C 1 , … , C j , … , C k

Лекция 10. Курс: “Проектирование систем: Структурный подход”
Каф.”Коммуникационные сети и системы”, Факультет радиотехники и кибернетики
Московский физико-технический институт (университет)
Марк Ш. ЛЕВИН
Институт проблем передачи информации, РАН
Email: mslevin@acm.org / mslevin@iitp.ru
ПЛАН:
1.Многокритериальное принятие решений: *функция полезности,
* метод парных сравнений,
*метод уровней несравнимости (эквивалентности),, *метод порогов несравнимости (ELECTRE),
*метод аналитических иерархий (AHP) и др.
2.Интегрирование результатов, полученных на основе нескольких методов (или систем критериев)
Сент. 24, 2004
Примеры функции полезности (свертки)
Альтернативы A=(A1, … , Ai , … , An) и критерии C=(C1, … , Cj , … , Ck),
 Ai вектор оценок zi = ( zi1 , …, zij , … zik ) , j вес для критерия j
Арифметическая Fa = kj=1
Геометрическая Fg =
j zj / zjb
 kj=1
Квадратичная Fq = kj=1
j
(zj / zjb)
j (zj / zjb)2
Гармоническая Fh = 1 / ( kj=1 j (zj / zjb) )
Степенная
Общий случай
Fp = kj=1 j (zj / zjb)k
Fo = kj=1
j  (zj / zjb)
где  является дифференцируемой функцией,
zjb является базовой оценкой
Иллюстративный численный пример для многокритериального ранжирования
Математика Спорт
C1
C2
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
10
8
9
6
7
9
10
8
9
9
8
7
6
7
Fa
Fq
18 / 1
17 / 2
18 / 1
14 / 5
14 / 5
15 / 4
16 / 3
1, 3
Fa
2
7
Подход
Парето
164 / 1
145 / 2
162 / 1
100 / 4
98 / 4
117 / 3
149 / 2
1, 3
Fq
2, 7
6
6
4, 5
4, 5
1
2
1
3
3
3
1
Подход
Парето
1, 3, 7
2
4, 5, 6
Подход Парето для предыдущего примеры
C2
A3 лучше A2
A3 лучше A5
A1 лучше A4
A7 лучше A5
A2 лучше A4
A2 лучше A6
A3 лучше A6
A3 лучше A4
A1 лучше A5
A7 лучше A6
A2 лучше A5
A2
A3
A7
10
A6
A5
A1
A4
5
0
5
C1
10
Метод уровней «эквивалентности» (несравнимости): Исходные альтернативы
Идеальное
Решение
C2
A3
A10
A1
Ao
A6
A7
A4
A11
A15
A12
A14
A8
A2
A5
A9
A13
A16
0
C1
Метод уровней «эквивалентности» (несравнимости): Парные сравнения
Идеальное
Решение
C2
A3
A10
A1
A6
A7
Ao
A2
A4
A11
A15
A16
0
A12
A14
A8
Парные сравнения:
1.Доминирование
2.Несравнимость
A5
A9
A13
C1
Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): уровни несравнимости
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): расширение уровней несравнимости
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): оценивание новых альтернатив
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Иллюстрация для арифметической функции полезности: уровни несравнимости
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Иллюстрация для квази-квадратичной функции полезности: уровни несравнимости
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Иллюстративный промер для “сложной” ситуации уровней несравнимости
C2
Идеальное
Решение
Ao
0
C1
Метод порогов несравнимости (метод ELECTRE), B. Roy
Альтернативы A=(A1, … , Ai , … , An) и критерии C=(C1, … , Cj , … , Ck),
 Ai вектор оценок zi = ( zi1 , …, zij , … zik ) , j вес для критерия j
 пары Au, Av  A вычислить:
Коэффициент “согласия”
uv = ( 1 / kj=1 j ) (j  X (u, v))j
Коэффициент “несогласия”
uv = 0 если | Y (u, v) | = 0 иначе
maxj (( j | zuj – zvj | ) / ( dj kj=1 j ))
X (uv) = { j | zuj  zvj }, Y (uv) = { j | zuj < zvj }, dj размер
шкалы
ПРАВИЛО: Au лучше Av если ( uv  p ) & ( uv  q )
где p, q - пороги (например, p = 0.9 и q = 0.2 )
Иллюстративный численный пример для многокритериального ранжирования
C1
0.1
C2
0.1
C3
0.15
C4
0.4
C5
0.25
критерии {j}
веса  j
u = 1, v = 3
A1
A2
A3
A4
A5
10
1
0
10
7
8
9
9
2
7
8
7
10
14
5
10
5
6
3
8
4
3
1
2
3
dj
11
8
10
8
4
A1
?
A3
X(1,3) = { 1,4,5 }
Y(1,3) = { 2,3 }
13 = ( 1 / 1 ) (0.1 + 0.4 + 0.25) =0.75
13 = max { ( 0.1 (9-8) / 8) , (0.15 ( 10 – 8) / 10 ) =
max { 0.125 , 0.03} = 0.125
Версия результата 1: p = 0.7 q = 0.3  A1 лучше A3
Версия результата 2: p = 0.8 q = 0.2  несравнимы
Метод аналитических иерархий AHP (T.L. Saaty)
J* (= 1b1+ 2b2)
Результирующий уровень
ПРОЦЕСС
СНИЗУ-ВВЕРХ
B1 (= 1c1+ 2 c2)
C1
B2 (= 3c3+ 4 c4+ 5c5)
Уровень интеграции
C2
C3
C4
C5
Базовый уровень
Прикладной пример для жизненного цикла
Проектные
параметры
продукта
Параметры
удобства
тестирования
Удобство для
производства
Удобство для
Удобство для
транспортирования
marketing
Удобство для
техобслуживания
Интегрирование(агрегирование) результатов
Предыдущий пример:
1, 3
Fa
2
1, 3
Fq
7
2, 7
6
6
4, 5
4, 5
Интуитивная интеграция:
1, 3
2,7
4, 5, 6
Подход
Парето
1, 3, 7
2
4, 5, 6
Подходы к интеграции (агрегированию)
1.Правила типа «голосования»
2.Правила типа «голосования» & удаление “маргинальных результатов”
3.Многокритериальные методы, рассмотренные выше
4.Функции принадлежности (как в размытых множествах)
Подход интегрирования: Пример использования ELECTRE (М.Ш. ЛЕВИН, DSS COMBI)
q
(1,1)
(0,1)
Сетка порогов
(0,0.4)
СХЕМА РЕШЕНИЯ:
1.Метод ELECTRE
(для каждой пары порогов)
2.Ранжирование (получение уровней)
3.Агрегирование результатов
(0,0.1)
(0,0)
(0.6,0)
(0.9,0) (1,0)
p