i - 1

ПОДЗЕМНАЯ
ГИДРОДИНАМИКА
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ В
УСТАНОВЛЕНИИ РАЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
РАЗРАБОТКИ
Ч. 2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ
РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН В НЕФТЯНЫХ
ПЛАСТАХ С НАПОРНЫМ РЕЖИМОМ
Рациональные схемы размещения скважин в
нефтяных пластах с напорным режимом
Постановка задачи
требуется заданное число скважин n разместить
и эксплуатировать так, чтобы по окончании
разработки площадь целиков была возможно
меньшей, а вся поддающаяся извлечению нефть
была изъята из пласта в кратчайшее время
Рис. . Схема
расстановки галерей При
решении задачи о расстановке
галерей в нефтяном пласте с напорным
режимом исходим из модели пласта в
виде трубки переменного сечения.
Известно:
границы
первоначального
положения
контура
нефтеносности s0 и sn=l . В сечении sn расположена галерея; общее
число галерей — n. Требуется найти положения s1, s2,..., sn-1 (n — 1)
галерей, которые должны быть размещены так, чтобы общее время
вытеснения нефти вытесняющим агентом было наименьшим. На
контуре питания агента—напор рк, в галереях — рс.
Предполагается, что каждая галерея выключается, как только до нее
дошел вытесняющий агент—вода или газ
Два случая:
1) депрессия рк—рс=р известна как функция расстояния s —
р=р(s);
2) депрессия р известна как функция времени t — р=р(t).
Случай 1. Депрессия р – функция расстояния s
Предположим:
вытесняющая фаза дошла до i-1 галереи и вытесняет нефть к i-й галерее (i=l,2...n)
Из предыдущего раздела движения границы раздела:
s
l
ds
ds
R( s )  в 
 н 
.
kf ( s)
kf ( s)
0
s
mf ( s ) R( s)
dt 
ds
pк  pс
(1)
Отсюда для промежутка времени ti-1,i, в течение которого нефть будет
извлечена из участка пласта между (i - 1)-й и i-й галереями :
ti 1,i
mf

R( s)ds
si1 p
si
(2)
t0 n
n
n
si m
mf
 
R( s)ds  
si1 p
s
i 1
i 1 i 1 p
si
si
 s ds
ds 

f в    н 
ds
 s kf

kf 
s
 к
(3)
- общее время эксплуатации
пласта со всеми галереями
Чтобы найти все si, при которых t0-n будем минимальным, нужно
приравнять нулю частные производные
t 0  n
s i
, i  1,2,..., n - 1.
Используем формулу дифференцирования определенного интеграла по
параметру:
z ( )
z ( )

f ( x,  )
z2
z1
f
(
x
,

)
dx

dx

f
(
z
,

)

f
(
z
,

)
2
1

 z ( )





(4)
z ( )
2
2
1
1
Представим (3) в виде:
t0 n
m
 ...  
si 1 p
si
si
 s ds

si 1 m
ds


f в 
 н 
ds  
si
 s kf

kf 
p
s
 к
si 1
 s ds

ds
ds  ...
f  в 
 н 
 s kf
kf 
s
 к
При учете (4) –
si
si1
 mf  s ds  mf   s ds
t0n
mf  н
ds 
 в   
 в    н 
 
ds  
 0.
si
p kf i
kf 
 p i sк kf  p i  sк kf
si1
si
Раскрывая скобки и сокращая –
1
(kf ) i
si
 mf 
mf
ds

