Сходимость интерполяционного процесса

Вычислительная математика. Лекция № 3.
Некоторые вопросы теории
интерполяции функций.
Сплайн-интерполяция.
к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич
e-mail: utkin@icad.org.ru, pavel_utk@mail.ru
(926) 2766560
Данная лекция доступна по адресу:
http://mipt.ru/education/chair/computational_mathematics/study/materials/compmath/lectures/
20 сентября 2014 г., МФТИ, Долгопрудный
Сходимость
интерполяционного процесса
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
2
Что будет при увеличении числа узлов интерполяции?


Сетка на  a, b : N = xi i 0 : a  x0  x1  ...  xN  b
N
Рассмотрим последовательность сеток с возрастающим
числом узлов:
 




0
1
1
N
N
N
0= x0  , 1= x0  , x1  , ... , N = x0  , x1  ,..., xN  , ...
Пусть U(x) определена и непрерывна на [a,b]. Построим
последовательность интерполяционных многочленов для
функции U(x) по ее значениям в узлах сетки ΩN: LN[U(x)].
 
 
Поточечная сходимость в т. x *   a, b  :  lim LN U x *   U x *


N 


Равномерная сходимость на  a, b  : lim max U  x   LN U  x    0
N  x a,b
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
3
Пример С.Н. Бернштейна: U(x) = | x |, равн. сетка
Колебательное
свойство
интерполяционных
полиномов
Нет сходимости ни в
одной точке, кроме
–1, 0, 1.
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
4
U(x) = | x |, равномерная сетка vs оптимальная сетка
Возможное решение
проблемы – сетка из
нулей полинома
Чебышева
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
5
Пример Рунге, U(x) = 1 / ( 1 + x2 ), равномерная сетка
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
6
Утверждения о сходимости интерполяционного процесса
Утверждение 3.1. Для любой последовательности сеток
ΩN, найдется непрерывная на [a,b] функция U(x) такая,
что последовательность интерполяционных многочленов
LN[U(x)] не сходится к U(x) равномерно на [a,b].
Утверждение 3.2. Если U(x) непрерывна на [a,b], то
найдется такая последовательность сеток, для которой
соответствующий интерполяционный процесс сходится
равномерно на [a,b].
Утверждение 3.3. Если U(x) имеет ограниченную производную на отрезке, то интерполяционный процесс, в
котором за узлы принимаются корни многочленов Чебышева, сходится равномерно к U(x).
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
7
Обусловленность задачи
интерполяции
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
8
Постановка задачи
  max  i
i
+ΔN
–ΔN
+ΔN–2
–ΔN–2
+Δ0
–Δ0
+Δ1
–Δ1
+Δ2
–Δ2
+ΔN–1
–ΔN –1
LN  x   интерп.
полином по данным
с ошибками
LN  x   "идеальный"
интерп. полином
RN  x   U  x   LN  x   U  x   LN  x   LN  x   LN  x  
 U  x   LN  x   LN  x   LN  x   RN  x    p
Знаем оценку Оценить
Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция.
9
Константа Лебега
x  xi
 p  LN  x   LN  x    ck  x  uk   ck  x  uk , ck  x   
k 0
k 0
i 0 xk  xi
N
N
N
i k
Константа Лебега
p 
N
 c  x  u
k 0
k
k
 uk  
N

k 0
N
i
ck  x   K , K  max  ck  x 
x a,b 
k 0
Пример 3.1. Константа Лебега для случая линейной интерполяции.
L1  x  
1
 ck  x  uk  u0
k 0
x  x0
x  x1
 u1
, x0  a, x1  b
x0  x1
x1  x0
 x  x1
x  x0
K  max 

x a,b  x  x
x1  x0
1
 0

 x  x1
x  x0 

  max

 1
x a,b x  x
x1  x0 
1
 0

Сход. интерпол. процесса. Обусловленность задачи интерпол. Сплайн-интеполяция. 10