Дипломная работа Математическое моделирование конвективного тепло-массообмена в жидком цилиндрическом столбике со свободной боковой поверхностью Научный руководитель: к.ф-м.н Калачинская Ирина Станиславовна Выполнила Вильчик Ю.В. Введение Актуальной задачей современной гидродинамики является численное моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии гравитации (многие процессы космической технологии: направленная кристаллизация, бестигельная зонная правка) и др Большинство алгоритмов для расчета конвективных течений несжимаемой жидкости строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако, несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация встречается сравнительно редко. Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений несжимаемой жидкости является использование квазигидродинамической (КГД) системы уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым параметром В данной работе исследуется движение конвективного расплава полупроводников в зависимости от граничных условий на поверхности Постановка задачи Рассмотрим столб жидкости между двумя параллельными, концентрическими, твердыми поверхностями, расположенными на расстоянии d. На верхней и нижней твердых поверхностях поддерживаются различные температуры и T0 T . Боковая поверхность считается недеформируемой и для соответствующего объема жидкость имеет цилиндрическую форму. Столб жидкости находится во внешнем магнитном поле. Конвективное течение в объеме возникает благодаря зависимости поверхностного натяжения жидкости от температуры (термокапиллярная конвекция). T0 T Квазимагнитогидродинамическая система Обозначения: const 0 – среднее значение плотности u u( x, t ) – вектор гидродинамической скорости p p( x, t ) – давление, отсчитываемое от гидростатического T T ( x, t ) – отклонение температуры от ее среднего значения H0 – напряженность магнитного поля КМГД система в безындукционном приближении Обербека-Буссинеска: div (u) div (), u 1 div (u u ) p gT 2 u H 0 H 0 t c 1 div NS div u u , T div (uT ) div (T ) T . t Где T NS u u , 1 (u )u p gT 2 u H 0 H 0 c . Система уравнений 1 p 2 p 1 1 ru r u z 1 ur ur u u z 2 r u u Ha u u z z GrT , r 2 ur r z r r r r z r r z r r r z z z r ur 1 (ru r ) (u z ur ) p 1 (r rrNS ) ( NS 2 (ru rr ) (ur z ) (u zr ) zr ) Ha 2 ur r , t r r z r r r z r r r z z NS 2 u z (u z ) 1 (ru r u z ) p 1 (r rzNS ) ( NS 1 (u zr ) 1 (ru r z ) (u z z ) zz ) 2 Gr T , t z r r z r r z r r r r z 2 T 1 (rurT ) (u zT ) 1 (rrT ) (zT ) 1 1 T 2T r 2 , t r r z r r z Pr r r r z Здесь r u r u r u p u r r Ha 2 u r , r z r rrNS 2 z u r u z u p u z z Gr T , r z z u r u z ur u r u z NS NS NS , NS , 2 , 2 zr rz zz r r z r z Начальные условия ur t 0 uz t 0 0, T t 0 0 Граничные условия • ось симметрии (r = 0, -1 < z < 1): u r 0, u z p T 0, 0, 0; r r r • боковая стенка (r = 1, -1 < z < 1): ur 0, u z Ma T p T , 0, Bi T T0 r Pr z r r • нижняя (0 < r < 1, z = -1) и верхняя (0 < r < 1, z = 1) стенки: u r u z 0, p Gr T , z T 0. Алгоритм расчета 1. 2. 3. 4. Заполнение полей скорости и температуры в начальный момент времени Определение поля давления путем решения разностной краевой задачи для уравнения Пуассона. При t = 0 в качестве приближения используется сеточная функция pij(0) 0 ~ Нахождение полей скорости и температуры при t t t Переброска массивов и возврат к п.2 Течение считается установившимся, если 1 Nr Nz u max up r, z ri , z j ij u ij Алгоритм решения уравнения Пуассона в RZ геометрии Gik f ik Aik f i 1,k Bik f i 1,k Eik f i ,k 1 Fik f i ,k 1 H ik Где Aik ri ri 1 ri ri 1 ri 1 ri ri 1 , Bik ri 1 ri ri ri 1 ri 1 ri 1 ri , Eik 2 z k 1 z k 1 z k z k 1 , Fik 2 z k 1 z k 1 z k 1 z k , Gik Aik Bik Eik Fik . Величины Hik определяются правой частью уравнения движения Пусть Тогда f ik ik f i 1,k ik f i ,k 1 ik . ik Bik K ik , ik Fik K ik , ik Aik i 1,k f i 1,k 1 i 1,k Eik i ,k 1 f i 1,k 1 i ,k 1 H ik K ik , где K ik Gik Aik i 1,k Eik i ,k 1 . Результаты расчетов В численных расчетах изучено влияние граничного условия для температуры на свободной боковой поверхности на структуру конвективного движения расплава при различных числах Марангони и при отсутствии силы тяжести (Gr = 0). Расчеты проводились на равномерной сетке 82x242. На рисунках изображены линии тока и изотермы. №варианта Ma Bi Вид решения 1а 500 0 Стационарное решение 1б 1e4 1 Стационарное решение 2а 1e5 0.1 Нестационарное решение 2б 5e5 0.1 Нестационарное решение 1а)Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=500 . 1б )Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=1e4. На рисунках изображены линии тока и изотермы в моменты времени t=0.01, t=0.02, t=0.05. С течением времени было установлено стационарное течение при t=0.05. t=0.01 t=0.02 t=0.05 2а) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=1e5 t=0.00012 t=0.02 t=0.03 t=0.04 2б) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=5e5 t=0.001 t=0.004 t=0.009 t= 0.01564 Результаты • • Приведена математическая модель для описания течений квазинейтральной сжимаемой электропроводной жидкости – КМГД-система. На ее основе построена упрощенная математическая модель – КМГД-система в безындукционном приближении Обербека – Буссинеска, пригодная для численного моделирования движений полупроводниковых расплавов в постоянном внешнем магнитном поле. Выписан алгоритм ее численного решения, представляющий собой явную по времени однородную конечноразностную схему с искусственными регуляризаторами специального вида, которые обеспечивают высокую точность и устойчивость численного решения. Выполнена серия численных расчетов термокапиллярных течений полупроводникового расплава в жидком цилиндрическом столбике со свободной боковой поверхностью. Установлено, что: При (нуль потока) T r 0 и Ma до 1e5 – колебательный режим не возникает. • При (поток нулю не равен) T 0 r и Ma с 5e4 - возникает колебательный режим.