s p  p 
i 1
si 1

i si
ds
0
kf
(5)
Формула (5) выражает рекуррентную связь между тремя
последовательными значениями si-1, si, si+1, откуда все si могут
быть определены.
нумерация галерей ведется по течению вытесняющей
фазы
Метод последовательных приближений для
определения положений галерей s1, s2, . . ., sn-1
Из (5) следует :
наивыгоднейшие местоположения галерей не зависят от вязкости
вытесняющей фазы и нефти и от расстояния до контура питания
Случай 2. Депрессия р есть заданная функция времени
Определение наивыгоднейших расстояний si, при
которых t0-n будет минимальным
а) р >0 и является известной функцией времени
si, при которых будет минимум t0-n, одновременно
обусловят минимум интеграла:
Учитывая
mf ( s ) R( s)
dt 
ds
pк  pс
s
si
(6)
l
ds
ds
R( s )  в 
 н 
.
kf ( s)
kf ( s)
0
s
si
 s ds

ds
I   pdt    mf  в    н  ds
s
 s kf

kf
i 1 i1
0
s
 к

n
I   pdt
0
Имеем
t 0 n
t0 n
(1)
Приравнивая
I
s i
нулю , получим соотношение между si-1, si, si+1:
si
si 1
s
 si ds
н
I
ds
ds 

 mf
ds  mf  в   mf i в    н 
 0.


kf i
si si1
kf
kf
kf
sк
si
 sк

i
или
si  1
1 si
ds
mfds  mf i 
0

( kf ) i si 1
si kf
(7)
Методом последовательных приближений могут быть найдены все si.
Важно отметить, что расстановка галерей в этом случае не зависит от
вида функции
p  p(t )
Рациональная расстановка галерей в
полосообразной залежи
Водонапорный режим (Δp=const)
Допущения: m=const, k=const, f = const
Из
si  1
1 si
ds
(7)


mfds

mf

0


i
( kf ) i si 1
si kf
имеем
si
si 1
 ds   ds  0
si 1
si
или
s i  s i 1  s i 1  s i  const
(8)
Рис. Схема расстановки галерей
при прямолинейном движении
ВНК
расстояния между рядами скважин должны быть одинаковыми
При одностороннем контуре питания располагаем последнюю
галерею в наиболее возвышенной части структуры — у
литологической или тектонической границы пласта, а остальные
галереи — между контуром нефтеносности и последней галереей на
равных расстояниях.
При двустороннем контуре питания одну галерею располагаем на оси
складки, а остальные на равных расстояниях между осевой галереей
и контурами нефтеносности.
Газонапорный режим. В общем случае Δp≠const
Допущения: m=const, k=const, f = const,
на границе раздела газ—нефть (ГНК)
пластовое давление равно среднему
давлению в газовой части пласта, режим
изотермический.
1
( kf )i
si

si  1
si
Рис. Схема
расстановки
галерей при
прямолинейном
движении ГНК
 mf 
mf

ds  
p
 p 
si  1

i в si
ds
0
kf
(5)
имеем
si  1
ds
1
 p  p  ds
si  1
i si
p V  Q (t )
pк  0 0
V0  V ( s )
(9)
закон
БойляМариотта
(10)
Q=Q(t) ― приведенный к атмосферному давлению объем закаченного газа,
который может быть функцией времени (Q(t)<0 ― при извлечении газа);
V0+V(s) —объем газа в залежи при данном положении границы раздела.
Депрессия
p  pк  pc 
p0V0  Q(t )
 pc
V0  V ( s)
(11)
В общем случае, когда Δp=f(t,s) не представляется возможным дать
аналитическое выражение
для
скорости продвижения границы
раздела в конечном виде, а также аналитическое выражение в виде
конечного соотношения для расстановки галерей.
В случае депрессии, являющейся одновременно функцией s и t, в
частности при закачке газа, можно только производить оценки
всех показателей — срока эксплуатации месторождения, дебитов,
стоимости – для заранее установленной сетки скважин.
В этом случае надо рассмотреть несколько вариантов и остановиться
на наиболее оптимальном.
Закачка или отбор газа не производится, т.е. Q(t)=0
и Δp является функцией s (Δp= Δp(s))
p0V0
рк 
V0  mBhs
депрессия
si
(12)
p  рк  pc 
B – ширина залежи, h – мощность пласта
p0V0
( p  pc )V0  mbhsp c
 pc  0
V0  mBhs
V0  mBhs
ds
1 si  1

