цилиндра, высота конуса 65
12
22
О2
13Ξ23
• ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ОПИСАННЫЕ ИЛИ ВПИСАННЫЕ В
ДРУГУЮ ПОВЕРХНОСТЬ 2
ПОРЯДКА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО
ДВУМ КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ
ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ, СОЕДИНЯЮЩУЮ
ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ
КАСАНИЯ
Сфера диаметром 40 мм
Цилиндр диаметром 40мм
Длина 80 мм
Конус диаметром 80мм
Высота 70 мм
32
40
12
С2
О2
42
22
Построить линию пересечения
поверхностей
12
22
В2
С2
O100
O100
А2
О2
Скачать