ДМ_пр10-12_Гp

Глава 3
Элементы теории графов
Занятия 10–11 Определения и элементы графов.
Операции над графами
3.1
3.2
Выписать множества смежности Г: а) для всех
вершин графа G(V,E); б) для множеств
вершин А = { u1, u6}, B = { u1, u3}, C = { u4, u5}.
Определить степени всех вершин. Найти u7
диаметр графа.
Определить вид графа и степени всех его вершин:
а)
б)u
в)
г) u
д)
u
u
u1
u2
u3
u4
u6
u5
u1
u2
1
2
u1
u2
1
2
u1
u2
u4
u3
u4
u3
u4
u3
u4
u3
u4
u3
е)u
u2
1
u3
3.3
Перечислить все неизоморфные графы: а) с 3 вершинами; б) с 4 вершинами.
3.4
Определить, изоморфны ли следующие графы, и найти их диаметры:
а)
б)
в)
1
2
3
5
7
8
4
6
c
9
b
e
i
f
g
h
k
д)
Какие из указанных графов изоморфны? Найти диаметр каждого.
1
3.6
d
10
г)
3.5
a
2
3
a
Какие из приведенных последовательностей представляют
цепь в графе G? Какие из них являются простой цепью?
Найти длину каждой цепи. а) aebfcd, б) aecdaec,
в) aebecfbd, г) aecfbdafc.
d
b
c
e
f
1
Глава 3
Элементы теории графов
3.7
Что из перечисленного является циклом в заданном графе? a
Какие из этих циклов простые? Найти длины всех циклов.
а) dabcfbed, б) bfcedbfcb, в) abcfebfca, г) aecfbda.
3.8
Какой из представленных на рисунке графов является
собственным или остовным подграфом графа из задачи 3.7? В случае
положительного ответа обозначить вершины подграфа, соответствующие
вершинам исходного графа, и достроить до него граф (с точностью до
изоморфизма).
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.9
Найти число остовных подграфов графов:
3
3
а) 2
б) 2
в) 1
d
1
6
4
1
6
5
4
b
c
e
f
3
2
4
5
3.10 Нарисовать графы:
а) K4; б) K1,2; в) K1,3; г) K2,2; д) K6; е) K2,3; ж) K3,4; з) K2,4.
3.11 Какой из приведенных на рисунке графов является связным? Сильно
a
связным? Односторонним? Для каждого графа найти пути длины 2, 3, 4 и
5; найти путь максимальной длины. Какой самый длинный простой цикл
(если он существует) может быть построен для каждого графа?
а)
б)
в)
г)

d
b
c

a д)

d
e
b
c

a


e
b

e

d
a
e


е)

c
d
a


f
d

a
ж)

d
c

b
a
c
c
b
b


e
c


f

e
полученные:
а) удалением вершины 3, вершины 5, вершины 6;
б) удалением ребра (3,6), ребра (3,4);
в) добавлением ребра (4,6) и вершины 8;
г) размножением вершины 5; вершины 3;
д) отождествлением вершин 3 и 5, вершин 2 и 6;
е) стягиванием ребра (3,6), ребра (4,5);
ж) стягиванием подграфа A = {3,4,6}, B = {2,3,6}.
3
4

1
3
2
G1
5
b
c

d
e
3.12 Дан граф G (см. рисунок). Построить графы,
2

з) a
b
3.13 Нарисовать объединение графов G1 и G2: 1
d

4
5
6
4
5
6
7
7
G2
8
2
Глава 3
Элементы теории графов
3.14 Найти объединение и пересечение приведенных множеств графов:
а) e
б)
a
c
a
c
b
d
b
d
a
b
c
a
b
c
d
e
f
d
e
f
f
3.15 Нарисовать соединение графов G1 и G2, G2 и G3:
G1
G2
G3

3.16 Нарисовать произведение графов G1 и G2, G3 и G4:
G2
G1
G3

1
a
c
2
b
d
G4
3.17 Изобразить дополнения графов:
а) 1
б)
2
в) a
b
c
5
4
b
г)
a
3
d
e
e
d
f
c
3.18 Определить, является ли планарным граф. Если да, найти его число граней:
а)
d
a
б)
b
e
в) 2
a
f
г)
3
1
b
c
d
e
6
4
5
1
5
2
4
6
3
c
3.19 Построить все попарно неизоморфные деревья: а) с четырьмя; б) пятью;
в) шестью вершинами.
3.20 Определить, какие вершины являются источником или стоком данного
графа. Найти компоненты сильной связности и построить фактор-граф.
a
а) a
б)
в)
b
b
b

e

d

a

c
г) a

d
3.21 Для
заданного
представления:
а) b
c
e2
a
б) b
d
e
e4
все
e6
b
c

d
e
в)
способы
e3
e1
e
a
e7
его
c
e2
b
e5
e4

эквивалентные
d
e2
c
a

c
выписать
e1



графа
e3
e6
e
e
a
f
d
e

е)
b

c
d
д)a
c
e5

c
b
e1

d
e3
e8
e7
d
e9
e6
e5
e10
e4
e
3
Глава 3 Элементы теории графов
Занятие 12 Взвешенные графы и обходы графов
3.22 Найти кратчайшие пути в заданном графе,
используя алгоритм Дейкстры:
а) от вершины А до F;
б) от вершины С до D;
в) от вершины F до C.
B
D
3
5
A
1
1
7
10
2
F
3
C
7
3.23 Найти кратчайшие пути от вершины A до F в
E
заданном графе, используя алгоритм Дейкстры:
D
а)
б)
6
A
B
1
2
2
A
3
5
D
C
4
F
4
E
3 2 2
C 1
4
1 1
3
B
2
4
E 1
3
F
6
G
3.24 Построить матрицу весов и найти кратчайшие пути между всеми парами
вершин заданного графа:
2
5
а)
1
4
2
3
1
2
6
б)
2
3
1
4
5
2
3
4
3
5
2
3
1
6
4
1
3.25 Найти минимальное остовное дерево (МОД) для следующих графов:
B
1
а)
1
5
3
5
4
3
C
A
б)
D
2
10
E
4
9
3
14
3
в)
8
6
6
9
8
3
11
2
14
8
10
7
2
4
8
4
7
6
8
7
5
2
11
3
3
3
1
5
8
4
3.26 Является ли граф эйлеровым? Если да – найти эйлеров цикл. Если нет –
проверить, существует ли в графе эйлерова цепь (путь)?
c
g
а)
б)
в)
b
f
g
k
f
d
d
a
б)
b
c
k
d
f
g
i
g
e
b
d
d
f
a
г) d
b
c
b
e
g
в) a
a
c
c
e
3.27 Найти гамильтонову цепь или цикл:
a
e
d
a
e
m
e
h
h
m
a
а)
b
c
b
f
h
c
f
e
h
4