ds (9) получим
Из 

p i s i
s i  1 p
ds s i 1  s i
 p  p
si  1
i
si
или при учете (13)
si
V0  mBhs
V0
si




ds


ln
p

p
V

mBhsp
0
c
0
c si 1 
s ( p0  pc )V0  mBhspc
mBhpc
i 1



p0  pc V0
s
 mBh 

ln  p0  pc V0  mBhpc s  
2
 mBhpc mBhpc 
 si1
si
(13)
s
s
 i
V0  p0  pc
1 
s i


ln p0  pc V0  mBhsp c 



2

mBh  pc
pc 
pc s
s

i 1
i 1
p0  pc V0  mBhp c si 1  si  si 1 
p0  pc V0  mBhp c si
pc
s  si V0  mBhs i  .
 i 1
p0  pc V0  mBhp c si

V0
mBh
p0
ln
2
pc
Обозначим:
Получим
V0
p0
si
s i 1
s i 1
 l0 ,
 ,
 i ,
  i 1 ,
  i  .1 .
mbh
pc
l0
l0
l0
  1   i 1
1  i
 ln
  i   i 1    i 1   i 
.
  1  i
  1  i
(14)
(15)
s0
Рекуррентная формула (15) позволяет найти все λi, так как  0  l  0
0
sn
и n 
известны. Расчет производится методом последовательных
l0
приближений.
Если объем газа очень велик по сравнению с объемом
нефти, то из (15) следует, что l0 будет большим числом, а
отношения λi малы и много меньше единицы.
В этом случае приходим к случаю постоянного давления
рк, решение для которого
дается
формулой (8).
Действительно, так как всегда β>1, то при малых λi левую
часть (15) можно представить, разлагая логарифм в ряд
 
 i 1 
 i 

  ln 1 
    i   i 1  
 ln 1 
  1
  1 

 
 i   i 1
 i   i 1

  i   i 1  
1
1
x
ln1  x  
1  0,5 x
В правой части можно пренебречь λi; по сравнению с единицей
 i 1
1  i
 i 1   i
 i 

  1  i
1
отсюда сразу получается прежний результат:
 i   i 1   i 1   i  const
Газо-водонапорный режим
Одним из очевидных требований, предъявляемых к
рациональной схеме размещения заданного количества
рядов скважин или галерей, их представляющих, является
условие, чтобы к последней галерее оба агента подошли
одновременно.
В противном случае в залежи останется нефтяной целик,
извлечение нефти из которого потребует дополнительных
скважин.
Изображением течения в пласте
может служить поток в трубке
переменного сечения (рис.)
Постановка задачи
Пусть с одной стороны залежи требуется расставить nl галерей, а с
другой n2, причем положения последних галерей будут совпадать.
Известны границы первоначального положения контура нефтеносности
. s 0(1) ,
s 0( 2 ), общая длина L = l1+l2. Неизвестными являются положения
всех галерей.
Задаемся несколькими произвольными значениями l 1  s n и методом
1
последовательных приближений находим положения остальных n1-1
( 1)
галерей, после чего по соотношению
t0 n
si
s

