Предел-14-КС1

Тема1: Предел и непрерывность функции
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент кафедры
Высшей математики и математической физики ТПУ
I. Предел и непрерывность
функции
II. Производная функции одной
переменной
III. Приложения производной
IV. Функции нескольких переменных
План работы
1. Выполнение ИДЗ.
2. Экзамен (сессия 19.05.-07.06.14г.)
При выполнении и оформлении ИДЗ необходимо соблюдать
правила приведенные на сайте:
>студенту – документы –требования.
В титульном листе должны быть обязательно указаны:
ФИО студента,
его полный шифр (№ варианта) .
Студент должен выполнить ИДЗ по варианту, номер
которого совпадает с последними цифрами его
учебного шифра.
Решения задач оформляются в порядке номеров, указанных в
задании. Условие задач записываются полностью. Решения
задач следует излагать подробно без сокращений.
Без зачтенного ИДЗ студент не допускается к экзамену.
Математический анализ – часть математики, в которой
функции и их обобщения изучаются с помощью
пределов. Переменная, функция и предел –
это основные понятия математического анализа, т.к. на них
основаны понятия производной и интеграла.
§ Переменные величины, функции.
Переменной величиной называется величина, которая
принимает различные числовые значения. Обозначают:
x, y, z, u, v, … Или Переменная величина – это
упорядоченный ряд числовых значений или числовая
последовательность.
Областью изменения переменной величины называют
совокупность всех её значений, например, отрезок [a;b]
или интервал (а;b).
Окрестностью данной точки х0 называют произвольный
интервал (а;b), содержащий эту точку внутри себя:
х0

(а;b).
Переменные
величины
могут
ограниченными, убывающими, возрастающими, …
быть
Пусть X,Y – множества произвольной природы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если xX поставлен в соответствие
единственный элемент yY, то говорят, что на
множестве X задана функция (отображение) с
множеством значений Y.
Записывают:
f: X  Y,
y = f ( x)
(где f – закон, осуществляющий соответствие)
Называют: X – область (множество) определения функции
(часто обозначают: D – ОДЗ)
x (xX) – аргумент (независимая переменная)
Y – область (множество) значений ( Е)
y (yY) – зависимая переменная (функция).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) )
б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения
F(x,y)=0 ).
2) табличный;
3) графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x)
называется геометрическое место точек
плоскости с координатами (x; f(x)).
График функции y = f(x) будем также называть
«кривой y = f(x)».
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:
1) степенные: y = x r (rℝ)
2) показательные: y =ax (a > 0, a  1); y =ex
3) логарифмические: y =logax (a > 0, a  1); y =lnx
4)тригонометрические:y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx
5) обратные тригонометрические: y = arcsinx,
y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx
Элементарной функцией называется функция,
которая может быть задана одной формулой
y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из
основных
элементарных
функций
и
действительных чисел с помощью конечного
числа
операций
сложения,
вычитания,
умножения, деления и взятия функции от
функции.
Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется
функция вида
Pn ( x)  a0 x  a1 x
n
n 1
 a2 x
n2
 ...  an
(ak  R, a0  0, n  N , k  0, ..., n).
Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение
двух многочленов
a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an
f ( x) 
b0 x m  b1 x m 1  b2 x m  2  ...  bm
Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным
числом арифметических операций над аргументом х с рациональным
показателем.
Алгебраическими функциями называют рациональные (целые
рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции.
Основные характеристики поведения функции
1) Четность функции (чётная, нечётная,
общего вида);
2) Периодичность функции;
3) Монотонность функции (возрастающая,
убывающая, неубывающая,
невозрастающая);
4) Ограниченность функции (ограниченная
сверху, ограниченная снизу,
ограниченная).
Предел функции
Понятие предела является одним из важнейших
математического анализа, с ним тесно связаны
непрерывности функции, производной и интеграла.
1. Предел функции при
Пусть значения
x
понятий
понятия
x  x0
постепенно приближаются к точке
x0 ( говорят, что x
x0 и записывают x  x0 ). Это значит, что разность между
значениями x и x0 уменьшается и стремится к нулю, т.е. может стать
меньше любого сколь угодно малого положительного числа  .
Стремление x к x0 можно описать неравенством | x  x0 |<  .
Пусть при этом, соответствующие значения функции y = f ( x ) неограниченно
приближаются к некоторому числу A ( говорят, что f (x ) стремится к A
и записывают f ( x)  A). При этом разность между значениями функции
стремится к
и числом
A все время уменьшается и стремится к нулю: [ f ( x)  A]  0,
а значит может стать меньше сколь угодно малого положительного числа
.
Число A называется пределом функции
f(x) при x стремящемся к x0 , если для любого
сколь угодно малого положительного числа
ε найдется такое положительное число δ,
что как только x будет отличаться от x0 на
величину меньшую δ , значения функции
будут отличаться от числа A на величину
меньшую ε
lim
x x f ( x ) = A.
0
Г е о м е т р и ч е с к а я иллюстрация предела функции
| x  x0 |<  , | f ( x)  A |<  ,
Неравенства
c помощью которых дается строгое математическое
определение предела функции, означают, что значения x
или x  ( x0   ; x0   ),
принадлежат интервалу x0   < x < x0  
который называется «
 окрестностью» точки x0
При этом значения функции f (x )
принадлежат интервалу
A   < f ( x) < A  
или
который называется "
точки
f ( x)  ( A   ; A   ),

