Уравнение эйконала для анизотропной среды А.В.Боровских Понтрягинские чтения – XXV

Уравнение эйконала для
анизотропной среды
А.В.Боровских
Понтрягинские чтения – XXV
Воронеж, 4 мая 2014 г.
Изотропное 3-мерное уравнение эйконала
1
2
2
2
( x )  ( y )  ( z )  2
v ( x, y , z )
Уравнения с 15-мерной группой симметрий:
v(x,y,z)  1,
(I.1)
v(x,y,z)=x,
(I.2)
(I.3)
2
2
2
v(x,y,z)=x +y +z ,
v(x,y,z)=x +y +z  1, (I.4)
2
2
2
v(x,y,z)=x +y +z +1 (I.5)
2
2
2
Интегрирование уравнений эйконала
с 15-мерной группой симметрий
ψx  ψ y  ψz
2
2
2
1
 2
x
Фронт волны точечного источника:
ψ-1(0)=(x*,y*,z*)
2
2
2
( x-x* ch t ) +( y-y* ) +( z-z* ) =( x* sh t )
Лучи – дуги окружностей, опирающихся на
плоскость x=0.
2
Иллюзия движущегося источника
2
2
2
( x-x* ch t ) +( y-y* ) +( z-z* ) =( x* sh t )
r*  ( x* ch t , y* , z* ), r*  ( x* sh t ,0,0)
Скорость движения центра сферы
прямо пропорционально радиусу
(расстоянию до этого центра)
2
ψx  ψ y  ψz
2
2
2
1
 2 2 2 2 2
( x +y +z  ν )
Фронт волны точечного источника:
( x-x* ρ(t )) +( y-y* ρ(t )) +( z-z* ρ(t )) = r (t )
2
2
ν (1+tg ν t)
ρ(t )= 2 2 2 ,
ν -r* tg ν t
2
2
2
2
2
ν(r* +ν )tg ν t
r (t )= 2 2 2
ν -r* tg ν t
2
(r*  x*  y*  z* )
2
2
2
2
Лучи – окружности, соединяющие источник
с инверсной точкой
Уравнения лучей
dx
d
=v( x),
=  v  (v, ).
dt
dt
Теорема. Пусть x – некоторая точка
плоскости, Γ – проходящая через эту точку вполне
регулярная в окрестности этой точки кривая
(фронт), ν и h – нормальный и касательный к
кривой Γ в точке x единичные векторы, γ –
кривизна кривой Γ в этой точке.
Пусть v: R2→R1 – произвольная дважды
непрерывно дифференцируемая функция на
плоскости, v – ее градиент, Dhv –ее производная
по направлению h.
Тогда для точки x скорость движения x˙*
центра кривизны x* при сдвиге Γ вдоль лучей
определяется формулой

2
x *   v( x)  2  D v(x)


1
h
 2

1

2
*
x   v( x)   D v(x)   v(x)
h 
h
h
2


 
h
h
ψ ψ
g (x) i

1
,

j
x x
i 1
n
ij
xR
n
g (x)ψiψ j=1
ij
Уравнение фронта:
i
t   (x)
dτ j
dx
1
ij
pq
=g (x)τ j ,
=   j g (x)τ p τ q .
dt
dt
2
2

G
(G , )(Gh, h)  (G , h) 
*
xh  


1/ 2
3/ 2
(G , )
 (G , )

1  (G , )
 

1/ 2
 h  2(G , )
2( DhG , h)(G , )  ( DhG , )(G , h) 



3/ 2
(G , )

2
2

 ( Dh G , ) ( Dh G , )
 2


1/ 2
3/ 2
 h  2(G , )
4(G , )
(Gh , h )(G , )  (G , h ) 


3/ 2
(G , )


2
h

 2
Общее уравнение с частными
производными первого порядка
H ( , x,  )  0
t   ( x)
H (t , x,  )  0
dx H (t , x, )

,
dt H (t , x, )
H x (t , x, )  H t (t , x, )
d

dt
H (t , x, )

xh*  Н   Dh2 H 

 D ( Dh H )   ( Dh H ) D H 
2
2
2
2
1 Hx
 
 2  h Dh H  D ( h HDh H )
h  

  h HDh H (1   D H ) 
2
2
 2
2
 2  H  D ( h H ) 
h
h
 ( h H ) (1   D H ) 
2

2
2
  D H  D ( Dh  H )   ( Dh  H ) D H
2
h
2
h
2
2
2
2

Уравнения с 4-мерной группой симметрий
Уравнения с 6-мерной группой симметрий
V(r)  w,
V(r)=w(r  h) ,
V(r)=w cos(kr+h) ,
kr
V(r)=we , V(r)=w sh (kr+h) , V(r)=w ch (kr+h).
Уравнения с 5-мерной группой симметрий
1+k
x
v(x,y,z)=x , v(x,y,z)= 2 2 2 k .
(x +y +z )
Уравнения с 2-мерной группой симметрий
1+k
v(x,y,z) =  V( ,)
1-мерная группа симметрий (сдвиг ψ) –
все уравнения
Интегрирование двумерного уравнения
1
2
2
Уравнение      2
интегрируется для
V ( )
V(r)  w, V(r)=w(r  h) ,
V(r)=w cos(kr+h) ,
kr
V(r)=we , V(r)=w sh (kr+h) , V(r)=w ch (kr+h).
Именно к ним редуцируются трехмерные
уравнения с 6-мерной группой симметрий!
d  d
Для указанных V( ) метрика ds 
V 2 ( )
 это метрика риманова пространства
постоянной кривизны
2
2
2
Принцип относительности
1. Каждый класс физических законов
имеет свой набор систем отсчета, в которых
эти законы действуют одинаково.

