Вращательное движение твердого тела

Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Физические основы механики
Степанова Екатерина Николаевна
доцент кафедры ОФ ФТИ ТПУ
1
Тема: Динамика поступательного
и вращательного движения
1. Законы Ньютона.
2. Закон сохранения импульса произвольной системы тел
3. Динамика вращательного движения твердого тела
относительно точки
4. Динамика вращательного движения твердого тела
относительно оси
5. Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Теорема
Штейнера
6. Кинетическая энергия вращающегося тела
7. Закон сохранения момента импульса
8. Законы сохранения и их связь с симметрией пространства и
времени
9. Сходство и различие линейных и угловых характеристик
движения
2
1. Законы Ньютона
1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы
В основе классической или ньютоновской
механики
лежат
три
закона
динамики,
сформулированных И. Ньютоном в 1687 г. Эти
законы играют исключительную роль в механике
и являются (как и все физические законы)
обобщением
результатов
огромного
человеческого опыта.
Но в рамках классической физики невозможно объяснить
некоторые явления (абсолютно чёрного тела, распространение
световых волн.
Эти факты получили своё объяснение в новых теориях –
специальной теории относительности и квантовой механике.). 3
Первый закон Ньютона:
«Всякая материальная точка (тело) сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения до тех пор, пока воздействие со стороны
других тел не заставит её (его) изменить это
состояние».
Стремление тела сохранить состояние покоя
или
равномерного
прямолинейного
движения
называется инертностью. Поэтому первый закон
Ньютона называют законом инерции.
4
Механическое движение относительно, и его характер зависит
от системы отсчёта. Первый закон Ньютона выполняется не во
всякой системе отсчёта, а те системы, по отношению к которым
он выполняется, называются инерциальными системами
отсчёта.
Инерциальной системой отсчёта является такая система
отсчёта, относительно которой материальная точка,
свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо
движется прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной
скоростью).
Таким образом, первый закон Ньютона утверждает
существование инерциальных систем отсчёта.
5
2. Масса и импульс тела
Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает
изменение его скорости, т.е. сообщает данному телу ускорение.
Опыт показывает, что одинаковое воздействие сообщает
разным телам разные по величине ускорения. Всякое тело
противится попыткам изменить его состояние движения.
Это свойство тел называется инертностью (следует из первого
закона Ньютона).
Мерой инертности тела является величина, называемая
массой.
Чтобы определить массу некоторого тела, нужно сравнить её
с массой тела, принятого за эталон массы (или сравнить с телом
уже известной массы).
6
Масса – величина аддитивная (масса тела равна сумме
масс частей, составляющих это тело).
Система тел, взаимодействующих только между собой,
называется замкнутой.

Произведение массы тела m на скорость  называется
импульсом тела:


p  m
 кг  м 
 с 
7
3. Второй закон Ньютона
Математическое выражение второго закона Ньютона:
 
dp
=F
dt
- скорость изменения импульса тела равна действующей на
него силе.
 
Отсюда можно заключить, что dp=Fd t - изменение
импульса тела равно импульсу силы.
Получим выражение этого закона через ускорение a :



d
d 
dm  
m

F
.
но
 a,
 F. т. к. m  const то
dt
d
t
dt


тогда

ma = F
8
Принцип суперпозиции или
принцип независимости действия сил
Силы в механики подчиняются принципу суперпозиции.
Если на материальное тело действуют несколько сил, то

результирующую силу F можно найти из выражения:
 n 
F   Fi
i 1
9
4. Третий закон Ньютона
Действие тел друг на друга носит характер взаимодействия.
Третий закон Ньютона отражает тот факт, что сила есть
результат взаимодействия тел, и устанавливает, что силы, с
которыми действуют друг на друга два тела, равны по
величине и противоположны по направлению.