mf
m 
ds
ds 
 
R( s)ds  
f в    н 
ds
si1 p
si 1 p


kf 
i 1
i 1
s
 sк kf
n
si
n
si
вычисляем время t0-n1, которое, таким образом, будет определено
для
нескольких значений l1. Затем строим кривую зависимости t0-n1 в
зависимости от l1. (рис.). Таким же образом строится кривая зависимости
t0-n2 от l2.
Рис. Определение положения
галерей при двухстороннем
вытеснении нефти
Располагая шкалы l1 и l2 навстречу друг другу из концов отрезка L =
l1+l2 по точке пересечения кривых находим положение последней
галереи. После этого методом последовательных приближений
уточняем положения галерей.
Если заданы не отдельно числа n1 и n2 галерей с каждой стороны, а
общее их число n=n1+n2 , то
установление чисел n1 и n2,
обуславливающих минимум времени,
следует производить для
каждого варианта (n1= 1; п2=п - 1; n1= 2; n2=n - 2 и т. д., т. е. для
различных сочетаний
чисел галерей со стороны газа и воды)
указанным выше образом, останавливаясь на варианте, при котором
t0-n1 = t0-n2, будет наименьшим по сравнению с другими
Гравитационный режим
При гравитационном режиме, когда в
крутопадающем
пласте
напор
обусловлен
только
разностью
вертикальных отметок, уменьшающейся
при
истощении
пласта,
депрессия
является функцией положения контура.
В
полосообразной
залежи
постоянной
мощности
(f=const)
верхняя
свободная
поверхность жидкости АА в пласте будет
опускаться по мере извлечения нефти.
Размещение галерей
при гравитационном
режиме
Согласно рис., предполагая забойные давления
(pc )i равными нулю, получим:
p   s i  s tg
где —угол падения пласта, — уд. вес
жидкости.
В
si
ds
1 si  1
 p  p  ds
si  1
i si
имеем
неопределенность.
Последнее указывает на то, что
вид
размещения
любого
количества галерей не влияет на
время извлечения нефти.
Этот же результат можно получить из следующих соображений. Расход
нефти в пласте при гравитационном режиме, когда в галерее и верхнем
свободном сечении избыточные давления равны нулю, определяется
следующей формулой:
k s  s tg k
q

f
i
s  s i 


f sin   const
cos 
т. е. является постоянным.
Следовательно, такой пласт нужно эксплуатировать всего одной
галереей, расположенной в самом нижнем его сечении.
Рациональная расстановка галерей в круговой залежи
Водонапорный режим
(p=const, k=const, h=const).
si  1
1 si
ds
fds  f i 
0

f i si  1
si f
(7)
f=2rh=as
s i2  s i21
s i 1
 s i ln
2s i
si
Примем si = Ri (R1 – радиус наружной
галереи,
нумерация
галерей
по
течению вытесняющей фазы )
Размещение
кольцевых галерей
при радиальном
движении ВНК
Ri
Ri21  Ri2
ln

Ri 1
2 Ri2
Ri
 i
RH
 i 1
i

e
 i 1  i 1





1
1
 
1
2    2 
i 
 


   i 1 

(16)
Газонапорный режим.
p  const
Если газ из газовой шапки не отбирается и в
газовую шапку не нагнетается, то давление в
ней будет изменяться в соответствии с отбором
нефти из пласт
pK 
p0V0


V0   r 2  Ro2 mh
Размещение кольцевых
галерей при радиальном R0 — начальный радиус газовой шапки, V0—ее
начальный объем, r— радиус газовой шапки в
движении ГНК
данный момент, h— мощность пласта.

p0V0
p0  pc V0  R02 hpc m  r 2 hpc m
p  pK  pc 
 pc 
.
2
2
2
2
V0   r  Ro mh
V0  R0 hm  r hm

f  2rh

f i si  1 ds
1 si f
ds 


f i s i  1 p
p i s i f
(7)
i
2rh V0  R02 hm  r 2 hm 
1
dr 
2
2

2Ri h Ri1  p0  pc V0  R0 hpc m  r hpc m
R
2Ri hV0  R hm  R hm 

 p0  pc V0  R hpc m  Ri2 hpc m
2
0
2
0
1
Ri
2
i
Ri1

Ri
dr
2rh
r V0  R02 hm  r 2 hm 
R  p0  pc V0  R02 hpc m  r 2 hpc mdr 
i 1
Ri
Ri V0  R02 hm  Ri2 hm 

 p0  pc V0  R02 hpc m  Ri2 hpc m
Ri1

Ri
dr
.
r
(17)
Интегрируя (17) и вводя обозначения
p0
 ;
pc
V0
Ri
R0
1
 l0 ;
 1 ;
 0;
 i
2
hm
l0
l0
  1  0
получим


