Digital Signal Processing Лекция 2 DSP Дискретные сигналы и системы • • • • • • DSP Классификация сигналов и систем Дискретные сигналы (последовательности) Дискретные линейные системы с постоянными параметрами Устойчивость и физическая реализуемость ДЛС Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами Представление дискретных сигналов и систем в частотной области Дискретные сигналы и системы y ( n) x(k )h(n k ) x(n) * h(n). k (n) ЛПП система DSP h(n) (1.7) Дискретные сигналы и системы Примеры свертки: DSP Дискретные сигналы и системы Устойчивость и физическая реализуемость • Устойчивой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная система с постоянными параметрами устойчива тогда и только тогда, когда (1.9) S h(k ) . k • Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и (1.9) справедливо, тогда y ( n) k k k h(k ) x(n k ) h(k ) x(n k ) M h(k ) . Следовательно, y(n) ограниченная. • Необходимость. Если S=, то для ограниченного входного сигнала 1, при h(n) 0; x ( n) 1, при h(n) 0; DSP Дискретные сигналы и системы • Необходимость (продолжение) выходной сигнал при n=0 равен y (0) k k x ( k ) h( k ) h( k ) h(m) S . m то есть y(0) – не ограничено. • Физически реализуемая система – это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе. Поэтому отклик y(n0) зависит только от x(n) для nn0 Это требует, чтобы h( n) 0,при n<0. Такую систему называют еще каузальной (causal - причинный). Для нее y ( n) n x(k )h(n k ), k DSP Дискретные сигналы и системы Пример. Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику h(n) a nu (n). Поскольку h(n) 0, при n<0, система физически реализуема. Вычислим S | h ( k ) | | a |k . k k 0 Если | a | 1, бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму S 1 , 1 | a | но, если | a | 1, ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при | a | 1. h(n) DSP |a|<1 – система устойчивая h(n) |a|>1 – система неустойчивая Дискретные сигналы и системы Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному разностному уравнению N-го порядка с постоянными коэффициентами вида N M a ( k ) y ( n k ) b( k ) x ( n k ) k 0 (1.10) k 0 Общепринято предполагать, что такое разностное уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя в общем случае это не так. Например, разностному уравнению 1-го порядка y (n) ay (n 1) x(n) при x(n) (n) удовлетворяют как y(n) a u (n), n так и y(n) a u (n 1). n DSP (1.11) Дискретные сигналы и системы Первое решение соответствует физически реализуемой системе, второе нет. Без добавочной информации разностное уравнение (1.10) неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом. Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y1(n) при х(n) =х1(n), то ему также удовлетворяет решение вида у(n) = у1(n) +k an, где k - произвольная постоянная. В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить составляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта сумма также будет удовлетворять (1.10). Решение однородного уравнения N a(k ) y(n k ) 0, k 0 имеет вид y ( n) N n A z k k , если zk – совокупность простых k 1 корней характеристического уравнения DSP N a(k ) z k 0 N k 0. Дискретные сигналы и системы Константы Ak определяются начальными условиями. Для кратных корней решение записывается иначе. Для физически реализуемой системы разностное уравнение можно переписать в виде N M k 1 k 0 y (n) (a(k ) / a(0)) y (n k ) (b(k ) / a (0)) x(n k ). Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить, зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых значений выхода и входа. Как и в случае свертки, разностное уравнение не только дает теоретическое описание системы, но может быть основой для реализации системы. DSP Дискретные сигналы и системы Пример. y (n) ay (n 1) x(n). Положим х(n)=(n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0. Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой: h(n) 0; n 0; h(0) ah( 1) 1 1; h(1) ah(0) a; . . Таким образом DSP h(n) ah( n 1) a n . h(n) a nu (n). Дискретные сигналы и системы Пример получения разностного уравнения и его решения из области денежных платежей. Банк предоставил ссуду в размере 50000 долларов, которая должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами размером p долларов. Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные платежи и общая возвращенная банку сумма денег? Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь место следующее соотношение (разностное уравнение): P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360, где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента. Первоначально Р(0) = 50000 и мы хотим найти значение p , при котором Р(360) = 0. DSP Дискретные сигналы и системы Пример (продолжение). Запишем последовательные решения: P(1) (1 r ) P(0) p; P(2) (1 r ) P(1) p (1 r ) 2 P(0) p[1 (1 r )]; P(3) (1 r ) 3 P(0) p[1 (1 r ) (1 r ) 2 ]; (1 r ) n 1 P(n) (1 r ) P(0) p (1 r ) (1 r ) P(0) p. r k 0 n 1 n k n Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем r (1 r ) 360 0,0125 *1,0125360 p P(0) 50000 632,22 долларов. 360 360 (1 r ) 1 1,0125 1 Полная сумма возврата за ссуду составит величину 360*р = 227599,22 долларов. DSP Дискретные сигналы и системы Типы импульсных характеристик ЛПП систем. ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной, так и бесконечной длительности. Будем называть системы с конечной импульсной характеристикой - КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами. Если в (1.10) положить N=0, так что 1 M y ( n) b(k ) x(n k ), a ( 0) k 0 тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХсистеме с импульсной характеристикой (b(n) / a(0)), n 0,1,..., M ; h( n) 0 - в остальных случаях. DSP Для БИХ-системы должно быть N>0. Дискретные сигналы и системы Представление дискретных сигналов и систем в частотной области. Особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности, поскольку в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛППсистемы является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой. Пусть входная последовательность х(n) =ejn для -< n<. Тогда выходной сигнал ЛПП-системы y ( n) h ( k )e j ( n k ) e k Если ввести H (e j j n jk h ( k ) e . k ) j k h ( k ) e , (1.13) k то DSP y(n) H (e j )e jn . (1.14) Дискретные сигналы и системы Частотная характеристика системы. H(ej) называется частотной характеристикой системы, у которой импульсная характеристика равна h(n). e j n ЛПП-система e jn H (e j ) Рис. 1.12. Получение частотной характеристики системы еjn – собственная функция ЛПП-системы. В общем случае H(ej) - комплексная функция H(ej) = HRe(ej)+j HIm(ej)= | H(ej) |ejarg[H(.)] . | H(ej) |={[HRe(ej)]2+[HIm(ej)]2}1/2 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы DSP arg H(ej)=arctg { HIm(ej)/ HRe(ej)} - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) системы Дискретные сигналы и системы Частотная характеристика системы (продолжение). Частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал x(n) A cos( 0 n ) ( A / 2)e j e j 0 n ( A / 2)e j e j 0 n . Отклик на ( A / 2)e j e j0n равен y1 (n) H (e j )( A / 2)e j e j n . 0 Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал A ( ) e j e j 0 n 2 является комплексно-сопряженным с откликом y1(n): A y2 (n) H (e j 0 )( )e j e j 0 n . 2 Поэтому результирующий отклик y (n) ( A / 2)[ H (e j 0 )e j e j 0 n H (e j 0 )e j e j 0 n ] ( A / 2) H (e j 0 ) [e j[ 0 n ] e j[ 0 n ] ] Re{ H (e j 0 ) Ae j e j0 n } A H (e j 0 ) cos( 0 n ), DSP 0 Дискретные сигналы и системы Частотная характеристика системы (продолжение). arg[ H (e j )] - значение фазо-частотной характеристики 0 системы на частоте 0. Пример расчета частотной характеристики. Рассмотрим систему с импульсной характеристикой 1, 0 n N 1; h( n) 0 в остальных случаях. Рис. 1.13 Импульсная характеристика системы. DSP Дискретные сигналы и системы Пример расчета частотной характеристики (продолжение). Частотная характеристика равна N 1 H (e ) e j n 0 jn 1 e jN e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) sin( N / 2) j ( N 1) / 2 j / 2 j / 2 e . j j / 2 sin( / 2) 1 e e (e e ) Рис. 1.14 АЧХ и ФЧХ системы. DSP Дискретные сигналы и системы Свойства частотной характеристики 1. Частотная характеристика H(ej) является функцией непрерывной частоты , и это периодическая функция частоты с периодом 2. Это свойство следует непосредственно из определения, так как ej(k = ejk. Поэтому для полного описания H(ej) достаточно задать ее на интервале - (02) 2. Для действительных h(n) АЧХ системы - H(ej) - четная функция , а ФЧХ – argH(ej) – нечетная функция на интервале -. В этом случае интервал задания H(ej) сокращают до 0. DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье. Поскольку H(ej) - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и представляет H(ej) в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через H(ej) как коэффициенты Фурье периодической функции т. е. h(n) (1 / 2 ) H (e j )e jn d , (1.17) где j H (e ) j n h ( n ) e . n DSP (1.18) Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). h(n) (1 / 2 ) H (e j )e jn d , где j H (e ) (1.17) j n h ( n ) e . (1.18) n Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратного преобразования Фурье. DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). Представление последовательности преобразованием (1.18) будет справедливо для любой последовательности. Поэтому для произвольной последовательности х(n) определим прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ) соотношением X ( e j ) x ( n )e j n , (1.19) n а обратное преобразование Фурье - соотношением x(n) (1 / 2 ) X (e j )e jn d , (1.20) X(ej) = | X(ej) |ejarg[X(e )] – спектральная характеристика последовательности x(n). | X(ej) | - амплитудно-частотный спектр, arg[X(ej)] – фазо-частотный спектр. j Если DSP x ( n ) , n то спектральная характеристика X(ej) последовательности х(n) существует. Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных систем с постоянными параметрами. Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на H(ej), то y (n) T [ x(n)] T [(1 / 2 ) X (e j )e jn d ] (1 / 2 ) X (e j )T [e jn ]d . (1 / 2 ) H (e j ) X (e j )e jn d (1 / 2 ) Y (e j )e jn d . Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно Y (e j ) H (e j ) X (e j ). (1.21) Этот результат может быть получен путем применения преобразования Фурье к свертке y ( n) DSP x(k )h(n k ). k Дискретные сигналы и системы Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику 1, ср ; H (e ) 0, ср . j Так как H(ej) является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех . Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот ср . DSP Рис. 1.15 Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот. Дискретные сигналы и системы Пример (продолжение). Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17): ср h(n) (1 / 2 ) e jn d (sin ср n / n) ср Рис. 1.16 Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза ср.=/2. Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр. DSP Дискретные сигналы и системы Последовательность ДВПФ x(n) X(ej) x(n-m) X(ej)e-jm x(n)ejn X(ej(-)) x ( k ) h( n k ) X(ej) H(ej) k x(n)y(n) 1 2 X (e j )Y (e j ( ) )d Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ. DSP