Понятие о механической системе Закон сохранения импульса

Понятие о механической
системе
Закон сохранения импульса
Механическая система – совокупность
материальных
точек
(тел),
рассматриваемых как единое целое.
• Внутренние силы – силы взаимодействия
между материальными точками, входящими
в механическую систему.
• Внешние силы – силы, которые действуют
на систему со стороны тел, не входящих в
систему.
• Замкнутая (изолированная) система –
система, на которую не действуют внешние
силы.
1
2
F
вн еш
n
Fв нутр   Fik  0.
3
Для 3-х тел:
1:
2:
3:
n
i 1 k 1
ik


F12  F13


F21  F23


F31  F32






F12  F13  F21  F23  F31  F32  0


F12  F21  0  IIIз. Ньютона
Закон сохранения импульса
Механическая система, состоящую из n
тел. Выделим i тело и запишем для
него второй закон Ньютона:

Fi внутр 

Fi внеш

 Fik
n


dvi 
mi
 Fi внутр  Fi внеш , (1)
dt
- равнодействующая
внутренних сил,
k 1
действующих на i тело,
ik
- равнодействующая внешних сил,
действующих на i тело.

n 
dvi n 
 mi dt   Fi внутр   Fi внеш , (2)
i 1
i 1
i 1
n
n
n 

 Fiвнутр   Fik  0 по
n
i 1


 Fi внеш  Fвнеш
3з  ну Ньютона.
i 1 k 1
ik
n
i 1
равнодействующая внешних сил,
действующих на систему (главный
вектор действующих на систему внешних си

d (mi vi ) 
 dt  Fвнеш , (3)
i 1
n
mi  const.
В математике показано, что сумма
производных равна производной от суммы
 n 
p   mi vi (5)

d n 
(  mi vi )  Fвнеш .(4)
dt i 1
импульс механической системы.
i 1
Векторная сумма импульсов тел,
входящих
в
систему,
есть
импульс
 
механической системы.
Замкнутая система:
dp
 Fвнеш .(6)
dt


dp

Fвнеш  0 
 0  p  const.
dt
Закон сохранения импульса:
импульс замкнутой системы – величина
постоянная, т.е. с течением времени не
меняется.




p  p x i  p y j  p z k , для замкнутой системы:
p x  const ,
p y  const ,
p z  const.
Закон сохранения импульса является
следствием однородности
пространства.
Однородность пространства (симметрия
пространства) заключается в том, что
при параллельном переносе замкнутой
системы в пространстве законы её
движения не изменяются, т.е. не
зависят от выбора точки отсчета.
Центр масс.
Теорема о движении центра масс
Центр масс (центр инерции) –
воображаемая точка, положение
которой характеризует распределение
массы рассматриваемой системы.
n

m
m
mi ri


rц. м.  i n1
.(1)
r
r
 mi
i 1


m1r1  m2 r2

rц. м. 
.
m1  m2
1
2
1
2
 n 
  mi ri 

drц. м. d  i 1
.(2)


dt
dt  n
  mi 
 i 1

n

 mi vi

vц. м.  i n1
n


Mvц . м.   mi vi .(5)
i 1
.(3)
 mi
i 1
n
Масса системы M   mi .(4)
i 1
 n 
p   mi vi  импульссистемы,
i 1
 
dp
 F.
dt
Дифференцируем уравнение (5)

dvц. м. dp 
M

 F .(6)
dt
dt
n


Mvц. м.   mi vi :
Движение системы как целого можно
рассматривать, как движение
материальной точки, масса которой
равна сумме масс тел, входящих в
систему, а равнодействующая сил,
приложенных к материальной точке,
равна главному вектору внешних сил,
действующих на систему.
i 1
M

dvц. м.
dt

F
– закон движения центра масс
Упрощение: движение системы сводится
к движению материальной точки.
Fравнодействующая  0  M

vц. м.  const.

dvц. м.
dt
0
Движение тел с переменной массой.
Уравнение Мещерского
В момент времени t тело массой m имеет
скорость v.
Через промежуток времени dt  m  dm,
dm – уменьшение массы,
dv – приращение скорости.
Изменение импульса системы:


 


 

 
v
 dm
v 
dp  
m

dm

dv

u   mv ,




импульс через dt


v  dv,


 


 

 
v
 dm
v 
dp  
m

dm

dv

u   mv ,




импульс через dt



mv
– импульс в момент времени t,
u – скорость dm относительно m (скорость
истечения газов относительно ракеты),
 
v  u – скорость dm в выбранной системе
отсчета (по теореме сложения скоростей
Галилея).








dp  mv  mdv  dmv  dmd
v  dmv  dmu  mv 
 
 mdv  udm.(1)
0
 dp
.
При действии на систему внешних сил: F 
dt
 

dv
 
 dm
Fdt  mdv  udm  m  F  u
.(2)
dt
dt

реактивная
сила
dm
  – удельный расход массы (расход
dt
массы за единицу времени).


u  v  тело ускоряется,


u  v тело замедляется.
  
ma  F  Fр .(3)
– уравнение движения
тел переменной массы
(уравнение Мещерского).


Fр    u – реактивная сила.
Реактивное движение.
Формула Циолковского
• 1903 г. – статья Циолковского о теории
движения ракет и жидкостных
реактивных двигателях.
Уравнение (2)
 
dv
 dm
m  F u
,
dt
dt
F  Fвнеш  0,
u  const .

dv
 dm

 dm
m  u
 dv  u
,
dt
dt
m
dm
v  u 
 u ln m  C ,(3)
m
начальные условия: v0 = 0, m0 – стартовая масса.
C  u ln m0 .
m0
v  u ln
, (4)
m
– формула Циолковского.
m0
v  u ln
m
Формула Циолковского показывает:
1. Чем больше конечная масса ракеты,
тем больше должна быть стартовая
масса m0.
2. Чем больше u, тем больше может быть
конечная масса ракеты при стартовой
m0.
Уравнения (3), (4) даны для случая v < c.
Проблема космических полетов
Космические скорости:
• Первая космическая скорость (круговая) –
спутник Земли:
v1 ≈ 8 км/с.
• Вторая космическая скорость
(параболическая) – скорость, с которой тело
может уйти из поля тяготения Земли и стать
спутником Солнца:
v2 ≈ 11,2 км/с.
• Третья космическая скорость – тело уходит
из Солнечной системы: v3 ≈ 16,7 км/с.
m0
v  u ln
,
m
u – скорость истечения газов,
для химического топлива u = 4 км/с.
m0
Для v1 отношение
должно быть 7,4,
m
v2
–
17,
v3
–
64.
Ближайшая звезда находится на расстоянии 4
световых лет, Чтобы достичь v  0,25c
при m = 20 т m0 должна быть ~ 10123 кг.
Для сравнения: МЗемли ≈ 6·1024 кг,
МСолнца ≈ 2·1030 кг, МГалактики ≈ 3·1041 кг.
• С помощью химического топлива полёты на
дальние планеты невозможны.