2
2
2
2
2
2
 i 1
 1  i 1  i   i 1 i 1   0   i
ln


ln
2
2
2
2
i
1  i
1  i
(18)
Если начальное давление р0 и объем газа V0 достаточно велики и,
следовательно,
φ i- и
малы, то формула (18) переходит в формулу для
2i
случая постоянного давления
Ri рк .Ri21  Ri2
ln

(19)
Ri 1
2 Ri2
Действительно, разлагая логарифм в (18) в ряд и отбрасывая высшие
2
степени малых 
величин
,получим для левой части (18):
2 ,
i
i 1
2
2
  i 1 i  i21
i2  i21
 1  

 c  1 
ln


 1  02  i2  i21 .
2 1  
2
2
2
2
2
i 1
2
i
2
i
2

Пренебрегая в правой части (18) членами i
с единицей, мы приходим к формуле (19)

и

2
i
  02



по сравнению
Газо-водонапорный режим
При газо-водонапорном режиме в круговой залежи расстановка галерей
производится таким же методом, как и в полосообразной залежи, но
при этом используются соответствующие формулы круговой залежи.
Гравитационный режим
При гравитационном режиме в круговой залежи остается
справедливым вывод, сделанный для полосообразной залежи того же
режима, т. е. и в круговой залежи нужна лишь одна галерея,
расположенная в нижней части залежи.
ВЛИЯНИЕ НА РАССТАНОВКУ ГАЛЕРЕЙ
НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПЛАСТА
Если пласт неоднороден, то следует исходить из выражений
 mf  si  1 ds
1 si mf
 
ds  
0

( kf )i si  1 p
 p  si kf
(5)
i
si  1
1 si
ds
mfds  mf i 
0

( kf ) i si 1
si kf
kf и mf — функции координаты s.
(7)
Залежь из двух полос с разными фильтрационными
характеристиками
Размещение
галерей в случае
полосовой залежи,
состоящей из двух
частей с
различными
характеристиками
ПОСТАНОВКА
Пусть на длине l1 ——— k1, m1, h1, на длине l2— k2, m2, h2.
Требуется разместить n галерей.
Задано: начальное положение контура нефтеносности s0 = 0 и
положение последней галереи sn=l1+l2.
Пусть на длине l1 находится n1 галерей, причем n1 пока не
известно.
для галерей, расставленных в первой и второй полосах
Из (7)
s1  s0  s2  s1  ...  s n1  s n1 1  l1
s n1 2  s n1 1  s n1 3  s n1 2  ...  l 2
в (7) последовательно i=n1 и i=n1 + 1
 x1
x2
1
m 1 h1  l 1  m 1 h1 

k 1 h1
 k 1 h1 k 2 h2



(20)
l 2
1
m1 h1 x1  m 2 h2 x 2   m 2 h2
k 2 h2
k 2 h2
необходимо добавить соотношения
n1 l 1  x1  l 1 ; n 2 l 2  x 2  l 2
n 2  n1  n
(21)
При известном n1 из уравнений (20-21) находим x1, x2, l1 и l2:


k 1 h1
m 1 h1
1
1
x 1   l 1 
l 2 ; x 2   l 2 
l 1 ;
D
k 2 h2
D
m 2 h2


k 1 h1 
1  
1
l 1 
l1  n2    l 2
;
D0  
D
k 2 h2 D 
1
l 2 
D0
где
(22)
 
m 1 h1 
1
 l 2  n1    l 1
,
D
m 2 h2 D 
 
k 1 m1 h12
k 1 m1 h12
1 
1

D 1
; D0   n1   n 2   
2
D 
D  k 2 m 2 h22 D 2

k 2 m 2 h2
Задаемся рядом значений n1 и путем пробных подсчетов
суммарного времени извлечения нефти выбираем значении
n1 и n2=n - n1, при которых это время получается
наименьшим.