2. Одинаковость математически
выражается в инвариантности общего вида
уравнений, описывающих эти физические
законы, относительно соответствующих
преобразований систем координат.

3. Если замены переменных, осуществляющие
переход от одной системы координат к другой,
образуют группу, то эта группа определяет (в
соответствии с классификацией геометрий
Ф.Клейна) геометрию, ассоциированную с данным
классом физических законов.
 4. Инварианты этой группы (величины,
остающиеся неизменными при преобразованиях),
определяют внутренние характеристики
соответствующих физических законов и являются
базой для классификации этих законов и
установления их иерархии друг относительно
друга (например, классификации сред на
однородные, слоистые, изотропные и т.п.).

~
Метрика риманова пространства X  X̂  X
iˆ
ˆj
~~
ij
~
i
~
j
~
~
ĝ ( xˆ )dx dx  G ( xˆ )[ g ( x )dx dx ]
îĵ
2
назовем сочленением римановых метрик
ĝ(x̂) и ~
g(~
x) с помощью функции G(xˆ).
iˆ
ˆj
ĝ ( xˆ )dx dx
~~
~
~
ij ~
i
j
~
g ( x )dx dx
îĵ
G(xˆ)
iˆ
основная
присоединенная часть
сочлененной метрики
функция сочленения.
ˆj
ĝ ( xˆ)dx dx  G 2 ( xˆ)d 2 модельная форма
îĵ
сочлененной метрики
Лемма. Решение уравнения
эйконала
ˆ
ĝ îĵ ( x) iˆ ˆj 
~
~
~
~
g i j ( x ) ~i  ~j
G ( xˆ )
2
 1,
описывающее фронт волны точечного источника
(т.е.  1 (0)  x*  ( xˆ* , ~
x* )), представимо в форме
~
~
 ( xˆ, x )  ˆ ( xˆ, ( x )),
где ˆ ( xˆ, ) – решение модельного уравнения
ĝ îĵ ( xˆ )ˆ iˆˆ ˆj 
ˆ
2
G ( xˆ )
2
1
для фронта волны точечного источника с координатами ( xˆ* ,0), а  (x~ ) – решение присоединенно~
~
~
го уравнения ~
g i j ( x ) ~i  ~j  1 для фронта волны
точечного источника, находящегося в точке ~
x* .
Анизотропный случай
g (x)ψiψ j=1
ij
Определение.
Уравнением эйконала для полуоднородной
среды назовём уравнение, которому соответствует
положительно определенная сочленённая метрика,
для которой модельная метрика является метрикой
риманова пространства постоянной кривизны.
Ведущей кривизной соответствующей метрики
мы будем называть кривизну соответствующего
модельного пространства.
Группы симметрий
Теорема. Алгебра Ли группы симметрий
анизотропного уравнения эйконала является суммой
четырех подалгебр:
 Одномерной алгебры сдвигов переменной ψ;
 Алгебры Ли группы однородности размерности:
 2n+2, если метрика – постоянной кривизны,
 2m, полуоднородная среды размерности m≤n-2;
 Алгебры Ли группы движений соответствующего
риманова пространства размерности:
 n(n+1)/2 для пространства постоянной кривизны
 m(m-1)/2 + алгебра движений присоединенного
пространства для полуоднородной среды
размерности m≤n-2 (есть исключения);
 Возможной одномерной алгебры растяжений.
Публикации
1. Боровских А.В. Уравнение эйконала в
неоднородной среде // Доклады РАН. 2003. Т.
391, N 5. С. 587-590.
2. Боровских А.В. Групповая классификация
уравнений эйконала для трехмерной
неоднородной среды // Матем. сборник. 2004. Т.
195, N 4. С. 23-64.
3. Боровских А.В. Иллюзия движущегося
источника в геометрической оптике
неоднородных сред // Дифференц. уравнения.
2004. Т. 40. N 7. С. 867-873.
4. Боровских А.В. Группы эквивалентности
уравнений эйконала и классы эквивалентных
уравнений // Вестник НГУ. 2006. N 4. С. 3-42.
Публикации
5. Боровских А.В. Двумерное уравнение эйконала
// Сибирский мат. журнал. 2006. Т. 47, N 5. С.
993-1018.
6. Боровских А.В. Интегрируемость уравнения
эйконала и каскадные формы римановых метрик
// Черноземный альманах научных исследований.
Вып. 1(8). Воронеж, 2009. С. 28-57.
7. Боровских А.В. Уравнения эйконала для
неоднородной и анизотропной среды // Соврем.
математика и ее приложения. 2009. Т 64.
Уравнения математической физики. С. 18-38.
8. Боровских А.В. Уравнение эйконала для
анизотропной среды // Труды семинара им.
И.Г.Петровского. вып. 29. 2013. С. 162-229.
Спасибо
за внимание!
Фронты и лучи