13 Повторение испытаний.Лок. и интегр. теоремы

«Повторение
испытаний»
План
I.
II.
III.
IV.
Формула Бернулли
Локальная теорема Лапласа
Интегральная теорема Лапласа
Вероятность отклонения
относительной частоты от
постоянной вероятности в
независимых испытаниях
I.
 Стоит задача, вычислить вероятность того,
что при n испытаниях событие А
осуществится ровно k раз и,
следовательно, не осуществится (n – k)
раз. Важно подчеркнуть, что не требуется,
чтобы событие А повторялось ровно k раз
в определенной последовательности.
 Искомую вероятность обозначим Pn(k)
(#P5(3)).
 Задачу можно решить с помощью формулы
Бернулли
Pn (k )  Cnk  p k  q n  k
n!
Pn (k ) 
 p k  q nk
k !( n  k ) !
 Легко видеть, что пользоваться
формулой Бернулли при больших
значениях n достаточно сложно, т.к.
формула требует выполнения
действий над громадными числами.
(# P50(30))
II.
 Естественно возникает вопрос:
нельзя ли вычислить
интересующую нас вероятность,
не прибегая к формуле
Бернулли? Оказывается, можно.
Локальная теорема Лапласа дает
формулу, которая позволяет
приближенно найти вероятность
появления событий ровно k раз в
n испытаниях, если число
испытаний достаточно велико.
Th:
 Если вероятность р появления
события А в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и
единицы, то вероятность Pn(k) того,
что событие А появится в n
испытаниях ровно k раз
приближенно равна (тем точнее,
чем больше n) значению функции
y
1
1
 x2 / 2

e

npq 2
при
x  (k  np) / npq
1
  ( x)
npq
1  x2 / 2
e
( x  0) - локальная функция
  ( x) 
2
Лапласа
 Функция φ(x) четная, т.е. φ(-x) = φ(x)
1
Pn (k ) 
  ( x)
npq
#.
 Найти приближенно вероятность
того, что при 400 испытаниях
событие наступит ровно 104 раза,
если вероятность его появления в
каждом испытании равна 0,2.
 n = 400
 k = 104
 p = 0,2 ,
q = 0,8
 104  80 
1

P400 (104) 
  
400  0,2  0,8  400  0,2  0,8 
1  24  1
1
        (3)   0,0044  0,00055
8  8  8
8
P400 (104)  0,0006
III. Интегральная теорема
Лапласа
 Th: Если вероятность р наступления
события А в каждом испытании постоянна
и отлична от нуля и единицы, то
вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А,
появится в n испытаниях от k1 до k2 раз,
приближенно равна определенному
интегралу.
x
1
 x2 / 2
Pn (k1 , k2 ) 
e
dz,

2 x
x  (k1  np) / npq и k   (k2  np) / npq
 При решении задач пользуются
специальной таблицей.
x
2
1

z
/2
 Таблица для интегралаФ( х) 
e dz, x  0

2
0
для х < 0 пользуемся той же
таблицей, т.к. Ф(х) нечетная, т.е. Ф(х) = - Ф(х).
 В таблице приведены значения до x
= 5 для х > 5 можно принять Ф(х) =
0,5
 Ф(х) – функция Лапласа.
1
Pn (k1 , k 2 ) 
2
1

2
x
e
0
z2 / 2
0
e
z2 / 2
x
1
dz 
2
x
1
z2 / 2
dz 
e
dz 

2 0
x
e
z2 / 2
dz  Ф( х)  Ф( х)
0
 Итак, вероятность того, что событие
А появиться в независимых
испытаниях от k1 до k2 раз,
Pn (k1 , k2 )  Ф( х)  Ф( х)
#
 Вероятность поражения мишени
стрелком при одном выстреле равна
0,75. Найти вероятность того, что
при 100 выстрелах мишень будет
поражена не менее 70 и не более
80 раз.
 p = 0,75, q = 0,25
 n = 100
 k1 = 70, k2 = 80
 80  75   70  75 

  Ф
P100 (70, 80)  Ф



 75  0,25   75  0,25 
 5 
 2 
  2Ф   2Ф(1,15) 
 2Ф
 3
 0,5  5 3 
 2  0,3749  0,7498
IV.
 Поставим перед собой задачу найти
вероятность того, что отклонение
относительной частоты m/n от
постоянной вероятности p по
абсолютной величине не превышает
заданного числа E > 0. Другими
словами, найдем вероятность
осуществления неравенства
|m/n – p| ≤ E
 Эту вероятность будем обозначать
так:
P(| m / n  p | E)  2Ф( E n /( pq) )
Итак, вероятность осуществления
неравенства |m/n – p| ≤ E
приближенно равна значению
удвоенной функции Лапласа
n
2Ф(х) при х  E
pq
#
 Вероятность появления события в
каждом из 10 000 независимых
испытаний р = 0,75. Найти
вероятность того, что
относительная частота появления
события отклонится от его
вероятности по абсциссе величине
не более чем на 0,001
#
 Вероятность появления события в
каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти, какое отклонение
относительной частоты появления
события от его вероятности можно
ожидать с вероятностью 0,9128 при
5000 испытаниях.