Эффективные приближения и оценки среднего времени

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ОЦЕНКИ
СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ
МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Г.Б. Берсенев, Д.И. Малинин
Тульский государственный университет
e-mail: bersenev@uic.tula.ru, malinin.d@rambler.ru
Основные обозначения
1
N – емкость СМО (ограничение узла обслуживания) или емкость источника заявок (ограничение среды СМО)
m – число мест для ожидания
с – число каналов обслуживания
 ,u - интенсивность обдумывания (экспоненциальное распределение)
 , v - интенсивность обслуживания одной заявки (экспоненциальное распределение)
 - интенсивность нагрузки
Et , En - математические ожидания времени пребывания и числа заявок в СМО
Et^ ( N ) - линейное приближение
Et (N ) - гиперболическое приближение
Et* ( N ) - асимптотическое приближение
h  T h, h0  1
hi - коэффициент передачи для i-го узла, где
ma ,  a - моменты ФРВ интервалов входного потока
mb ,  b2 - моменты ФРВ времени обслуживания
m N ,  2N - моменты ФРВ числа поступлений заявок в единицу времени
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ УЗЛА ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ
2
( модель M/M/c/N )
1. Система массового обслуживания (СМО) с отказами: N  m  c
N – емкость СМО (ограничение узла обслуживания)
m – число мест для ожидания
с – число каналов обслуживания
2. СМО в замкнутой однородной или неоднородной по маршрутам сети массового обслуживания (СеМО):
N – емкость источника заявок (ограничение среды СМО)
Выходные параметры:
 - интенсивность обслуженной каналом нагрузки
Et , En - математические ожидания времени пребывания и числа заявок в СМО
Асимптотическая эквивалентность моделей
1. Эквивалентность по Et :
2. Эквивалентность по En :
  0, Et  1/  ;
  1, Et  N / c ;
  0, En  c ;
  1, En  N ;
N  c, Et  1/  ;
N  , Et  EtM / M / c
N  c, En  c  ;
N  , En  EnM / M / c
Асимптотическое приближение для обобщенной модели
Et* 
( N  c)  c 1
 ;
( N  c)  N 
En*  c
( N  c)  c
;
( N  c)  N
Отклонение от асимптотического поведения:
или
N  , Et* 
1 1
c
 ; En* 
1  
1 
N  , Et*  Et , En*  En
при c  1
РОБАСТНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
1.
где
2. Модель M/M/c/N с отказами в
обслуживании ( N  m  c ): c  1
Модель M/M/1/N с отказами в
обслуживании ( N  m  1 ): c  1
En( N , ) - относительная погрешность
в % приближения En* ( N , )
, 1( N , ) - интенсивности поступившей
и обслуженной нагрузки
3
где
En1( N , c, ), En2( N , c, ) - относительные
погрешности в % приближения En* ( N , c, )
для N  15 , c  10 и приближения
посредством модели M/M/c
РОБАСТНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
3. Модель M/M/1/N (модель ремонтника): c  1
ρ1 
[c( N  c)( X  1)  N 2 X ]  [c( N  c)( X  1)  N 2 X ] 2  4c( N  cX )( N  c) NX
X  /
где
4
4. Модель M/M/c/N (модель многоканального
ремонтника): c  1
2c( N  cX )
En( N , ) - относительная погрешность
в % приближения En* ( N , )
, 1( N , ) - интенсивности условной и
обслуженной нагрузки (   NX )
где
En1( N , c, ), En2( N , c, ) - относительные
погрешности в % приближения En* ( N , c, )
для c  3 , N  10 и N  100 (   N / c )
ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ НАГРУЗОЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
( модель M/M/c/N )
1. Нагрузочная характеристика для замкнутой модели M/M/c/N:
5
2. Виды приближений
для нагрузочной характеристики:
Etu(N )
Et^ ( N ) - линейное приближение
Кортеж параметров
линейного приближения:

1
 , N * , tg 

c
N*
Et (N ) - гиперболическое приближение
Et* ( N ) - асимптотическое приближение
N
3. Линейное приближение, использующее  , N * , tg  :
1/ , если c  N  N *
^
Et ( N )  
1/   ( N  N * )  tg, если N  N *
4. Гиперболическое приближение, использующее  , N * , tg  :


