Динамика механической системы твердого тела3

Глава 3
Динамика механической системы и
твердого тела
§ 12. Некоторые виды систем
12.1. Неизменяемая система
12.2. Система с идеальными связями
12.3. Примеры идеальных связей
§ 13. Дифференциальные уравнения движения твердого
тела
§ 14. Принцип Даламбера для механической системы
14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции
системы
14.2. Приведение сил инерции твердого тела
14.3. Динамические реакции, действующие на ось при
вращении тела
§ 12. Некоторые виды систем
12.1. Неизменяемая система
Неизменяемой называют механическую систему, в
которой расстояние между каждыми двумя
взаимодействующими точками во все время движения
остаётся постоянным
Рассмотрим две точки в неизменяемой системе, т.е.
В1В2 = const
V1
Пусть точка В1 движется со
скоростью V1 ,
α
а точка В2 – со скоростью V2 ,
V2
В1
тогда по теореме о проекциях
F12
β
F21 В2
скоростей V1 cos   V2 cos ,
т.к.
ds  V  dt
, то
ds1 cos   ds2 cos 
следовательно,
A  F
F
A  F   F
i
12
 ds1 cos ,
i
12
i
21
i
21
 ds2 cos 
Сложим эти выражения, воспользовавшись свойством
внутренних сил, тогда имеем
A  F
i
12
  A  F   0,
i
21
и теорема об изменении кинетической энергии для
e
такой системы будет dT 
dA F
  
k
k
или
T1  T0   A  Fke 
k
12.2. Система с идеальными связями
Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не
изменяющиеся со временем
Разделим все внешние и внутренние силы на активные
и реакции связей, тогда dT 
dAka 
dAkr

k

Т.к. силы реакции связи – постоянные, то
k
r
dA
 k  0,
k
и теорема об изменении кинетической энергии для такой
системы запишется
dT   dAka
k
Связи называются идеальными, если они не
изменяются со временем и при элементарном
перемещении системы сумма их работ равна нулю
12.3. Примеры идеальных связей
1. Движение по гладкой поверхности
dA  Fтр   0
2. Если связью является неподвижная поверхность
(или кривая), трением о которую можно пренебречь
A N   0
3. Качение без скольжения по твердой поверхности
A  Fтр   0
4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без
деформаций)
A F
0 и A N 0

сопр

 
5. При нерастяжимых нитях и стержнях
A  Fупр   0
6. Шарнирно неподвижная опора
A  Rшарн   0 ,
если Fтр = 0
Вывод
В случае системы с идеальными связями теорема об
изменении кинетической энергии
Tкон  Tнач   A Fka 
k
(22)
§ 13. Дифференциальные уравнения
движения твердого тела
1. Если тело двигается поступательно, то
дифференциальное уравнение его движения запишется
как движение центра масс
M aC   Fke
(23)
k
в координатном представлении
M xC   Fkxe ;
M yC   Fkye ;
k
k
M zC   Fkze
k
2. Если тело двигается вращательно, то по теореме
dK Z
моментов
  momZ Fke . K Z  J Z  , а    ,
 
dt
(24)
k
J Z     momZ  Fke 
k
– дифференциальное
уравнение движения
вращающегося тела
3. Если тело двигается плоско-параллельно, то
положение его центра масс описывает уравнение
движения центра масс системы, а уравнение для
вращательного движения – его вращение относительно
МЦС
M xC   Fkxe
k
M yC   Fkye
k
M zC   Fkze
k
J zC    momzC  Fke 
k
(25)
§ 14. Принцип Даламбера для
механической системы
Для каждой точки системы можем записать уравнение
e
i
ин
принципа Даламбера Fk  Fk  Fk  0
Просуммируем по всем точкам системы
e
i
ин
F

