Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики
случайной величины
Числовые характеристики
случайной величины
• Применяются вместо закона
распределения случайной величины
• В сжатой форме выражают наиболее
существенные особенности
распределения
• К ним относятся начальные и
центральные моменты СВ,
• Важнейшие из них носят название
математического ожидания и
дисперсии.
Математическое ожидание
• Математическое ожидание – числовая
характеристика положения СВ на
числовой оси.
• Это некоторое среднее значение, около
которого группируются все возможные
значения СВ.
• Это центр рассеяния значений СВ.
Математическое ожидание
• Обозначения математического
ожидания:
M( X ), M X , MO
• и некоторые другие.
Математическое ожидание
• Математическое ожидание дискретной
СВ определяется как сумма
произведений:
M( X ) 
n
 x i pi ,
i 1
• где
n
p
i 1
i
.
1
Математическое ожидание
• Математическое ожидание
непрерывной СВ выражается
интегралом:

M( x ) 
 x f ( x )dx

f(x)
• где
а f ( x )dx
– плотность вероятности,
– элемент вероятности
Математическое ожидание
• Таким образом:
 n
  xi  pi
 i 1
M ( x )    ( b )

x  f ( x )dx

  ( a )

- ДСВ
- НСВ
Математическое ожидание
• Математическое ожидание имеет
размерность СВ;
• может быть выражено как
положительным, так и
отрицательным числом
Математическое ожидание
• При увеличении числа наблюдений
среднее арифметическое СВ сходится
по вероятности к ее математическому
ожиданию, т.е.
lim X  M ( X ),
n
• где
n
X
x
i 1
n
i
- среднее
арифметическое
Связь математического ожидания и
среднего арифметического
• Пусть выполнено
n измерений в
которых:
• x1 - k1 раз
• x2 - k2 раз
• ……………...
• xm - km раз
• n = k1 +k2 +…+km
x1 k1  x2 k 2  ...  xm km
X

n
m

xk
i
i 1
n
i
m
ki
  xi
n
i 1
m
m
ki
lim  xi   xi pi  M ( x )
n
n i 1
i 1
lim X  M ( x )
n
Свойства математического
ожидания
M ( C )  C , где C  const.
M ( CX )  CM ( X )
 n
 n
• 3. M   X i    M  X i 
 i 1  i 1
• 4. M ( aX  b )  aM ( X )  b
• 5. M ( XY )  M ( X )M ( Y )
- только для
• 1.
• 2.
независимых СВ !
• 6. M ( X )  0, если
f ( x )  f ( x )
Дисперсия случайной величины
• Дисперсия – числовая характеристика
рассеивания, тесноты группировки
всевозможных значений СВ около ее
математического ожидания
• Дисперсия характеризует точность
измерений, если xi – результаты
измерений некоторой СВ
Дисперсия случайной величины
• Для дисперсии приняты обозначения:
D, D( X ), DX , 
и некоторые другие.
2
X
Дисперсия случайной величины
• Определение: дисперсией называется
математическое ожидание квадрата
отклонения СВ от ее
математического ожидания, т. е.
D X   M
  X  M  X  
2
Дисперсия случайной величины
• Согласно определению дисперсии и
определению математического
ожидания:
• для ДСВ n
•
,
2
D( X )   x  M ( X ) p

• для НСВ -
D( X ) 
i 1
i
i

  x  M ( X )
2

f ( x )dx
• - область интегрирования совпадает с
областью всех возможных значений СВ
Дисперсия случайной величины
• Практически для вычисления
дисперсии как ДСВ, так и НСВ
используется более удобная формула:
D X   M  X
• В ней
•
2
   M  X 
2

M
(
X
)

x
p

i
i

i 1
для
ДСВ

n
M ( X 2 )  x2 p

i i

i 1
n
Дисперсия случайной величины
 ( b )

 M ( X )   x f ( x )dx
 ( a )

для
НСВ.

 ( b )
M ( X 2 ) 
2
x f ( x )dx


 ( a )

Среднее квадратическое
отклонение
• Дисперсия имеет размерность
квадрата размерности СВ
• Это неудобный показатель точности
измерений
• Поэтому вводится положительный
корень квадратный из дисперсии
• Он называется средним
квадратическим отклонением и
обозначается
 , ( X ),  x
Среднее квадратическое
отклонение
 ( X )   D( X )
• Ср. кв. откл. имеет размерность СВ
• Поэтому является более удобной, чем
дисперсия, числовой характеристикой
степени рассеяния значений СВ
относительно Мx
• (т.е. более удобным показателем
точности измерений)
Свойства
Дисперсии
1. D( C )  0 , где C  const.
2. D( C  X )  D( X )
3. D( CX )  Ñ 2 D( X )
 n
 n
4. D   X i    D  X i 
 i 1  i 1
Ср. кв. отклонения
1. ( Ñ )  0 , где C  const.
2. ( C  X )  ( X )
3. ( CX )  Ñ( X )
-
Задача
• Дискретная СВ задана рядом
распределения:
xi
pi
0
1
2
0.2
0.5
0.3
• Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и ср. кв. отклонение.
Решение
n
• 1. M ( X )   xi pi  0  0.2  1  0.5  2  0.3  1.1 .
i 1
• 2. D( X )  M ( X )   M ( X ) .
•
M( X 2 )  0 2  0.2  12  0.5  22  0.3  1.7
•
.
D( X )  1.7  ( 1.1)2  0.49
2
2
• 3. ( X )   D( X )  0.49  0.7
.
.
Задача
• Непрерывная СВ задана плотностью
вероятности
2x при 0  x  1
f(x)
при x  0 и x  1
0
• Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и ср. кв. отклонение.
Решение

