Вероятностная модель оценки индексов влияния «Центр-Филиалы» 06-06-0002 ГУ-ВШЭ Нижний Новгород Бацын М.В. Описание модели • Игрок влияет на исход голосования только в тех случаях, когда он ключевой. • Индекс влияния – это вероятность игрока повлиять на исход голосования, т.е. оказаться ключевым. • Вероятность оказаться ключевым определяется распределением вероятностей итогов голосования. • Различные распределения вероятностей порождают различные индексы влияния. • Предпочтения участников выражаются условными вероятностями: P(i=да/j=да). . Вычисление индекса влияния Индекс влияния Pw игрока k равен: Pw(k ) p yes (k , ) pno (k , ) q k q p yes (k , ) pi1 ... in 1, если l il 1, если l k 0, иначе , pno (k , ) pi1 ... in 1, если l il 0, если l k 0, иначе Суммирование производится по всем коалициям, которые игрок k делает выигрывающими p yes ( k , ) – вероятность того, что игрок k присоединился к коалиции , проголосовав «да» и обеспечив результат всего голосования «да» pno (k , ) – вероятность того, что игрок k не присоединился к коалиции ,проголосовав «нет» и обеспечив результат всего голосования «нет» Пример вычисления Пусть игрок А – ключевой в коалициях АВ и АВС, т.е. он делает выигрывающими коалиции В и ВС, тогда: p yes ( A, B) p110 , pno ( A, B) p010 p yes ( A, BC ) p111, pno ( A, BC ) p011 Pw( A) ( p110 p010 ) ( p111 p011) Индексы Банцафа и Шепли-Шубика Индекс Банцафа для игрока i из n игроков равен: i Ni n N k 1 k где Ni – это число коалиций, в которых i – ключевой Индекс Шепли-Шубика для игрока i равен: ( s 1)!(n s)! i n! S где i – ключевой в S, а s=|S| – число игроков в коалиции S Пример вычисления индексов Пусть в голосовании с квотой q=51 участвуют партии A, B, C, D, E с весами 5, 10, 20, 30, 35. Выпишем для каждой партии коалиции, в которых она является ключевой: A: B: C: D: E: ACD BCD CE, ACD, ACE, BCD , BCE , ABCD, ABCE DE , ACD, ADE , BCD, BDE , ABCD, ABDE CE, DE , ACE, ADE , BCE , BDE , CDE , ABCE , ABDE Индекс Банцафа: 1 1 7 7 9 , , , , 25 25 25 25 25 Индекс Шепли-Шубика: 2 2 17 17 22 , , , , 60 60 60 60 60 Вероятностная интерпретация Штраффина (Straffin, 1977) • Условие независимости: все игроки голосуют независимо друг от друга, и вероятность проголосовать «да» равна ½ для каждого из них • Условие однородности: сначала генерируется значение случайной величины p распределенной равномерно на отрезке [0,1], а затем вероятность проголосовать «да» выбирается равной p для каждого игрока • Вероятность игрока быть ключевым в голосовании при условии независимости равна индексу Банцафа, а при условии однородности – индексу Шепли-Шубика Индексы Банцафа и Шепли-Шубика Распределения вероятностей итогов голосования, соответствующие индексам Банцафа и Шепли-Шубика 1 Индекс Банцафа: pi1 ,i2 ,..., in n 2 n 1 , где k il Индекс Шепли-Шубика: pi1 ,i2 ,..., in k (n 1)Cn l 1 Предпочтения участников для Банцафа и Шепли-Шубика одинаковы для любой пары игроков. Ограничения на коалиции • Запрет образования определенных коалиций требует модификации распределения вероятностей. • Вероятности исходов, соответствующих запрещенным коалициям, приравниваются к 0. • Остальные вероятности увеличиваются пропорционально так, чтобы сумма всех вероятностей из совместного распределения оставалась равной 1. • Если, например, запрещена коалиция АВС, то: p111 0 S p000 p001 p010 p011 p100 p101 p110 p000 p000 p , ..., p110 110 S S Имитационное моделирование • Вероятностный подход к индексам влияния позволяет применять имитационное моделирование для их аппроксимации. • Для заданного распределения создается генератор итогов голосования. • Индекс влияния игрока будет приближаться частотой исходов, в которых он оказался ключевым • Имитационное моделирование можно использовать, когда число игроков велико и прямой подсчет индексов влияния невозможен. Например, если число игроков n=100, то для прямого подсчета необходимо перебрать 2 n 2100 1030 возможных коалиций игроков Примеры применения имитационного моделирования • Число игроков n=103, квота q=51, веса: 30, 15, 5, 0.5, …, 0.5. Значения индекса Шепли-Шубика для игроков после округления относятся как: 80 : 25 : 9 : 1 : … : 1 • Число игроков n=91, квота q=51, веса: 10, 1, …, 1. Значения индекса Шепли-Шубика для игроков после округления относятся как: 10 : 1 : … : 1 • Число игроков n=100, квота q=2526, веса: 1, 2, 3, …, 100. Значения индекса Шепли-Шубика для игроков после округления относятся как: 2 : 3 : 5 : 6 : 10 : … : 201 : 209 : 210 Резюме • Вероятностная модель позволяет определить множество различных индексов влияния • Широко используемые индексы Банцафа и ШеплиШубика укладываются в рамки данной модели • Ограничения на коалиции легко описываются с помощью вероятностной модели • Вероятностный подход позволяет применять имитационное моделирование для вычисления индексов влияния в случае большого числа игроков