1
2
4ktg 

*
*2
2
,
Et ( N ) 
N  N  tg   N  N
 tg  
2 
2

1  1 / tg  





где k  0 - константа для настройки гиперболического приближения.
При k  0 гиперболическое приближение вырождается в линейное:
Et ( N )  Et^ ( N )
N
При k 
- наилучшее приближение нагрузочной характеристики
2
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ ОТВЕТА
В ЗАМКНУТОЙ СЕТИ
6
1. Модель многоканального ремонтника ( c  40,   0.4,   1.0 ):

Et ( N , c, k )  1/(2) 1  N / c  N /(c) 

1  N / c  N /(c)2  4k /(c

1  c 2 2 ) 

где   N / c - интенсивность условной нагрузки на канал обслуживания
Et ( N , c) , Et1( N , c, k ) - нагрузочная характеристика для времени ответа и ее
гиперболическое приближение для k  N и k  N / 2
2. Замкнутая однородная терминальная СеМО:
Q(M , N )  M , N , i , ci , hi ; 1  ci  N ; i  1, M ; c1  N , h1  1 

1
M
2
2



1
S


1
Et ( N )   N  N *  tg  2 Et (1) 
где
tg  hs /(cs  s ) ,
N
*
M


 tg  
1  1 / tg 2  
2
4ktg
s  arg max hi /(ci i ), i  1, M
N  (cs  s / hs )  hi /  i ,
i 1
N  N 
*2
i
M
Et (1)   hi /  i  1 / 1
i 1
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ОТВЕТА В ЗАМКНУТОЙ СЕТИ
7
1. Исследуемая замкнутая терминальная СеМО
[3]
1
[1]
1
[2]
1
0.4
c3
2
0.5
[4]
N
c2
1
0.6
где T  (,  2 , 3 ,  4 ) ,
cT  ( N , c2 , c3 , c4 ) - векторы изменяемых параметров
0.5
c4
2. Относительные погрешности в % определения среднего времени
ответа посредством асимптотических и гиперболических приближений
Et ( N ), Et* ( N )
Et ( N ), Et* ( N )
T  (1,2,5,2)
T  (1,1,10,1)
cT  (n,5,2,1)
cT  (n,5,3,2)
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ M/M/c
8
1. Предложенные авторами приближения Etw1M / M / c , Etw 2 M / M / c , Etw3 M / M / c для среднего времени ожидания:
Etw1M / M / c 
s (  )
1  s (  )
c
, где    /(c) ,  s ()    [1  (c  1)   ] / c
Etw2M / M / c 
B
c (1   )
, где B  [1  r (c, )] /[1    r (c, )], r (c, )  1  (  e1 ) c / 2c
Etw3M / M / c 
1  1
  c  (1    1 )(1   )
2
2 2
, где ρ1  [(c  1)( X  1)  c X ]  [(c  1)( X  1)  c X ]  4(c  X )(c  1)cX
X  1/(  c)
2(c  X )
2. Известные граничные оценки для среднего времени ожидания:
Etw4M / M / c 
Etw5M / M / c
 c1
  c    (1   )
 c 1
c

 c
  c    (1   )   (c  1)
- нижняя граница
- верхняя граница
3. Исследование точности приближений для среднего времени пребывания ( Etu  Etw  1/  ) :
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ G/G/1
1. Приближения Etw1G / G / 1 , Etw 2G / G / 1 , Etw3G / G / 1 для среднего времени ожидания:
а) базовое приближение
Etw1G / G / 1 
 b2  c a2 mb2
(1)
2ma (1  )
б) улучшенное Крамером и Лангебах-Бельцем базовое приближение
1 
Etw2G / G / 1 
(ca2  cb2 ) g (, ca , cb ) ,
 2(1  )
где
(2)
 
2 2
exp  2(1  ) (1  c a ) ,
c a  1,
2
2
 
3
c

c

a
b 
 
g (, c a , cb )  
 
c a2  1 
exp  (1  ) 2
, c a  1,
c a  4cb2 
 
в) наиболее современное приближение
2
2
2 2
 (1  cb )(c a   cb )
Etw3G / G / 1 

1 
2(1   2 c 2 )
b
2. Сравнительный анализ точности приближений
(3)
9
ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ БАЗОВОГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ G/G/1
10
1. Инварианта преобразований граф-моделей задач – интенсивность работы, выполняемой СМО:
mS  mN mb ,
2S  mN b2  mb22N
где m N ,  2N - моменты числа поступлений заявок в единицу времени
2. Интерпретация формулы Полячека-Хинчина для модели M/G/1 в терминах моментов интенсивности
 S2
работы СМО:
*
mw 
2(1  mS )
3. Запись формулы Полячека-Хинчина в виде базового приближения для модели G/G/1:
mN  1/ ma  ,  2N   2a / ma3  ca2 / ma , откуда
 b2  ca2 mb2
*
mw 
2ma (1   )
Исследование базового приближения
1. ФРВ интервалов между запросами имеет тип ВФИ (УФИ):
 2a  b2
m 2
*
m w  ()
 a ( a  )
2ma (1  )
2 ma2
ca2  () 1
 2a  b2
m (1  )
*
m w  ()
 a
2ma (1  )
2
ca2  () 1
ma2 / s  b2 ma (1  ) ma
*
mw 