F

F
 k k k   0
(26)
k
Если в любой момент времени к каждой из точек
системы кроме действующих на нее внешних и
внутренних сил присоединить соответствующие
силы инерции, то полученная система сил будет
уравновешенной и к ней можно применить все
уравнения статики
Введем обозначения
R ин   Fkин
− главный вектор сил инерции,
k
M Оин   momО  Fkин 
k
F  0
i
k
Так как
− главный момент сил инерции
относительно центра О
и
k
i
mom
F
 O k 0
, то
k
e
ин
F

R
0
 k
k
 mom  F   M
O
k
e
k
ин
O
0
(27) − условия равновесия
механической
системы
14.1. Главный вектор и главный момент
сил инерции системы
При поступательном движении
 F   M a   0
e
k
R  M aC
(28)
R  M aC
R   M aCn
ин

ин
n

k
C
k
ин
M aC   Fke
Главный вектор сил инерции
системы равен произведению
массы системы (тела) на
ускорение центра масс и
направлен в противоположную
сторону ускорения
Тангенциальная и нормальная
(центробежная) силы инерции
По теореме об изменении кинетического момента
dK O
dK O 

e
e
  momO  Fk    momO  Fk    
0
dt
 dt 
k
k
M
ин
O
 dK O 
 

 dt 
M
ин
Z
 dK Z 
 

 dt 
(29) − главный момент
сил инерции системы
относительно центра О
− главный момент
сил инерции системы
относительно оси Z
14.2. Приведение сил инерции твердого тела
Систему сил инерции твердого тела можно
заменить одной силой Rин, приложенной в
произвольно выбранном центре О, и парой сил с
моментом, равным МОин.
1. Пусть механическая система движется поступательно,
тогда ak  aC
Все силы инерции образуют систему параллельных
сил и имеют равнодействующую, проходящую через
центр масс системы
F ин   M  aC
2. Пусть механическая система, обладающая
плоскостью симметрии ОХY, движется вращательно
относительно оси ОZ, тогда результирующая сила Rин
и пара сил с моментом МОин будут лежать в
плоскости ОХY
M
ин
Z
dK Z
 JZ  JZ

dt
здесь ε − угловое ускорение системы
3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс
системы
Если твердое тело совершает такое движение, то
сила R ин  0 , т.к. aC  0, следовательно, система сил
ин
инерции сводится к паре сил с моментом, равным M CZ
4. Плоско-параллельное движение
Если тело имеет плоскость симметрии и движется
параллельно этой плоскости, то равнодействующая сил
инерции лежит в ней и приложена к центру масс тела, а
пара сил имеет момент
ин
M CZ
  J CZ  
ε − угловое ускорение тела
14.3. Динамические реакции, действующие на
ось при вращении тела
Реакции, возникающие в опорах при движении тела,
называются динамическими
Свяжем с телом оси АХYZ,
вращающиеся вместе с ним с
Z
B
постоянной угловой скоростью ω
e
e
F2
ω F1
Тогда координаты центра масс
и моменты инерции тела будут
постоянными величинами
Пусть на тело действуют
заданные силы, то проекции
главного вектора этих сил будут

Rxe   Fkxe
k
Rye   Fkye
k
Y
Rze   Fkze
Fne
A
Х
k
Главные моменты относительно тех же осей
e
M xe   momx  Fke , M ye   momy  Fke , M z  0, т.к. ω = const
k
k
Определим динамические реакции подшипников
XA, YA, ZA, XB, YB
Z YB
Присоединим силы инерции всех
B
ХВ
частей тела, приведя их к центру А
e
ω
F
e
1
F2
Равнодействующая сила Rин и
пара с моментом
М Аин   momA Fkин
 
k
Fn
ZА
ХА
Х
A
МХин
e
M
YА
МYинY
Rин
Проекции этого момента будут
M xин   momx Fkин
M
ин
y
čí
z
 