F12   F21
10
3-й Закон Ньютона в общем случае является универсальным
законом взаимодействий
При любом физическом взаимодействии, действиеодного
тела на другое вызывает равное по величине и
противоположно направленное действие второго тела на
первое
F12
F21
Особенности действующей и противодействующей сил:
1) обе эти силы имеют одинаковую природу;
2)
силы
равны
по
величине
при
любых
движениях
взаимодействующих тел друг относительно друга;
3) эти силы приложены к различным телам и, следовательно,
никогда не могут начинаться в одной точке
11
2. Закон сохранения импульса
Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как
единое целое, называется механической системой.
Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы,
называют внешними телами, а силы, действующие на систему
со стороны этих тел – внешними силами. Силы
взаимодействия между телами внутри системы, называют
внутренними силами.
Результирующая всех внутренних сил, действующих на in 

 

ое тело:
внутр.
Fi
= Fik  Fi1+Fi 2  ...+Fin
i 1
где k  1 – т.к. i-ая точка не может действовать сама на себя.
12
 внеш.
Обозначим Fi – результирующая всех внешних сил
приложенных к i-ой точке системы.
По второму закону Ньютона можно записать систему
уравнений:
 внеш. 



d
m1υ1   F1  F12  F13  ...  F1n ,
dt
 внеш. 



d
m1υ2   F2  F21  F23  ...  F2n ,
dt
...............................,
 внеш. 


d
m1υn   Fn  Fn1  ...  Fn,n1.
dt
13


Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы Fik и Fki
n
n 





d
внеш.
 dt mi υi    Fi  F12  F21   ...  Fn1,n  Fn,n1 .
i 1
i 1


По третьему закону Ньютона, Fik= Fki
поэтому все выражения в скобках в правой части уравнения
равны нулю. Тогда
n 
d

внеш.


m


F
 dt i i  i .
i 1
i 1
n
 n  внеш.
Назовем F   Fi
– главным вектором всех внешних сил,
n


p   mi υi
i 1
- импульс системы
i 1
Тогда:
 
dp
 F.
dt
14
 
dp
F
dt
Скорость
изменения
импульса
системы
равна главному вектору всех внешних сил,
действующих на эту систему – это уравнение
называют основным уравнением динамики поступательного
движения системы тел.


Так как импульс системы p=m υc то

d 
mc   F
dt
Отсюда можно записать основное уравнение динамики
поступательного движения системы тел в виде:

 
mac  F
Здесь ac – ускорение центра инерции.
15
Центр механической системы движется как материальная
точка, масса которой равна массе всей системы, и на
которую действует сила, равная главному вектору внешних
сил, приложенных к системе.
Механическая система называется замкнутой (или
изолированной), если на неё не действуют внешние силы, т.е.
она не взаимодействует с внешними телами.
Для замкнутой системы равнодействующий вектор
внешних сил тождественно равен нулю:
 
dp
 F  0,
dt
16
отсюда
 n 
p   mi υc  const.
i 1
Это есть закон сохранения импульса: импульс замкнутой
системы не изменяется во времени.
Импульс системы тел может быть представлен в виде
произведения
массы тел на скорость центра
 суммарной

инерции: p = mυc ,
тогда

mc  const.
При любых процессах, происходящих в замкнутых системах,
скорость центра инерции сохраняется неизменной.
17
3. Динамика вращательного движения
твердого тела относительно точки
Рассмотрим твердое тело, как некую
систему, состоящую из n точек (m1

m2 … mi); ri – радиус-вектор i-ой

Fi

Fik
точки, проведенный из точки О –
центра неподвижной инерциальной
системы отсчета. Обозначим:
– внешняя сила, действующая на i-ю точку,
– сила действия со стороны k-ой точки на i-ю.
18
Запишем основное уравнение динамики для точки:
n 

d

mi i    Fik  Fi .
dt
k 1
k i

Умножим обе части векторно на ri
 
   
 d
  
ri , d t mi υi =ri , Fik + ri ,Fi .


  k
Знак производной можно вынести за
произведения (и знак суммы тоже), тогда:

знак
векторного
 
d  
   
ri ,mi υi = ri ,Fik + ri ,Fi .
dt
k
1)
2)
3)
19
1)
Векторное произведение радиус-вектора точки

ri

на её импульс называется моментом импульса Li этой
точки относительно точки О.
  
