Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Впервые дифракционная задача для открытого резонатора была решена Фоксом и Ли в 1961 году методом последовательных приближений при многократных проходах первоначально плоской волны через резонатор Распределение поля на поверхности левого зеркала служит источником поля, возникающего у правого зеркала. Полученное распределение поля на правом зеркале используется для ычисления распределения поля вновь у левого зеркала. Эти вычисления повторяются многократно. При расчете используется принцип Гюйгенса: каждый элемент поверхности одного зеркала рассматривается как источник сферической волны, при этом поле на поверхности другого зеркала является результатом суперпозиции этих волн Использование этого метода допустимо в том случае, когда размеры зеркал резонатора велики по сравнению с длиной волны излучения, а поле близко к поперечному, что хорошо выполняется в резонаторе Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Интеграл Френеля-Кирхгофа: ik exp(ikz ) u ( x '; y '; z ') u ( x; y; z ) (1 cos θ)dS , 4π S r k 2π / λ ,r 2 ( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2 Поле на поверхности зеркала: n 1 un V , n число проходов, γ - комплексная постоянная γ ik V γ KVdS , K exp(ikr ) (1 cosθ) 4πr S Функция V определяет распределение поля на зеркалах, а ln g отражает потери и сдвиг фазы при однократном прохождении резонатора Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Число Френеля: a2 N λL θd λ / 2a θg / 2 a / L , 2а – поперечный размер плоской волны – угол дифракционной расходимости плоской волны – половина геометрического угла , под которым одно зеркало размера а видно из центра другого Тогда: N θg 2θ d Число Френеля представляет собой число зон Френеля, видимых на поверхности одного зеркала из центра другого Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Зависимости уровня дифракционных потерь для мод низших порядков от числа Френеля Преимущество: возможность получения точного решения для поперечной структуры поля Дифракционный метод Недостаток: невозможность получения решений в аналитическом виде Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Волновое уравнение Геймгольца: 2u k 2u 0 Решение ищем в виде: x2 y 2 u ( x, y, z ) A( z ) exp a( z ) , 2u 2u 2u 2 , 2 2 z х у Введем комплексный параметр q(z): 1 1 λ 1 i 2 q( z ) R( z ) π W ( z ) R(z) – радиус кривизны фронта распространяющейся в резонаторе волны: πW 2 2 0 R( z ) z 1 λz Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе W(z) (каустика)– расстояние от оси z в поперечном сечении, на котором амплитуда поля падает в e раз: λz 2 , W0 =W (0) - перетяжка W 2 ( z ) W0 2 1 2 πW0 Амплитуда электрического поля основной моды TEM00 λz kr 2 1 W0 E00 E0 exp i exp i kz t arctg 2 W 2 q( z ) π W 0 Амплитуда электрического поля основной моды TEM00 : Emn 2x 2y λz ~ H m E00 H n exp i (m n)arctg 2 πW0 W ( z) W ( z) Hmn – полиномы Эрмита: H 0 ( x) 1, H1 ( x) 2 x, H 2 ( x) 4 x 2 2 Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Поведение амплитеды напряженности электрического поля гауссова в поперечном сечении резонатора r x2 y 2 Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Амплитуды и интенсивности трех мод низших порядков в поперечном сечении Расходимость гауссова пучка Расходимость продольной моды Расходимость поперечной моды W ( z) θ lim z z λ θ 00 W0 λ m(n) 1 2 θ m ( n ) arctg πW0 x ( y ) θ 00 m(n) 1 2 Открытые оптические резонаторы Конфигурация поля в резонаторе Индексы поперечных мод определяют количество областей нулевой интенсивности поля в поперечном сечении Поперечные размеры минимальны для моды с m=n=0 – продольной моды По мере роста индексов мод их поперечные размеры увеличиваются С ростом номера поперечной моды дифракционные потери увеличиваются Полученные выражения для напряженностей электрического поля продольных и поперечных мод справедливы не только внутри резонатора, но и вообще в любой точке пространства Внутри резонатора суммарное поле образуется в результате сложения прямой и обратной бегущих волн, что приводит к условию на возможные частоты собственных типов колебаний