окрестностью"
A.
Если число A есть предел функции f (x ) при
x  x0 , то для каждого фиксированного значения  можно найти свое
 =  ( ), и, как только значения x попадут в "   окрестность" точки x0
соответствующие значения f (x ) будут находиться в "

окрестности" точки
A.
x 4
lim
4
x 2 x  2
sin x
lim
1
x0
x
2
lim x 2  9
x 3
x
sin(x)/x
lim
x 1 0
1
0,5
0,2
0,1
0,05
0,01
0,84147
0,95885
0,99335
0,99834
0,99958
0,99998
2
1 2
1
x 1
2
lim
x 1 0
2
1 2
1
x 1
0
Число A называется пределом функции f(x)
при x стремящемся к бесконечности, если для
любого сколь угодно малого положительного
числа ε найдется такое положительное число M,
что как только x будет по модулю больше M ,
значения функции будут отличаться от числа A
на величину меньшую ε
lim f ( x )  A
или
x
1
lim  0
x x
x 1
 1
x
x 
f ( x ) 
 A
2
lim
x  
lim
x  
x2  1
1
x
Функция f(x) называется бесконечно малой
при x стремящемся к a, если
lim f ( x )  0
x a
lim x  0
lim sin x  0
lim sin x  0
lim ln x  0
x0
x 
1
lim  0
x x
x 0
x 1
lim e x  0
x 
Функция f(x) называется бесконечно большой при
x стремящемся к a, если для любого сколь угодно
большого числа M найдется такое положительное число
δ, что как только x будет отличаться от a на величину
меньшую δ , значения функции будут по абсолютной
величине больше числа M. Обозначается:
lim f ( x )  
x a
1
lim  
x0 x
lim ( x 2  5x  3)  
lim ln x  
lim e x  
x  0
x 
x 
Свойства бесконечно малых величин:
1)
При сложении конечного числа бесконечно малых величин
получается бесконечно малая величина.
2) При умножении бесконечно малых величин получается
бесконечно малая величина.
3) При умножении бесконечно малой величины на константу или
ограниченную функцию получается бесконечно малая
величина.
Отношение двух бесконечно малых величин представляет собой
неопределенность вида
0
 
 .
0
Свойства бесконечно больших величин:
1.
При сложении бесконечно больших величин получается
величина бесконечно большая.
2.
При умножении бесконечно больших величин получается
величина бесконечно большая.
3. При умножении бесконечно большой величины на константу
(не равную нулю) или ограниченную функцию (не стремящуюся
к нулю) получается бесконечно большая величина.
Отношение двух бесконечно больших величин представляет собой
неопределенность вида   .
 

Разность двух бесконечно больших величин представляет собой
неопределенность вида    .
Произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую величину
представляет собой неопределенность вида 0   .
Связь бесконечно малой и бесконечно большой величин.
Величина, обратная бесконечно малой,
есть величина бесконечно большая.
1
1
= A( x), или
=
 ( x)
0
Величина, обратная бесконечно большой,
есть величина бесконечно малая.
1
=  ( x) или
A( x)
1
= 0.