L = [ri , mi υi ]
Эти три вектора
образуют правую
тройку векторов,
связанных «правилом
буравчика»:
20
 2)
Векторное произведение ri , проведенного в точку приложения
сил, на эту силу называется моментом силы:

 
M i = [ri , Fi ],
Обозначим li – плечо силы Fi.
т.к
sin(180  ) = sin,

то M i = Fi ri sin α = Fili ,
C учетом новых обозначений:

n 

dLi
  M ik  M i
dt k 1
21
Запишем систему n уравнений для всех точек системы и
сложим левые и правые части уравнений:

n
n n 
n 
dLi
 dt   M ik   M i
i 1
i 1 k 1
i 1
Здесь сумма производных равна производной суммы:
где

M

L
 n 
dL
dLi

dt i 1 dt
– момент импульса системы,
– результирующий момент всех внешних сил относительно
точки О.
 
Так как Fik=Fki , то

 M ik  0.
n
n
i 1 k 1
22
Отсюда
получим
основной
закон
динамики
вращательного движения твердого тела, вращающегося

 внеш
dL
=M
dt
вокруг точки.

Момент импульса системы L является основной динамической
характеристикой вращающегося тела.
Сравнивая
это
уравнение
с
основным
уравнением
динамики поступательного движения, можно заметить их
внешнее сходство
 
dp
= F.
dt
23
4. Динамика вращательного движения
твердого тела относительно оси
Описанное
движение
твердого
тела
относительно
неподвижной точки является основным видом движения.

Однако вычислить вектор L – момент импульса системы
относительно произвольной точки не просто: надо знать шесть
проекций (три задают положение тела, три задают положение
точки).

Значительно проще найти момент импульса L тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси (z).
24
Вращательное движение твердого тела
- такое движение системы
материальных точек, при котором
скорости прямолинейного движения
этих точек относительно заданной
ИСО равны нулю, а угловые скорости
относительно заданной оси одинаковы
Z
ω
ri
K
Y
Кинематические
условия движения
Кинематические
характеристики
движения
r = 0
ω = const
i = [ω,ri]
ai = [ε, ri]=riω2
X
ε
25

В этом случае составляющие M – момента внешних сил,
направленные вдоль x и y, компенсируются моментами сил
реакции закрепления и вращение вокруг оси z происходит
только под действием

Mz
26
Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z. Получим
уравнение динамики для некоторой точки mi этого тела,
находящегося на расстоянии Ri от оси вращения. При этом


помним, что Lz и M z направлены всегда вдоль оси вращения
z, поэтому в дальнейшем опустим значок z.


dLi
= Mi
dt
Так как
или

d  
[ R, mi υ] = M i
dt

υ i у всех точек разная, введем вектор угловой

скорости ω , причем
υ
ω= .
R
27
Тогда

d
2
(mi Ri ω) = M i
dt
Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения mi и
Ri останутся неизменными. Тогда:


2 dω
mi Ri
= M i.
dt
28
Обозначим Ii – момент инерции точки находящейся на
расстоянии R от оси вращения:
Ii =
2
mi Ri .
Так как тело состоит из огромного количества точек и все они
находятся на разных расстояниях от оси вращения, то
момент инерции тела равен:
m
I   R dm,
2
0
где R – расстояние от оси z до dm.
Как видно, момент инерции I – величина скалярная
29
Просуммировав
 по всем i-м точкам,
dω 
получим I
=M
dt
 
или I ε = M
Это
основное
вращающегося
уравнение
вокруг
динамики
неподвижной
тела
оси.
 
(Сравним: ma = F – основное уравнение динамики
поступательного движения тела).
 
Idω = Mdt;


Idω = dL
30


L = Iω

где L – момент импульса тела, вращающегося вокруг оси z.


p = mυ
(Сравним:
для поступательного движения).

При этом помним, что L

и M - динамические характеристики
вращательного движения, направленные всегда вдоль оси
вращения.

