Связь между б.м.п. и б.б.п.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 4
Раскрытие неопределенности
для последовательности.
2 октября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
Def Последовательность a n  называют бесконечно малой,
если lim a n  0
n 
В этом случае иногда пишут an  o(1)
Def Последовательность a n  называют бесконечно большой,
если M  0  nM : n  nM  an  M
В этом случае пишут lim a n  
n 
Вопрос 1 Может ли бесконечно большая последовательность
быть ограниченной сверху?
Ответ на вопрос 1.
Последовательность an  n бесконечно большая и ограничена сверху.
Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
Вопрос 2
Может ли произведение бесконечно большой
последовательности на бесконечно малую быть
1) б.м.п. 2) б.б.п. ?
Ответ 2
1
1

c

a

b

 б.м.п.
n
n
n
2
n
n
1
2
2) an  n  б.б.п. bn   cn  an  bn  n  б.б.п
n
1) an  n  б.б.п. bn 
Связь между б.м.п. и б.б.п.
Т.1. Последовательность a n  - бесконечно малая, причем an  0.
1
- бесконечно большая.
Тогда последовательность bn 
an
1
1
1
 nM : n  nM  an   
 bn   M
Док. M  0 и  
M
an

Т.2. Последовательность
bn 
- бесконечно большая.
Тогда последовательность an 
Док. M  0 и  
1
bn
- бесконечно малая.
1
1
1
 n : n  n  bn  M   an 

M

bn
Связь между б.м.п. и б.б.п.
Вопрос 3. Отношение двух б.б.п. может быть 1) б.м.п. 2) б.б.п.?
1) an  n, bn  n 2  cn 
an 1
  б.м.п.
bn n
2) an  n 2 , bn  n  cn 
an
 n  б.б.п
bn
Вопрос 4. Отношение двух б.м.п. может быть 1) б.м.п. 2) б.б.п.?
an 1
1
1
1) an  2 bn   cn 
  б.м.п.
n
n
bn n
a
1
1
2) an  , bn  2  cn  n  n  б.б.п
n
n
bn
Связь между сходящейся
последовательностью и б.м.п.
an  A.
Т.3. Пусть a n  - сходящаяся последовательность и lim
n 
Тогда an  A   n , где  n - б.м.п.
Док. Пусть  n  an  A.
Тогда   0  n : n  n   n  an  A  
Т.4. Сумма двух б.м.п. есть б.м.п., т.е. o(1)  o(1)  o(1)
Док. Пусть  n ,  n - б.м.п.
  0  n : n  n   n 
Т.5. Пусть  n

2
, n 

2
 n  n  n  n  
- б.м.п. ,  n - ограниченная последовательность.
Тогда an   n   n - б.м.п.
Док. n  M , n ,
  0  n : n  n   n 

M
 an   n   n  M 

M

Арифметические теоремы
Т.6.
Пусть a n  , bn  - сходящиеся последовательности:
lim an  A. lim bn  B.
n 
Тогда
n 
(a n  bn )  A  B
А) lim
n 
Б) lim (a n  bn )  A  B
n 
an A
, B0

n  b
B
n
Док. А) Т.3.,  an  A   n , bn  B   n ,  an  bn  A  B   n   n ,
С) lim
(a n  bn )  A  B
Т.4.   n   n  o(1) Т.3.  lim
n 
Б) anbn  ( A   n )( B   n )  AB   n B   n A   n  n
Т.4.   n B  o(1),  n A  o(1),  n  n  o(1),
С) an  A  1 a B  b A
n
n
bn
B
Bbn
1
- ограниченная, an B  bn A  o(1)
Bb n
Переход к пределу в неравенствах
Т.7. Пусть a n  , an  0 - сходящаяся последовательность:
lim an  A. Тогда A  0.
n 
Док. Предположим, что A  0.

A
2
 n : n  n  a n  A    0
Следствие Пусть a n  , bn  - сходящиеся последовательности:
.
lim an  A, lim bn  B, и an  bn n.
n 
n 
Тогда A  B.
Док. Для  n  an  bn выполнены условия Т.7.  A  B.
Лемма о двух полицейских
Т.8. Даны три последовательности an , bn , cn , для которых
1) an  cn  bn , n
bn  A
a n  lim
2) lim
n
n 
Тогда существует lim cn  A.
n 
Док.   0
 n : n  n  A    an  cn  bn  A  
,т.е. A  cn   .
Вопрос 5. Верно ли утверждение: если последовательность an 
сходится, то последовательность
a ,
n
также сходится.
Вопрос 6. Верно ли утверждение: если последовательность
сходится, то последовательность
an 
также сходится.
a ,
n
Ответы на вопросы
Ответ на вопрос 5
Верно
Если lim an  0, то   0  n : n  n  an  an  
n 
и lim an  0.
n
Если lim an  A  0, то, начиная с некоторого номера, члены
n 
последовательности сохраняют знак и lim an  A .
n
Ответы на вопросы
Ответ на вопрос 6
Неверно, например,
an   1
n
Число e
Числом е называют предел последовательности
 1
a n  1  
 n
n
Док. По формуле бинома Ньютона:
n
1 n(n  1) 1 n(n  1)( n  2)
 1
a n  1    1  1  
 