2ma (1  )
2
s
ma2 (1  ) 2 (1  c a2 )  0
2. ФРВ интервалов между запросами имеет тип НЛСС (НХСС):
3. Для СМО типа Es/GI/1:
4. Уточненное приближение для G/G/1:
m*w 
(2  ) 2a  b2
2ma (1  )
 1
5. Наилучшая нижняя граница для G/G/1:
2 2
*  cb  (  2)
mw 
2(1  )
c a2  1  2 / 
Заключение. Приближение удовлетворяет всем известным границам.
ВЫБОР ОЦЕНОК M/M/c И G/G/1
ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА МОДЕЛИ G/G/c
1. Основное выражение для приближенного вычисления среднего времени ожидания в G/G/c:
EtwM / M / c
EtwG / G / c 
 EtwG / G / 1
EtwM / M / 1
2. Оценки для M/M/c: Etw1M / M / c , Etw 2 M / M / c , Etw3 M / M / c (слайд 8)
3. Оценки для G/G/1: Etw1G / G / 1 , Etw 2G / G / 1 , Etw3G / G / 1 (слайд 9)
минимизация времени вычисления EtwG / G / c
4. Критерии:
максимизация (по размерности) диапазона использования
5. Условия (ограничения):
приемлемая точность
положительная погрешность (вычисление с запасом)
6. Исследуемые модели: СМО E5/E2/3 и E5/E2/50
7. Инструмент исследования: высокоточная параметрически настраиваемая
имитационная модель на языке C#
8. Наилучшее решение:
Etw3 M / M / c
mb (1  1 )
EtwG / G / c 
 Etw1G / G / 1 
c a2  cb2
EtwM / M / 1
2c(1  )(1  1 )

[(c  1)( X  1)  c 2 X ]  [(c  1)( X  1)  c 2 X ]2  4(c  X )(c  1)cX
где ρ1 
2(c  X )
9. Исследование точности наилучшего решения:
, X  1/(  c) ,    /(c)
10
8
6
(2,6)
(3,6)
4
(4,6)
(0,6)
2
0
0
-2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1

11
Список литературы
12
1.
Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979. – 600 с.
2.
Kramer W., Langenbach-Belz M. Fpproximation for the delay in the queueing systems GI/GI/1 // Congressbook, 8-th
Internat. Teletraf. Congr., Melbourne, 1976.
3.
Ivo Adan. Stochastic Models for Design and Planning [Электронный ресурс] / I. Adan, 2002 – Режим доступа :
http://www.win.tue.nl/~iadan/sdp/
4.
Штоян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. – М.: Мир, 1979. – 268 с.
5.
Берсенев Г.Б. Приближенная формула для фазы обслуживания в замкнутой стохастической сети //
Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. Тула, ТПИ, 1980. - С. 108116.
6.
Берсенев Г.Б. Оценка времени ожидания для систем массового обслуживания G/G/1 и GI/GI/1 // Известия ТулГУ.
Серия “Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления”. Том 1. Вып. 3. Вычисл.
техника. – Тула: ТулГУ, 2004. – С. 36-44.
7.
Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Приближенный анализ многоканальных систем массового обслуживания //
Известия ТулГУ. Серия "Проблемы управления электротехническими объектами". Вып. 3. - Тула, ТулГУ, 2005. –
С. 174 – 177.
8.
Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Алгоритмы приближенного анализа открытых сетей массового обслуживания с
многоканальными узлами // Известия ТулГУ. Серия "Выч. техника. Информационные технологии. Системы
управления". Вып. 1. Вычислительная техника. - Тула: ТулГУ, 2005. – С. 69 - 75.
9.
Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Приближения и оценки для моделей массового обслуживания G/G/c и M/M/c/N //
Сб. трудов МНК ММТТ-19. Воронеж: ВГТУ, 2006. Т. 8. С. 156-160.