5. Числовые характеристики слу

Теория вероятностей и
математическая статистика
Занятие 5.
Основные числовые характеристики
случайных величин
Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,
Шерстнёва Анна Игоревна
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретная случайная величина:
принимает отдельные, изолированные значения.
X
p
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
Непрерывная случайная величина:
возможные значения целиком заполняют некоторый
промежуток.
F(x) = p(X < x)
функция
распределения
f (x) = F’(x)
плотность
распределения
1. Математическое ожидание
Возможные значения случайной величины
сосредоточены вокруг некоторого среднего
значения этой случайной величины.
Для характеристики этого среднего значения и
служит математическое ожидание.
Для дискретной и непрерывной случайной
величины математическое ожидание определяется
по-разному.
Определение. Математическим ожиданием
дискретной случайной величины Х называют
сумму произведений всех возможных значений
этой случайной величины на соответствующие им
вероятности. Обозначается М(Х).
Пусть
X
p
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn
Если случайная величина Х принимает бесконечное
множество значений, то

M ( X )   xi pi
i 1
Вероятностный смысл математического ожидания:
математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому значений случайной величины.
Пусть n – количество испытаний (достаточно большое).
Пусть случайная величина X принимала значения
x1, x2 ,, xk соответственно m1, m2 ,, mk раз.
m1  m2  ...  mk  n
Найдём среднее арифметическое всех значений:
x1m1  x2 m2  ...  xk mk x  m1  x  m2  ...  x  mk 
 1
X
2
k
n
n
n
n
x1  p1  x2  p2  ...  xk  pk  M ( X )
Определение. Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х, возможные
значения которой принадлежат отрезку [a, b],
называется определённый интеграл
b
M ( X )   xf ( x )dx
a
f(x) – плотность распределения случайной величины
Если возможные значения случайной величины
распределены по всей оси Ox, то
M(X ) 

 xf ( x)dx

Пример.
2. Дисперсия
X
– 0.1
0.1
p
1/2
1/2
Y
– 100
100
p
1/2
1/2
1
1
M ( X )  0.1   0.1   0
2
2
1
1
M (Y )  100   100   0
2
2
M ( X )  M (Y ), но X и Y сильно отличаются
Нужна оценка рассеяния возможных значений
случайной величины от математического ожидания.
Вопрос: можно ли для оценки рассеяния возможных
значений случайной величины вычислить отклонения
каждого из этих значений от математического ожидания и затем найти их среднее?
X–М(Х) x1–М(Х) x2–М(Х)
p
p1
p2
…
xn–М(Х)
…
pn
M ( X  M ( X )) 
( x1  M ( X ))  p1  ( x2  M ( X ))  p2  ...  ( xn  M ( X ))  pn 
x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn  M ( X )  ( p1  p2  ...  pn ) 
M (X )
M(X )  M(X )  0
1
(X–М(Х))2
(x1–М(Х))2
(x2–М(Х))2
…
(xn–М(Х))2
p
p1
p2
…
pn
Определение. Дисперсией случайной величины Х
называют математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины Х от её
математического ожидания:
D( X )  M [ X  M ( X )]2
1. Дискретная случайная величина
D( X )  M [ X  M ( X )]
2
(X–М(Х))2
(x1–М(Х))2
(x2–М(Х))2
…
(xn–М(Х))2
p
p1
p2
…
pn
D( X )  ( x1  M ( X )) 2 p1  ( x 2  M ( X )) 2 p2 
...  ( xn  M ( X )) pn
2
D( X )   ( xi  M ( X )) pi
2
i
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2
Пример.
Способ 1.
Х
2
5
7
р
0.2
0.5
0.3
0
4
25
49
(Х–М(Х))2 9
Х2
4
D( X )   ( xi  M ( X )) pi
2
i
M ( X )  2  0.2  5  0.5  7  0.3
M(X )  5
(2  5)2  ( 3)2  9
2
2
(5  5)  0  0
(7  5) 2  22  4
D( X )  9  0.2  0  0.5  4  0.3
Способ 2.
D( X )  3
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2
D( X )  4  0.2  25  0.5  49  0.3  52 
 0.8  12.5  14.7  25  3
D( X )  3
2. Непрерывная случайная величина
По определению
D( X )  M [ X  M ( X )]2
b
Но M ( X )   xf ( x )dx 
a
b
2
(
x