 ... 
2
3
n
2!
3!
n
n


 11
1  1  1  1  2 
1    1  1    ...
2!  n  3!  n  n 
- последовательность монотонно возрастает.
an  1  1 
1  1  1  1  2 
1 1
1 1
1
1    1  1    ...  1  1    ...  1  1   2  3 ...  1  2  3.
2!  n  3!  n  n 
2! 3!
2 2
2
- последовательность ограничена.
Справочник 2
Бином Ньютона
n
(a  b)   cnk a n  k b k ,
n
k 0
где cnk 
n!
n  (n  1)( n  2)...( n  k  1)

k!(n  k )!
k!
Док. Pn x  1  xn  cn0  c1n x  ...  cnk x k  ...  cnn x n
Pnk  x  0  nn  1n  2...n  k  11  x 
nk
Наконец, полагаем
b
x
a
x  0  k!cnk
Неопределенности
Неопределенностью называют ситуацию, когда вычисление
предела выходит за рамки условий теорем о пределах.

Неопределенность

4
4

1  n   1  n 
Пример 1. Вычислить lim
n   1  n 3  1  n 3
Преобразование:
1  n  1  n 1  n  1  n    4n2  2n    41  n    4n 1  1 / n 
2n1  n   1  n 1  n   1  n   2nn  4n  3 n  4n  3 n 1  4 / n  3 / n 
2
2
2
2
2
2
2
2
Ответ: -4
2
2
2
2
2
2
Неопределенности
Неопределенность
  

Пример 2. Вычислить lim
nn  2  n 2  2n  3
n

Преобразование:
 nn  2 

n  2n  3 
2


nn  2  n 2  2n  3
nn  2  n 2  2n  3
Ответ: 2
4n  3

n
 1  2 / n 
1  2 / n  3 / n 
2
Неопределенности
Неопределенность 1
 n  n 1
2
 n2


Пример 3. Вычислить lim
n  n 2  n  1 


Преобразование:
 n  n 1  2 
 2

 n  n 1 
2
n2
2


 1  2

 n  n 1 
n2
 1   n 
1
n
 ,
 n n2
С учетом того, что lim 1   n  n  e , получим
1
n 
 n  n 1

lim  2
n  n  n  1 


2
 n2
lim
 e n n
2 n 2
2
 n 1
 e 2
2
где  n  n 2  n  1 .
Неопределенности

Неопределенность

n2
Пример 4. Вычислить lim n
n 2
Оценка:
n2
an  n ,
2
an0  2
an0 1
an 1
2

n  1

,
2
 ,
3
2 n 1
an0 3
an0  2
n
Перемножим:
n
an1 1  n  1 
2
 
  n  n0
an
2  n 
3
a
2
2
 , .... n  .
an0 1 3
3
2
n
an
2
2
    0  an  an0 1    ,
an0 1  3 
3
2
lim an0 1    0. По теореме о двух полицейских:
n 
3
n2
lim n  0.
n  2
Неопределенности

Неопределенность

ln n
Пример 6. Вычислить lim
n n
t
Замена: t  ln n  n  e
Для любого n существует целое m, для которого m  t  ln n  m  1
Тогда
1 m ln n t m  1 m  1 m
 m 
 t  m 
 m.
e e
n
e
e
m e
m
lim m  0.
n e
ln n
0
По теореме о двух полицейских: lim
n  n
Неопределенности
Неопределенность 0
Пример 7. Вычислить lim
n
n 
Преобразование:
1
n
n
 
n  e
1
ln n n
Тогда из примера 6 следует
e
ln n
n
ln n
lim
 0 и lim n n  lim e
n 
n 
n  n
ln n
n
1
Теоретические упражнения
1. Справедливо ли утверждение : сумма двух бесконечно
больших последовательностей является бесконечно большой
последовательностью ?
2. Доказать, что произведение двух бесконечно больших
последовательностей есть бесконечно большая
последовательность.
Вопросы к экзамену
1) Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи
сходящейся и бесконечно малой последовательностями
.
2) Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи
бесконечно большой и бесконечно малой
последовательностями.
3) Арифметические теоремы о бесконечно малых
последовательностях.
4) Арифметические теоремы о пределах.
5) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
6) Теорема о промежуточной последовательности.
7) Число е.
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Раскрытие неопределенности для
последовательности.
Лекция 4
завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Пределы функций.
Лекция состоится в четверг 9 октября 2014 г.
в 10:00 по Московскому времени.