Использование этих свойств и соотношений, виды неопределенностей
мы рассмотрим далее на примерах вычисления пределов.
Свойства пределов
Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x  x0 .
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже
имеют предел при x  x0 , причем
a) lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
b) lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0
x  x0
lim f ( x)
 f ( x)  x  x0
c) lim 


x  x0  g ( x ) 
lim g ( x)
x  x0
x  x0


lim
g
(
x
)

0


 x  x0

Следствие. Если f(x) имеет предел при x  x0 , то cℝ
функция с  f(x) тоже имеет предел при x  x0, причем
lim c  f ( x)  c  lim f ( x)
x  x0
x  x0
Говорят: «константу можно вынести за знак предела».
Предел числовой последовательности
Частным случаем функции может являться функция натурального
аргумента, когда значения x = 1, 2, 3,...n,...
Значения f ( x)  f ( n)
последовательность
такой функции образуют числовую
{un } с общим членом un .
Предел числовой последовательности можно рассматривать как предел
соответствующей функции f (n) при n  
lim u (n) = A.
n
При нахождении предела числовой последовательности всегда
n  ,
в то время, как при нахождении предела функции могут
встретиться ситуации, когда необходимо рассматривать отдельно случаи:
x   и x  .
Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей
При вычислении пределов необходимо прежде всего в выражение,
стоящее под знаком предела, вместо переменной подставить
ее предельное значение.
Возможны две ситуации:
1) В результате подстановки и проведения необходимых вычислений
получилось определенное число
(в частности, ноль или бесконечность), которое и является ответом.
2) В результате подстановки предельного значения переменной
получаются неопределенности. Различают семь видов
неопределенностей:
0
 ,
0

 ,

0   ,    ,
1 , 00 , 0 .
Для получения результата необходимо раскрыть неопределенность.
Методы раскрытия неопределенностей мы рассмотрим далее на примерах.
Предел функции и числовой
последовательности
Рассмотрим сначала примеры, в которых нет неопределенных
выражений.
6 x 2  5 6 12  5 6  5
11
 1. lim
=
=
= .
x 1 3  7 x
3  7 1 3  7
4
x2  4
44
0
 2. lim
=
=
= 0.
2
x  2 ln (1  3 x )
ln (1  3  4) ln 13
1
1
 x  6  ( x  1) 2  5  02
  = .
 3. lim 
=
=
5
 

x1  4 x  5 
1
Вычисление пределов
x 2  3 22  3 1
1) lim 3
 3

x 2 x  1
2 1 9
1
1
3) lim
 0
x  0 ln x

2) lim
x 0
1  cos x
2


sin x
0
x  2x  7 
4) lim
  ???
2
x 
3x  1

3
Неопределенности:
0 

0
0










,
,
0


,



,
1
,
0
,

   
0 
Неопределенность
0
 
0
Первый замечательный предел:
sin x
lim
1
x0
x
Две бесконечно малые  (x ) и  (x ) называются
эквивалентными при x  x0 , если предел их отношения
равен единице:
 ( x)
lim
 1   ( x) ~  ( x)
x 0  ( x )
Следствия из 1-го замечательного предела: при
sin  ~ 
tg  ~  arcsin  ~ 
2
arctg  ~  1  cos  ~
2
 0
Неопределенность
1 

Второй замечательный предел:
lim (1  x)
1/ x
x 0
lim (1  1 x) x  e
e
x 
Следствия из 2-го замечательного предела: при
ln( 1   ) ~ 
log a (1   ) ~  / ln a
e  1 ~ 
a  1 ~  ln a
(1   )k  1 ~ k
m
1  1 ~  / m
Таблица эквивалентных бесконечно малых
6.
ln 1   ( x) ~  ( x),
2. arcsin  ( x) ~  ( x),
7.
1
,
log a 1   ( x) ~  ( x) 
ln a
3. tg  ( x) ~  ( x),
8.
e
4. arctg  ( x) ~  ( x),
9.
a
1. sin  ( x) ~  ( x),
5. 1  cos  ( x) ~
 2 ( x)
2
,
 ( x)
 ( x)
 1 ~  ( x),
 1 ~  ( x)  ln a,
 ( x)
n
10.
1   ( x)  1 ~
.
n
З а м е ч а н и е. Для построения бесконечно малой величины,
эквивалентной сумме, произведению или отношению
бесконечно малых, таблицы вполне достаточно. Так,
(3x) 2
45
(1  cos 3x)  tg 5 x ~
 5x =  x3 ,
2
2
sin x  x ~ x  x = 2 x,
Для бесконечно малой вида многочлена при
x0
эквивалентом служит младшая степень многочлена
3 x 3  5 x 2  7 x ~ x  (3x 2  5 x  7) ~ 7 x,
3x 2  5 x  7  7.
выражение
sin 5 x  tg 2 x  ln (1  x 3 ) ~ 5 x,
так как
так как при
x0
tg 2 x ~ x 2 , ln (1  x 3 ) ~ x 3
являются бесконечно малыми более высокого порядка малости
по сравнению с (5x ), т.е. основной вклад в исходную б.м.в.
вносит величина, степень которой меньше
Аналогично для
2
x
2 1  x  x ~ x,
3 arcsin x  (cos x  1) 2  2 3x ~ 3 x.
sin