  mom  F 
k
y
k
ин
k
 0, т.к.   const
Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b
X A  Х В  Rxe  Rxин  0,
F2eХВ
Z YB
ω F1e
B
n
C
О a
hC
ХА
Х
МХин
Z A  Rze  Rzин  0,
YB  b  M xe  M xин  0,
X B  b  M ye  M yин  0,
С
M ze  M zин  0
ZА
A
YA  YB  Rye  Ryин  0,
YА
Rин
Главный вектор сил инерции
Fne Rин = - maC , где m – масса тела
Центр масс С имеет только
нормальное ускорение , т.к.
Y
ин
n
2
МY
ω = const , aC    hC ,
где hC = ОС – расстояние центра
масс С от оси вращения тела
Вычислим проекции Rин и учтем, что Rин ||ОС и
hC cos   xC , hC sin   yC , где xC и yC – координаты
центра масс С
F2
Х
e В
Rxин  m 2hC cos   m 2 xC ,
Z YB
B
ω F1
hk
n
C
О a
hC
Х
Рассмотрим какую-нибудь
точку тела, чтобы
определить моменты сил
инерции относительно осей.
С
Fn e
YА
A
МХин
Rzин  0
mk
ZА
ХА
Ryин  m 2hC sin   m 2 yC ,
e
МYинY
α
Rин
Для нее тоже сила инерции
имеет только центробежную
составляющую, т.к. ω=const
Fkин  mk  2  hk
Определим проекции
Fkxин  mk  2  xk ,
Fkyин  mk  2  yk ,
F2
Х
e В
Z YB
B
ω F1e
hk
n
C
О a
hC
mk
С
ZА
A
ХА
Х
МХин
YА
Rин
Fkzин  0,
momx  F

F   F
ин
k
momy
ин
k
2


m

yk zk ,
 F z
k
ин
ky k
2
z  mk  xk zk
ин
k
k
Просуммируем по всем
точкам тела


M xин     mk yk zk  2   J yz 2 ,
 k

e
Fn


M yин    mk xk zk  2  J xz 2 ,
 k

Y
МYин Jxz и Jyz – центробежные
моменты инерции тела
Подставим в уравнения равновесия
Уравнения определяют
динамические реакции в
подшипниках
F2e ХВ
hk
n
C
О a
С
hC
Х
ХА
A
МХин
X B  b  M ye  J xz 2 ,
YB  b  M xe  J yz 2
mk
Fne
ZА
YА
Rин
YA  YB   Rye  m  yC  2 ,
Z A   Rze ,
Z YB
F1e
ω
B
X A  X B   Rxe  m  xC  2 ,
МYин
Y
Если ω = 0, то получаем
статические реакции
Динамические реакции
значительно больше
статических
Это зависит не только от ω,
но и хС, уС, Jxz, Jyz.
Если хС = 0, yС = 0, Jxz = 0, Jyz = 0, то наличие
вращения не влияет на значения реакций подшипников
Получили условие динамической уравновешенности
вращающегося тела относительно оси Z
Динамическое уравновешивание вращающихся тел –
важная техническая задача
Любую ось, проведенную в теле, можно сделать
главной центральной осью инерции, прибавляя к телу
две точечные массы!
Пусть для тела массой m координаты его центра масс
и центробежные моменты инерции известны и не равны
нулю: хС ≠ 0, yС ≠ 0, Jxz ≠ 0, Jyz ≠ 0
Прибавим к телу ещё две массы m1 и m2 в точках с
координатами (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2)
Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и
её центробежные моменты инерции
1
rC   mk rk , Чтобы для полученной системы
M k
ось Z стала главной центральной
J xy   mk xk  yk , осью инерции, необходимо
k
J yz   mk yk  zk ,
k
J zx   mk zk  xk
k
выполнение следующих условий
m xC  m1 x1  m2 x2  0,
m yC  m1 y1  m2 y2  0,
J xz  m1 x1 z1  m2 x2 z2  0,
J yz  m1 y1 z1  m2 y2 z2  0
Тогда х’С = 0, y’С = 0, J’xz= 0, J’yz = 0
Механический смысл величин
J xz
и
J yz
Центробежные моменты инерции характеризуют
степень динамической неуравновешенности тела при
его вращении вокруг оси Z
ин
M CZ