M
(
X
))
f ( x )dx 
M [ X  M ( X )]  
2
a
b
D( X )   ( x  M ( X )) 2 f ( x )dx
a
b
D( X )   x 2 f ( x )dx  [ M ( X )]2
a
3. Среднее квадратическое отклонение
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют корень из её
дисперсии:
 ( X )  D( X )
4. Начальный момент порядка k
k  M ( X )
k
 k   xik  pi – дискретная
i

 k   x k  f ( x )dx – непрерывная

Начальный момент первого порядка:
1  M ( X ) – математическое ожидание
5. Центральный момент порядка k
 k  M ( X  M ( X )) k
 k   ( xi  M ( X )) k  pi
– дискретная
i

 k   ( x  M ( X )) k  f ( x )dx
– непрерывная

Центральный момент второго порядка:
 2  M ( X  M ( X )) 2 – дисперсия
6. Мода
Для дискретной случайной величины мода – это
наиболее вероятное по сравнению с двумя
соседними значение.
0,24 < 0,36 > 0,20
Мода: 20
Для непрерывной случайной величины мода –
значение, при котором плотность распределения
f(x) достигает максимума.
У случайной величины может быть несколько мод.
Распределения с одной, двумя или большим числом мод называются соответственно унимодальными, бимодальными или мультимодальными.
7. Медиана
такое число m, для которого одинаково вероятно,
окажется ли случайная величина меньше m или
больше m, то есть
p( X  m)  p( X  m)  0.5
Геометрически медиана – это абсцисса точки, в
которой площадь, ограниченная плотностью
распределения, делится пополам.
Площадь всей фигуры: 1
½
½
8. Квантиль уровня р
такое число хр, что p( X  x p )  p
F(x) – функция распределения
 F(xp )  p
x p  F 1 ( p )
F-1(x) – функция, обратная к функции распределения
Квантиль уровня 0.5 – это медиана.
Квантили уровней ¼, ½, ¾ называют соответственно
первым, вторым и третьим квартилями.
Квантили уровней 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9 называют
децилями.
Квантили уровней 0.01, 0.02, 0.03, …, 0.99 называют
процентилями.
Основные дискретные распределения
1. Биномиальное распределение
Возможные значения:
k = 0, 1, 2, …, n
p(k) = pk(1 – p)n-k Cnk
р – параметр распределения
М(Х) = np
D(Х) = npq
2. Распределение Пуассона
Возможные значения:
p( k ) 
k e 
k!
k = 0, 1, 2, …, n
λ – параметр распределения
M ( X )  D( X )  
3. Геометрическое распределение
Возможные значения:
p(k) = (1 – p)k-1p
все натуральные числа
k = 1, 2, 3, …
р – параметр распределения
q
1
M ( x )M
 (X ) 
p
p
D( X ) 
q
p2
4. Гипергеометрическое распределение
Возможные значения: k = 0, 1, 2, …, min (M,n)
p( k ) 
k
CM
C Nn kM
C Nn
nn MM
MM((XX))
NN
N, M, n – параметры
распределения
MM ((NNMM)) ((NNnn)) nn
DD((XX))
NN22 ((NN11))
Основные непрерывные распределения
1. Показательное распределение
x0
 0,
f ( x )    x
e , x  0
M
M((XX)) 
11

D
D((XX )) 
11
22
λ – параметр распределения
2. Равномерное распределение
1/(b–a)
f(x)
ab
a
Mb( X ) 
2
a, b – параметры распределения
ab
M(X ) 
2
(b  a ) 2
D( X ) 
12
D( X
3. Нормальное распределение
1
f ( x) 
e
 2
( x  a ) 2
2 2
a, σ – параметры распределения
f(x)
a
MM( X
( X) )a a
DD
(X
( X) )
22
Контрольные вопросы
1. Как определяется математическое ожидание дискретной
случайной величины?
2. Как определяется математическое ожидание непрерывной
случайной величины?
3. Какой вероятностный смысл математического ожидания?
4. Что такое дисперсия случайной величины?
5. Что характеризует дисперсия?
6. Как определяется дисперсия дискретной случайной
величины?
7. Как определяется дисперсия непрерывной случайной
величины?
8. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной
величины?
9. Как определяются начальные моменты порядка k ?
10.Чем является начальный момент первого порядка?
Контрольные вопросы
11. Как определяются центральные моменты порядка k ?
12. Чем является центральный момент второго порядка?
13. Что такое мода дискретной случайной величины?
Непрерывной?
14. Как определяется медиана случайной величины?
15. Приведите геометрическую иллюстрацию медианы.
16. Что такое квантили уровня p ?
17. Чему равны математические ожидания и дисперсии
основных дискретных и непрерывных распределений?