1
3 1
1
x
1. M ( x )   x  f ( x )dx   x  2xdx  2  x dx  2
3

0
0
2
0
2

3
2. D( X )  M ( X )   M ( X )
2
2

1
4 1
1
x
M ( x )   x f ( x )dx   x 2xdx  2  x dx  2
4

0
0
2
1 2
D( X )      0.28
2 3
2
2
2
3
3.  ( X )   D( X )  0.28  0.53
0
1

2
Моменты случайной величины
• Математическое ожидание и
дисперсия – важнейшие из моментов
случайной величины, которые
(моменты) используются для описания
различных ее свойств.
• Определим понятие этих моментов.
Начальные моменты
• Начальным моментом  k
k - го
порядка случайной величины X
называется математическое ожидание
k-й степени этой случайной величины,
т. е.
k .
•
 M X
k
 
Начальные моменты
• Согласно определению

k
x
p

для
ДСВ

i
i

 i 1
 k   
 x k f ( x )dx  для НСВ

 
n
Начальные моменты
Если
k = 0, то
0  M ( X 0 )  1 .
Если
k = 1, то
1  M ( X 1 )  M (. X )
2
Если
k = 2, то
2  M ( X ) .
Т.о. математическое ожидание СВ есть
начальный момент 1-го порядка этой
величины, а дисперсия может быть выражена
через начальные моменты 1-го и 2-го
порядков:
2
2
2 .
•
•
•
•
•
D( X )  M ( X )   M ( X )   2  1
Центральные моменты
• Центральным моментом  k k-го
порядка СВ X называется
математическое ожидание k-й
степени отклонения этой СВ от ее
математического ожидания, т. е.
математическое ожидание k-й степени
соответствующей центрированной СВ:


k  M  X  M ( X )  M 
• где   X  M ( X )
значение СВ X.
k
k
,
– центрированное
• Центрированная случайная величина
получается при переходе от ряда
значений случайной величины X:
x1 ,x2 ,...,xn ,
• к ряду 1 ,2 ,...,n
,
• где
ii  xii  M(
M ( X ) ( ii  1,2,...,n
1,2,...,n )) .
• Центрирование равносильно переносу
начала координат из нуля в среднюю –
«центральную» – точку,
• т. е. в точку M ( X ) .
Центральные моменты
• Согласно определениям центрального
момента и математического ожидания:

k
k
 i   xi  M ( X ) pi  для ДСВ
i 1
 i 1
 k   
  x  M ( X )k f ( x )dx  для НСВ

 
n
n
Центральные моменты
• Если k = 0, то 0  M (  )  1 ;
• если k = 1,то
0


1  M (  )  M  X  M ( X ) 
1
1
•
;
 M( X ) M( X )  0
• если k = 2, то
2
•
,
2  M  X  M ( X )  D( X )
• т. е. дисперсия СВ есть центральный
момент второго порядка этой
величины: D( X )  2


Центральные моменты
• Теоретически при симметричности
кривой распределения все
центральные моменты нечетных
порядков равны нулю, т.е.
2i1  0  i  1,2,...,n 
• Практически это свойство используется
для характеристики асимметрии
(скошенности) кривой распределения.
• Вводится коэффициент асимметрии А:
3
A 3 ,
x
• где  3 – центральный момент 3-го
порядка, а  x – ср. кв. отклонение СВ
• Центральный момент 4 4-го порядка
используется для характеристики
положения вершины кривой
распределения относительно эталона –
т.н. нормального распределения, для
которого отношение
4
•
.

4
x
3
• Вводится числовая характеристика ,
называемая эксцессом кривой
распределения и вычисляемая как
4
E  4 3
x
Дополнительные числовые
характеристики
• Используются для более детального
изучения случайной величины.
• Отнесем к ним моду
Mo и медиану Mе
.
Мода
• Модой случайной величины называется
такое значение этой СВ, которому
соответствует максимальная плотность
вероятности, т. е.
f  x  Mo .  max
•
• Другими словами, мода – это наиболее
часто встречающееся значение СВ.
Медиана
• Медианой называется срединное значение
СВ, т. е. такое ее значение x  Mе, при
котором :
1
P( X  Me )  P( X  Me )  .
2
• Медиана делит площадь под кривой
распределения на две равновеликие части.