Причем, L
определяется направлением вращения,


как и ω , а M – зависит от того, ускоряется или замедляется
вращение.
31
Вращательное движение
Для проекций на ось вращения
получаем:
(эти формулы получены для одной
точки (вращающегося) твердого тела)

Li  J i z Момент импульса
z

M i  J i z Момент силы
z
J i z  mi  i2 Момент инерции
Суммируя по всему телу, получим:

Lz   Li  J z Момент импульса
n
i 1
твердого тела
z

M z   M i  J z
n
i 1
z
n
J z   Ji z
i 1
Момент силы
твердого тела
Момент инерции
твердого тела
Основной закон динамики вращательного
движения твердого тела
Z
Li|z
ω
ρi
M i| z
K
32
5. Расчет моментов инерции некоторых
простых тел. Теорема Штейнера
m
По формуле
I   R 2dm не всегда просто
0
удается рассчитать момент инерции тел произвольной
формы.
Наиболее легко эта задача решается для тел простых форм,
вращающихся вокруг оси, проходящей через центр инерции
тела Ic. В этом случае, при вычислении Ic по формуле,
появляется коэффициент k:
I c = kmR
2
33
Значения моментов инерции однородных тел
правильной геометрической формы
34
При вычислении момента инерции тела, вращающегося
вокруг оси, не проходящей через центр инерции, следует
пользоваться теоремой о параллельном переносе осей или
теоремой Штейнера (Якоб Штейнер, швейцарский геометр
1796 – 1863 гг.):
I = I c + md
2
«Момент инерции тела I
относительно любой оси
вращения равен моменту его
инерции Ic относительно
параллельной оси, проходящей
через центр масс С тела, плюс
произведение массы тела на
квадрат расстояния между
35
осями».
6. Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия – величина аддитивная, поэтому
кинетическая энергия тела, движущегося произвольным
образом, равна сумме кинетических энергий всех n
материальных точек, на которое это тело можно мысленно
n
разбить:
mi i2
Eк  
i 1
2
Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой

 
скоростью ω , то линейная скорость i-й точки υi = ωRi
Следовательно,
2
ω2 n
I
ω
2
Eк вращ. 
m
R

i i 
2 i 1
2
36
Из сопоставления выражений для кинетической энергии
можно увидеть, что момент инерции тела I – является мерой
инертности при вращательном движении. Так же как масса m –
мера инерции при поступательном движении.
В общем случае движение твердого тела можно представить
в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью
с и вращательного – с угловой скоростью  вокруг мгновенной
оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная
кинетическая энергия этого тела:
Ек полн.
2
mc
I c


2
2
2
37
7. Закон сохранения момента импульса

Для замкнутой системы тел момент внешних сил М
всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не
действуют на замкнутую систему:

L = const,

dL 
M 0
dt
или
, отсюда

Iω = const
Закон сохранения момента импульса – момент импульса
замкнутой системы тел относительно любой неподвижной
точки не изменяется с течением времени.
38
8. Законы сохранения и их связь c
симметрией пространства и времени
Три фундаментальных закона природы: закон сохранения
импульса, момента импульса и энергии.
Следует понимать, что эти законы выполняются только в
инерциальных системах отсчета. В самом деле, при выводе этих
законов использованы второй и третий законы Ньютона, а
последние применимы только в инерциальных системах.
39
1.
В
основе
закона
сохранения
энергии
лежит
однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов
времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета
времени).
2.
В
основе
закона
сохранения
импульса
лежит
однородность пространства, т. е. одинаковость свойств
пространства во всех точках (симметрия по отношению к
сдвигу начала координат).
3. В основе закона сохранения момента импульса лежит
изотропия
пространства
пространства,
по
всем
т.е.
одинаковость
направлениям
свойств
(симметрия
по
отношению к повороту осей координат).
40
Законы сохранения проявляются как принципы запрета:
«Любое явление, при котором не выполняются хотя бы
один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие
явления никогда не наблюдаются».
Всякое явление, при котором не нарушается ни один из
законов сохранения, в принципе может происходить.
41
9. Сходство и различие линейных и
угловых характеристик движения
Формулы кинематики и динамики вращательного движения
легко запоминаются, если сопоставить их с формулами
поступательного движения (см. таблицу).
42
43